Рамануджаны сравнения - Ramanujans congruences

В математика, Сравнение Рамануджана замечательные сравнения для функция распределения п(п). Математик Шриниваса Рамануджан обнаружил сравнения

${\displaystyle {\begin{aligned}p(5k+4)&\equiv 0{\pmod {5}},\\p(7k+5)&\equiv 0{\pmod {7}},\\p(11k+6)&\equiv 0{\pmod {11}}.\end{aligned}}}$

Это означает, что:

• Если число на 4 больше, чем кратное 5, т.е. оно входит в последовательность

4, 9, 14, 19, 24, 29, . . .

то количество его разделов кратно 5.

• Если число на 5 больше, чем кратное 7, т.е. оно входит в последовательность

5, 12, 19, 26, 33, 40, . . .

то количество его разделов кратно 7.

• Если число на 6 больше, чем кратное 11, т.е. оно входит в последовательность

6, 17, 28, 39, 50, 61, . . .

то количество его разделов кратно 11.

Фон

В своей статье 1919 г.^[1] он доказал первые два сравнения, используя следующие тождества (используя символ q-Pochhammer обозначение):

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{k=0}^{\infty }p(5k+4)q^{k}=5{\frac {(q^{5})_{\infty }^{5}}{(q)_{\infty }^{6}}},\\[4pt]&\sum _{k=0}^{\infty }p(7k+5)q^{k}=7{\frac {(q^{7})_{\infty }^{3}}{(q)_{\infty }^{4}}}+49q{\frac {(q^{7})_{\infty }^{7}}{(q)_{\infty }^{8}}}.\end{aligned}}}$

Затем он заявил: «Похоже, что нет столь же простых свойств для любых модулей, включающих простые числа, кроме этих».

После смерти Рамануджана в 1920 году Г. Х. Харди извлеченные доказательства всех трех сравнений из неопубликованной рукописи Рамануджана на п(п) (Рамануджан, 1921). Доказательство в этой рукописи использует Серия Эйзенштейна.

В 1944 г. Фриман Дайсон определил функцию ранга и высказал предположение о существовании заводить функция для разделов, обеспечивающая комбинаторное доказательство сравнений Рамануджана по модулю 11. Сорок лет спустя Джордж Эндрюс и Фрэнк Гарван нашел такую ​​функцию и доказал знаменитый результат, что кривошип одновременно «объясняет» три сравнения Рамануджана по модулю 5, 7 и 11.

В 1960-е гг. Аткин А.О. из Иллинойский университет в Чикаго открыл дополнительные сравнения для малых простых модулей. Например:

${\displaystyle p(11^{3}\cdot 13k+237)\equiv 0{\pmod {13}}.}$

Продолжая результаты А. Аткина, Кен Оно в 2000 году доказал, что существуют такие сравнения Рамануджана по модулю всех целых чисел, взаимно простых с 6. Например, его результаты дают

${\displaystyle p(107^{4}\cdot 31k+30064597)\equiv 0{\pmod {31}}.}$

Потом Кен Оно предположил, что неуловимый кривошип также удовлетворяет точно таким же типам общих конгруэнций. Это доказал его доктор философии. ученик Карл Мальбург в его статье 2005 г. Конгруэнции разбиения и кривошип Эндрюса – Гарвана – Дайсона, ссылка ниже. Эта статья выиграла первую Труды Национальной академии наук Приз «Бумага года».^[2]

Концептуальное объяснение наблюдения Рамануджана было наконец обнаружено в январе 2011 года. ^[3] учитывая Хаусдорфово измерение из следующих ${\displaystyle P}$ функция в l-адический топология:

${\displaystyle P_{\ell }(b;z):=\sum _{n=0}^{\infty }p\left({\frac {\ell ^{b}n+1}{24}}\right)q^{n/24}.}$

Видно, что размерность 0 только в тех случаях, когда ℓ = 5, 7 или 11, и поскольку статистическая сумма может быть записана как линейная комбинация этих функций^[4] это можно считать формализацией и доказательством наблюдения Рамануджана.

В 2001 году Р.Л. Уивер дал эффективный алгоритм для поиска конгруэнций статистической суммы и свел в таблицу 76065 конгруэнций.^[5] В 2012 г. Ф. Йоханссон расширил это число до 22 474 608 014 сравнений,^[6] один большой пример

${\displaystyle p(999959^{4}\cdot 29k+28995221336976431135321047)\equiv 0{\pmod {29}}.}$

Смотрите также

• Тау-функция, для которых существуют другие так называемые Рамануджанские сравнения
• Ранг раздела
• Кривошип перегородки

Рекомендации

1. Рамануджан, С. (1921). «Свойства конгруэнтности перегородок». Mathematische Zeitschrift. 9 (1–2): 147–153. Дои:10.1007 / bf01378341.
2. «Приз Коццарелли». Национальная Академия Наук. Июнь 2014 г.. Получено 2014-08-06.
3. Фолсом, Аманда; Kent, Zachary A .; Оно, Кен (2012). «ℓ-адические свойства статистической суммы». Успехи в математике. 229 (3): 1586. Дои:10.1016 / j.aim.2011.11.013.
4. Bruinier, J. H .; Оно, К. (2011). "Алгебраические формулы для коэффициентов полуинтегральных весовых гармонических слабых форм Мааса" (PDF). arXiv:1104.1182. Bibcode:2011arXiv1104.1182H.
5. Уивер, Рианнон Л. (2001). «Новые сравнения для статистической суммы». Рамануджанский журнал. 5: 53–63. Дои:10.1023 / А: 1011493128408.
6. Йоханссон, Фредрик (2012). «Эффективная реализация формулы Харди – Рамануджана – Радемахера». Журнал вычислений и математики LMS. 15: 341–359. arXiv:1205.5991. Дои:10.1112 / S1461157012001088.

• Оно, Кен (2000). «Распределение статистической суммы по модулю m». Анналы математики. Вторая серия. 151 (1): 293–307. arXiv:математика / 0008140. Дои:10.2307/121118. JSTOR  121118. Zbl  0984.11050.
• Оно, Кен (2004). Сеть модульности: арифметика коэффициентов модулярных форм и q-рядов. Серия региональных конференций CBMS по математике. 102. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-3368-1. Zbl  1119.11026.
• Рамануджан, С. (1919). «Некоторые свойства p (n), количество разбиений n». Труды Кембриджского философского общества. 19: 207–210. JFM  47.0885.01.

внешняя ссылка

• Мальбург, К. (2005). «Конгруэнции разбиения и кривошип Эндрюса – Гарвана – Дайсона» (PDF). Труды Национальной академии наук. 102 (43): 15373–76. Bibcode:2005ПНАС..10215373М. Дои:10.1073 / pnas.0506702102. ЧВК  1266116. PMID  16217020.
• Ранг Дайсона, чудак и соплеменник. Список литературы.