Псевдокомпактное пространство - Pseudocompact space

В математика, в области топология, а топологическое пространство как говорят псевдокомпактный если его изображение под любым непрерывная функция к р является ограниченный. Многие авторы включают требование, чтобы пространство полностью обычный прямо в определении псевдокомпактности. Псевдокомпактные пространства были определены Эдвин Хьюитт в 1948 г.^[1]

Свойства, связанные с псевдокомпактностью

Для Тихоновское пространство Икс быть псевдокомпактный требует, чтобы каждый локально конечный набор из непустой открытые наборы из Икс быть конечный. Существует много эквивалентных условий псевдокомпактности (иногда следует принять некоторую аксиому разделения); большое количество из них цитируется в Stephenson 2003. Некоторые исторические замечания о более ранних результатах можно найти в Engelking 1989, p. 211.
Каждый счетно компактный пространство псевдокомпактно. За нормальные хаусдорфовы пространства Верно и обратное.
Как следствие приведенного выше результата, каждый последовательно компактный пространство псевдокомпактно. Обратное верно для метрические пространства. Поскольку последовательная компактность эквивалентна условию компактность для метрических пространств это означает, что компактность эквивалентна псевдокомпактности и для метрических пространств.
Более слабый результат о том, что каждый компакт является псевдокомпактным, легко доказывается: образ компактного пространства при любой непрерывной функции компактен, и каждый компакт в метрическом пространстве ограничен.
Если Y - непрерывный образ псевдокомпактного Икс, тогда Y псевдокомпактный. Обратите внимание, что для непрерывных функций грамм : Икс → Y и час : Y → р, то сочинение из грамм и час, называется ж, - непрерывная функция из Икс к действительным числам. Следовательно, ж ограничен, и Y псевдокомпактный.
Позволять Икс быть бесконечным множеством с учетом топология конкретной точки. потом Икс не является ни компактным, ни последовательно компактным, ни счетно компактным, ни паракомпактным, ни метакомпактным. Однако, поскольку Икс гиперподключен, он псевдокомпактен. Это показывает, что псевдокомпактность не подразумевает никакой другой (известной) формы компактности.
Для Пространство Хаусдорфа Икс быть компактный требует, чтобы Икс быть псевдокомпактный и настоящийкомпактный (см. Engelking 1968, с. 153).
Для Тихоновское пространство Икс быть компактный требует, чтобы Икс быть псевдокомпактный и метакомпакт (см. Watson).

Псевдокомпактные топологические группы

Имеется относительно уточненная теория псевдокомпактного топологические группы.^[2] Особенно, W. W. Комфорт и Кеннет А. Росс доказал, что произведение псевдокомпактных топологических групп остается псевдокомпактным (это может не работать для произвольных топологических пространств).^[3]

Примечания

^ Кольца вещественнозначных непрерывных функций, I, Trans. Амер. Математика. Soc. 64 [1] (1948), 45-99.
^ См., Например, Михаил Ткаченко, Топологические группы: между компактностью и ${displaystyle aleph _ {0}}$ -ограниченность, в Мирек Гусек и Ян ван Милл (ред.), Недавний прогресс в общей топологии II, 2002 г., Elsevier Science B.V.
^ Комфорт У. У., Росс К. А. Псевдокомпактность и равномерная непрерывность в топологических группах // Pacific J. Math. 16, 483-496, 1966. [2]

Смотрите также

внешняя ссылка

М.И. Войцеховский (2001) [1994], «Псевдокомпактное пространство», Энциклопедия математики, EMS Press.
«Псевдокомпактное пространство». PlanetMath..

[1] Кольца вещественнозначных непрерывных функций, I, Trans. Амер. Математика. Soc. 64 [1] (1948), 45-99.

[2] См., Например, Михаил Ткаченко, Топологические группы: между компактностью и ${displaystyle aleph _ {0}}$ -ограниченность, в Мирек Гусек и Ян ван Милл (ред.), Недавний прогресс в общей топологии II, 2002 г., Elsevier Science B.V.

[3] Комфорт У. У., Росс К. А. Псевдокомпактность и равномерная непрерывность в топологических группах // Pacific J. Math. 16, 483-496, 1966. [2]

[1]

[2]

[3]