Пульсирующий поток - Pulsatile flow

В динамика жидкостей, течение с периодическими вариациями называется пульсирующий поток, или как Уомерсли поток. Профили потока были впервые получены Джон Р. Уомерсли (1907–1958) в своей работе с кровотоком в артерии.^[1] В сердечно-сосудистый система хордовые животные является очень хорошим примером, когда обнаруживается пульсирующий поток, но пульсирующий поток также наблюдается в двигатели и гидравлические системы, в результате вращающийся механизмы перекачка жидкости.

Уравнение

Показаны четыре профиля пульсирующего потока в прямой трубе. Первый график (синий) показывает градиент давления как функцию косинуса, а другие графики (красный) показывают безразмерные профили скорости для различных чисел Уомерсли.

Профиль пульсирующего потока задается в прямой трубе формулой

${\displaystyle u(r,t)=Re\left\{\sum _{n=0}^{N}{\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\left[1-{\frac {J_{0}(\alpha \,n^{1/2}\,i^{3/2}\,{\frac {r}{R}})}{J_{0}(\alpha \,n^{1/2}\,i^{3/2})}}\right]e^{in\omega t}\right\}\,,}$

куда:

ты	это продольный скорость потока,
р	это радиальная координата,
т	является время,
α	это безразмерный Число Уомерсли,
ω	это угловая частота из первых гармонический из Ряд Фурье из колебательный градиент давления,
п	являются натуральные числа,
П'п	- величина градиента давления для частоты nω,
ρ	это плотность жидкости,
μ	это динамическая вязкость,
р	это труба радиус,
J0(·)	это Функция Бесселя первого рода и нулевого порядка,
я	это мнимое число, и
Re {·}	это реальная часть из комплексное число.

Характеристики

Число Уомерсли

Профиль пульсирующего потока меняет свою форму в зависимости от числа Уомерсли.

${\displaystyle \alpha =R\left({\frac {\omega \rho }{\mu }}\right)^{1/2}\,.}$

За ${\displaystyle \alpha \lesssim 2}$, вязкие силы преобладают в потоке, и импульс считается квазистатический с параболическим профилем. ${\displaystyle \alpha \gtrsim 2}$, силы инерции преобладают в центральном ядре, тогда как силы вязкости преобладают вблизи пограничного слоя. Таким образом, профиль скорости сглаживается, и фаза между волнами давления и скорости смещается к ядру.

Ограничения функций

Нижний предел

Функция Бесселя в нижнем предел становится^[2]

${\displaystyle \lim _{z\to \infty }J_{0}(z)=1-{\frac {z^{2}}{4}}\,,}$

который сходится к Поток Гагена-Пуазейля профиль для устойчивого потока для

${\displaystyle \lim _{n\to 0}u(r,t)=-{\frac {P'_{0}}{4\mu }}\left(R^{2}-r^{2}\right)\,,}$

или к квазистатический импульс с параболическим профилем при

${\displaystyle \lim _{\alpha \to 0}u(r,t)=Re\left\{-\sum _{n=0}^{N}{\frac {P'_{n}}{4\mu }}(R^{2}-r^{2})\,e^{in\omega t}\right\}=-\sum _{n=0}^{N}{\frac {P'_{n}}{4\mu }}(R^{2}-r^{2})\,\cos(n\omega t)\,.}$

В этом случае функция действительна, поскольку волны давления и скорости находятся в фазе.

Верхний предел

Функция Бесселя на верхнем пределе принимает вид^[2]

${\displaystyle \lim _{z\to \infty }J_{0}(z\,i)={\frac {e^{z}}{\sqrt {2\pi \,z}}}\,,}$

который сходится к

${\displaystyle \lim _{z\to \infty }u(r,t)=Re\left\{\sum _{n=0}^{N}{\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\left[1-e^{\alpha \,n^{1/2}\,i^{1/2}\left({\frac {r}{R}}-1\right)}\right]e^{in\omega t}\right\}=-\sum _{n=0}^{N}{\frac {\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\left[1-e^{\alpha \,n^{1/2}\left({\frac {r}{R}}-1\right)}\right]\sin(n\,\omega \,t)\,.}$

Это очень напоминает слой Стокса на колеблющейся плоской пластине или проникновение переменного магнитного поля на глубину скин-слоя в электрический проводник. ${\displaystyle u(r=R,t)=0}$, но экспоненциальный член становится незначительным, когда ${\displaystyle \alpha (1-r/R)}$ становится большим, профиль скорости становится почти постоянным и не зависит от вязкости. Таким образом, поток просто колеблется в виде профиля пробки во времени в соответствии с градиентом давления,

${\displaystyle \rho {\frac {\partial u}{\partial t}}=-\sum _{n=0}^{N}P'_{n}\,.}$

Однако близко к стенам, слоем толщиной ${\displaystyle {\mathcal {O}}(\alpha ^{-1})}$, скорость быстро устанавливается на ноль. Кроме того, фаза временных колебаний быстро меняется в зависимости от положения в слое. Экспоненциальное затухание более высоких частот происходит быстрее.

Вывод

Для получения аналитического решения этого нестационарного профиля скорости потока приняты следующие допущения:^[3][4]

• Жидкость однородный, несжимаемый и Ньютоновский;
• Стенка трубы жесткий и круговой;
• Движение ламинарный, осесимметричный и параллельно оси трубки;
• Граничные условия являются: осесимметрия в центре и состояние прилипания к стене;
• Градиент давления - это периодическая функция что приводит в движение жидкость;
• Гравитация не влияет на жидкость.

Таким образом Уравнение Навье-Стокса и уравнение неразрывности упрощены как

${\displaystyle \rho {\frac {\partial u}{\partial t}}=-{\frac {\partial p}{\partial x}}+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)\,}$

и

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}=0\,,}$

соответственно. Градиент давления, управляющий пульсирующим потоком, разлагается на Ряд Фурье,

${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial x}}(t)=\sum _{n=0}^{N}P'_{n}e^{in\omega t}\,,}$

куда ${\displaystyle i}$ это мнимое число, ${\displaystyle \omega }$ это угловая частота из первых гармонический (т.е. ${\displaystyle n=1}$), и ${\displaystyle P'_{n}}$ являются амплитуды каждой гармоники ${\displaystyle n}$. Обратите внимание, что, ${\displaystyle P'_{0}}$ (означает ${\displaystyle n=0}$) - установившийся градиент давления, знак противоположна установившейся скорости (т.е. отрицательный градиент давления дает положительный поток). Аналогичным образом профиль скорости также раскладывается в ряд Фурье по фаза с градиентом давления, поскольку жидкость несжимаема,

${\displaystyle u(r,t)=\sum _{n=0}^{N}U_{n}e^{in\omega t}\,,}$

куда ${\displaystyle U_{n}}$ - амплитуды каждой гармоники периодической функции, а установившаяся составляющая (${\displaystyle n=0}$) просто Поток Пуазейля

${\displaystyle U_{0}=-{\frac {P'_{0}}{4\mu }}\left(R^{2}-r^{2}\right)\,.}$

Таким образом, уравнение Навье-Стокса для каждой гармоники читается как

${\displaystyle i\rho n\omega U_{n}=-P'_{n}+\mu \left({\frac {\partial ^{2}U_{n}}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U_{n}}{\partial r}}\right)\,.}$

При выполнении граничных условий общее решение этого обыкновенное дифференциальное уравнение для колебательной части (${\displaystyle n\geq 1}$) является

${\displaystyle U_{n}(r)=A_{n}\,J_{0}\left(\alpha \,{\frac {r}{R}}n^{1/2}\,i^{3/2}\right)+B_{n}\,Y_{0}\left(\alpha \,{\frac {r}{R}}n^{1/2}\,i^{3/2}\right)+{\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\,,}$

куда ${\displaystyle J_{0}(\cdot )}$ это Функция Бесселя первого рода и нулевого порядка, ${\displaystyle Y_{0}(\cdot )}$ - функция Бесселя второго рода нулевого порядка, ${\displaystyle A_{n}}$ и ${\displaystyle B_{n}}$ - произвольные постоянные, а ${\displaystyle \alpha =R\surd (\omega \rho /\mu )}$ это безразмерный Число Уомерсли. Осесимметическое граничное условие (${\displaystyle \partial U_{n}/\partial r|_{r=0}=0}$) применяется, чтобы показать, что ${\displaystyle B_{n}=0}$ чтобы производная приведенного выше уравнения действовала, как производные ${\displaystyle J_{0}'}$ и ${\displaystyle Y_{0}'}$ приближаются к бесконечности. Далее, граничное условие прилипания стенки (${\displaystyle U_{n}(R)=0}$) дает ${\displaystyle A_{n}=-{\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}{\frac {1}{J_{0}\left(\alpha \,n^{1/2}\,i^{3/2}\right)}}}$. Следовательно, амплитуды профиля скорости гармоники ${\displaystyle n}$ становится

${\displaystyle U_{n}(r)={\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\left[1-{\frac {J_{0}(\alpha \,n^{1/2}\,i^{3/2}\,{\frac {r}{R}})}{J_{0}(\alpha \,n^{1/2}\,i^{3/2})}}\right]={\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\left[1-{\frac {J_{0}(\Lambda _{n}\,{\frac {r}{R}})}{J_{0}(\Lambda _{n})}}\right]\,,}$

куда ${\displaystyle \Lambda _{n}=\alpha \,n^{1/2}\,i^{3/2}}$ используется для упрощения. Сам профиль скорости получается из настоящий часть сложная функция в результате суммирование всех гармоник импульса,

${\displaystyle u(r,t)={\frac {P'_{0}}{4\mu }}\left(R^{2}-r^{2}\right)+Re\left\{\sum _{n=1}^{N}{\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\left[1-{\frac {J_{0}(\Lambda _{n}\,{\frac {r}{R}})}{J_{0}(\Lambda _{n})}}\right]e^{in\omega t}\right\}\,.}$

Скорость потока

Скорость потока получается интегрированием поля скорости по сечению. С,

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[x^{p}J_{p}(a\,x)\right]=a\,x^{p}J_{p-1}(a\,x)\quad \Rightarrow \quad {\frac {d}{dx}}\left[x\,J_{1}(a\,x)\right]=a\,xJ_{0}(a\,x)\,,}$

тогда

${\displaystyle Q(t)=\iint u(r,t)\,dA=Re\left\{\pi \,R^{2}\,\sum _{n=1}^{N}{\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\left[1-{\frac {2}{\Lambda _{n}}}{\frac {J_{1}(\Lambda _{n})}{J_{0}(\Lambda _{n})}}\right]e^{in\omega t}\right\}\,.}$

Профиль скорости

Масштабированные профили скорости пульсирующего потока сравниваются в соответствии с числом Уомерсли.

Для сравнения формы профиля скорости можно предположить, что

${\displaystyle u(r,t)=f(r)\,{\frac {Q(t)}{A}}\,,}$

куда

${\displaystyle f(r)={\frac {u(r,t)}{\frac {Q(t)}{A}}}=Re\left\{\sum _{n=1}^{N}\left[{\frac {\Lambda _{n}\,J_{0}(\Lambda _{n})-\Lambda _{n}\,J_{0}(\Lambda _{n}\,{\frac {r}{R}})}{\Lambda _{n}\,J_{0}(\Lambda _{n})-2\,J_{1}(\Lambda _{n})}}\right]\right\}}$

- функция формы.^[5]Важно отметить, что в этой формулировке не учитываются инерционные эффекты. Профиль скорости приближается к параболическому профилю или профилю пробки для низкого или высокого числа Уомерсли соответственно.

Напряжение сдвига стенки

Для прямых труб напряжение сдвига стенки является

${\displaystyle \tau _{w}=\mu \left.{\frac {\partial u}{\partial r}}\right|_{r=R}\,.}$

Производная функции Бесселя равна

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left[x^{-p}J_{-p}(a\,x)\right]=a\,x^{-p}J_{p+1}(a\,x)\quad \Rightarrow \quad {\frac {\partial }{\partial x}}\left[J_{0}(a\,x)\right]=-a\,J_{1}(a\,x)\,.}$

Следовательно,

${\displaystyle \tau _{w}=Re\left\{\sum _{n=1}^{N}P'_{n}{\frac {R}{\Lambda _{n}}}{\frac {J_{1}(\Lambda _{n})}{J_{0}(\Lambda _{n})}}e^{in\omega t}\right\}\,.}$

Скорость центральной линии

Если градиент давления ${\displaystyle P'_{n}}$ не измеряется, его все же можно получить, измерив скорость на центральной линии. Измеренная скорость имеет только действительную часть полного выражения в виде

${\displaystyle {\tilde {u}}(t)=Re(u(0,t))\equiv \sum _{n=1}^{N}{\tilde {U}}_{n}\,\cos(n\,\omega \,t)\,.}$

Отмечая, что ${\displaystyle J_{0}(0)=1}$, полное физическое выражение становится

${\displaystyle u(0,t)=Re\left\{\sum _{n=1}^{N}{\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\left[{\frac {J_{0}(\Lambda _{n})-1}{J_{0}(\Lambda _{n})}}\right]e^{in\omega t}\right\}}$

по центральной линии. Измеренная скорость сравнивается с полным выражением путем применения некоторых свойств комплексного числа. Для любого произведения комплексных чисел (${\displaystyle C=AB}$) амплитуда и фаза имеют соотношения ${\displaystyle |C|=|A||B|}$ и ${\displaystyle \phi _{C}=\phi _{A}+\phi _{B}}$, соответственно. Следовательно,

${\displaystyle {\tilde {U}}_{n}=\left|{\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\left[{\frac {J_{0}(\Lambda _{n})-1}{J_{0}(\Lambda _{n})}}\right]\right|\quad \Rightarrow \quad P'_{n}={\tilde {U}}_{n}\left|i\,\rho \,n\,\omega \left[{\frac {J_{0}(\Lambda _{n})}{1-J_{0}(\Lambda _{n})}}\right]\right|}$

и

${\displaystyle {\tilde {\phi }}=0=\phi _{P'_{n}}+\phi _{U_{n}}\quad \Rightarrow \quad \phi _{P'_{n}}=\operatorname {phase} \left({\frac {i}{\rho \,n\,\omega }}\left[{\frac {1-J_{0}(\Lambda _{n})}{J_{0}(\Lambda _{n})}}\right]\right)\,,}$

которые, наконец, дают

${\displaystyle {\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x}}=\sum _{n=1}^{N}{\tilde {U}}_{n}\left|i\,\rho \,n\,\omega \left[{\frac {J_{0}(\Lambda _{n})}{1-J_{0}(\Lambda _{n})}}\right]\right|\,\cos \left\{n\,\omega \,t+\operatorname {phase} \left({\frac {i}{\rho \,n\,\omega }}\left[{\frac {1-J_{0}(\Lambda _{n})}{J_{0}(\Lambda _{n})}}\right]\right)\right\}\,.}$

Смотрите также

• Сердечно-сосудистая система
• Гемодинамика
• Число Уомерсли
• Гидравлический молот

Рекомендации

1. Уомерсли, Дж. Р. (март 1955 г.). «Метод расчета скорости, скорости потока и вязкого сопротивления в артериях, когда известен градиент давления». J. Physiol. 127 (3): 553–563. Дои:10.1113 / jphysiol.1955.sp005276. ЧВК  1365740. PMID  14368548.
2. Местел, Джонатан (март 2009 г.). «Пульсирующий кровоток в длинной прямой артерии» (PDF). Имперский колледж Лондон. Получено 6 января 2017. Механика биожидкостей: лекция 14
3. Фунг, Ю. К. (1990). Биомеханика - движение, поток, стресс и рост. Нью-Йорк (США): Springer-Verlag. п. 569. ISBN  9780387971247.
4. Nield, D.A .; Кузнецов, А. (2007). «Принудительная конвекция с ламинарным пульсирующим потоком в канале или трубе». Международный журнал термических наук. 46 (6): 551–560. Дои:10.1016 / j.ijthermalsci.2006.07.011.
5. Сан, Омер; Скобы, Энн Э (2012). «Усовершенствованная модель физиологических потоков жидкости пониженного порядка». Журнал механики в медицине и биологии. 12 (3): 125–152. arXiv:1212.0188. Дои:10.1142 / S0219519411004666.