Кросс-спектр - Cross-spectrum

Эта статья может быть слишком техническим для большинства читателей, чтобы понять. Пожалуйста помогите улучшить это к сделать понятным для неспециалистов, не снимая технических деталей. (Апрель 2011 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В анализ временных рядов, то перекрестный спектр используется как часть частотная область анализ взаимная корреляция или же кросс-ковариация между двумя временными рядами.

Определение

Позволять ${ displaystyle (X_ {t}, Y_ {t})}$ представляют собой пару случайные процессы которые совместно стационарный в широком смысле с автоковариация функции ${ displaystyle gamma _ {xx}}$ и ${ displaystyle gamma _ {yy}}$ и кросс-ковариация функция ${ displaystyle gamma _ {xy}}$ . Затем перекрестный спектр ${ displaystyle Gamma _ {xy}}$ определяется как преобразование Фурье из ${ displaystyle gamma _ {xy}}$ ^[1]

{ Displaystyle Gamma _ {xy} (f) = { mathcal {F}} { gamma _ {xy} } (f) = sum _ { tau = - infty} ^ { infty} , gamma _ {xy} ( tau) , e ^ {- 2 , pi , i , tau , f},}

куда

{ displaystyle gamma _ {xy} ( tau) = operatorname {E} [(x_ {t} - mu _ {x}) (y_ {t + tau} - mu _ {y})]}

.

Перекрестный спектр имеет представления в виде разложения на (i) его действительную часть (ко-спектр) и (ii) его мнимую часть (квадратурный спектр).

{ Displaystyle Гамма _ {ху} (е) = Лямбда _ {ху} (е) + я пси _ {ху} (е),}

и (ii) в полярных координатах

{ displaystyle Gamma _ {xy} (f) = A_ {xy} (f) , e ^ {i phi _ {xy} (f)}.}

Здесь амплитудный спектр ${ displaystyle A_ {xy}}$ дан кем-то

{ displaystyle A_ {xy} (f) = ( Lambda _ {xy} (f) ^ {2} + Psi _ {xy} (f) ^ {2}) ^ { frac {1} {2} },}

и фазовый спектр ${ displaystyle Phi _ {xy}}$ дан кем-то

{ Displaystyle { begin {case} tan ^ {- 1} ( Psi _ {xy} (f) / Lambda _ {xy} (f)) & { text {if}} Psi _ {xy } (f) neq 0 { text {and}} Lambda _ {xy} (f) neq 0 0 & { text {if}} Psi _ {xy} (f) = 0 { text {и}} Lambda _ {xy} (f)> 0 pm pi & { text {if}} Psi _ {xy} (f) = 0 { text {and}} Lambda _ {xy} (f) <0 pi / 2 & { text {if}} Psi _ {xy} (f)> 0 { text {and}} Lambda _ {xy} (f) = 0 - pi / 2 & { text {if}} Psi _ {xy} (f) <0 { text {and}} Lambda _ {xy} (f) = 0 end {case} }}

Квадратный спектр когерентности

Квадрат спектр когерентности дан кем-то

{ displaystyle kappa _ {xy} (f) = { frac {A_ {xy} ^ {2}} { Gamma _ {xx} (f) Gamma _ {yy} (f)}},}

выражающий амплитудный спектр в безразмерных единицах.

Смотрите также

Рекомендации

^ von Storch, H .; Ф. В. Цвиерс (2001). Статистический анализ в исследованиях климата. Cambridge Univ Pr. ISBN 0-521-01230-9.