Проблема Наполеона - Napoleons problem

Проблема Наполеона это компас конструкция проблема. В нем круг и это центр даны. Задача состоит в том, чтобы разделить круг на четыре равных дуги используя только компас.^[1][2] Наполеон был известен как математик-любитель, но неизвестно, создал ли он эту задачу или решил ее. Друг Наполеона Итальянский математик Лоренцо Маскерони ввел ограничение на использование только компаса (без линейки) в геометрические конструкции. Но на самом деле задача выше проще, чем настоящая проблема Наполеона, заключающийся в нахождении центра данного круга только с помощью компаса. В следующих разделах будут описаны решения трех проблем и доказательства что они работают.

Георг Мор книга 1672 г. "Евклид Даникус "предвосхитил идею Маскерони, хотя книга была открыта заново только в 1928 году.

Разделение данного круга на четыре равные дуги с учетом его центра

С центром в любой точке X на окружности C, проведите дугу через точку O (центр C) который пересекает C в точках V и Y. Проделайте то же самое с центром в Y через точку O, пересекая C в X и Z. Обратите внимание, что отрезки OV, OX, OY, OZ, VX, XY, YZ имеют одинаковую длину, причем все расстояния равны радиусу окружности. C.

Теперь нарисуйте дугу с центром в V, которая проходит через Y, и дугу с центром в Z, которая проходит через X; назови где эти две дуги пересекаться T. Обратите внимание, что расстояния VY и XZ равны ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ умножить на радиус круга C.

Положите радиус компаса равным расстоянию OT (${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ умножить на радиус круга C) и нарисуйте дугу с центром в Z, которая пересекает круг C в U и W. UVWZ - это квадрат и дуги из C UV, VW, WZ и ZU равны четверти длина окружности из C.

Нахождение центра заданного круга

Пусть (C) - круг, центр нужно найти.^[3]

Пусть A - точка на (C).

Окружность (C1) с центром в A пересекает (C) в B и B '.

Два круга (C2) с центрами в B и B ', с радиус AB, снова пересеките точку C.

Окружность (C3) с центром в C и радиусом AC пересекает (C1) в точках D и D '.

Две окружности (C4) с центрами в D и D 'с радиусом AD пересекаются в точке A и в точке O, искомом центре (C).

Примечание: для этого радиус круга (C1) не должен быть ни слишком маленьким, ни слишком большим. Точнее, этот радиус должен составлять от половины до двойного радиуса (C): если радиус больше диаметра (C), (C1) не будет пересекаться (C); если радиус меньше половины радиуса (C), точка C будет между A и O, а (C3) не будет пересекаться (C1).

Доказательство

Идея, лежащая в основе доказательство состоит в том, чтобы построить с помощью одного компаса длина b² / a при длине а и б известны, а a / 2 ≤ b ≤ 2a.

На рисунке справа окружность радиуса а нарисован, с центром в O; на нем выбирается точка A, из которой можно определить точки B и B 'так, чтобы AB и AB' имели длину б. Точка A 'находится напротив точки A, но ее не нужно строить (для этого потребуется линейка); аналогично точка H является (виртуальным) пересечением AA 'и BB'. Точку C можно определить из точек B и B ', используя круги радиуса б.

Треугольник ABA 'имеет прямой угол в точке B, а BH перпендикулярен AA', поэтому:

${\displaystyle {\frac {AH}{AB}}={\frac {AB}{AA'}}}$

Следовательно, ${\displaystyle AH={\frac {b^{2}}{2a}}}$ и AC = b² / a.

В приведенной выше конструкции центра такая конфигурация встречается дважды:

• точки A, B и B 'находятся на окружности (C), радиус a
  ₁ = г; AB, AB ', BC и B'C равны b
  ₁ = R, поэтому ${\displaystyle AC={\frac {R^{2}}{r}}}$;
• точки A, D и D 'находятся на окружности с центром C, радиус ${\displaystyle a_{2}={\frac {R^{2}}{r}}}$ ; DA, D'A, DO и D'O равны b
  ₂ = R, поэтому ${\displaystyle AO={\frac {R^{2}}{R^{2}/r}}=r}$.

Следовательно, O - центр круга (C).

Нахождение середины заданного расстояния или отрезка линии

Построение середины дистанции или отрезка только с помощью циркуля, анимация глянь сюда.

Пусть | AD | быть расстояние, центр которого нужно найти.^[4]

Два круга (C₁) с центром в A и (C₂) с центром в D и радиусом | AD | встречаются в B и B '.

Круг (C₃) с центром в B 'и радиусом | B'B | встречает круг (C₂) в точке А '.

Круг (C₄) с центром в A 'и радиусом | A'A | встречает круг (C₁) в E и E '.

Два круга (C₅) с центром в E и (C₆) с центром в E 'и радиусом | EA | встречаются в A и O. O - искомый центр | AD |.

• Принцип конструкции может также применяться к отрезок ОБЪЯВЛЕНИЕ.
• Описанное выше доказательство также применимо к этой конструкции.

Примечание. Точка А на рисунке эквивалентна точке А на рисунке. доказательство.

Следовательно, радиус: (C₂) ≙ (C) и точки: O ≙ H, B ≙ B, D ≙ O и A '≙ A'.

Смотрите также

• Теорема наполеона
• Наполеон очки

Рекомендации

1. Программа Folens MATHS 9, 3 классы. Конструкции Маскерони, проблема Наполеона, с. 72–73 Директор проекта: Мэри Пардо, 2003 г., Folens Limited, ISBN  1 84303 358-5 Дата обращения 7 июня 2018.
2. Проблема Наполеона
3. Август Адлер (1906), "Mascheronische Konstruktionen стр. 119, рис. 96", Theorie der geometrischen Konstruktionen (на немецком языке), Лейпциг: G. J. Göschensche Verlagshandlung, стр. 301, получено 2018-06-03
4. Август Адлер (1906), "Mascheronische Konstruktionen стр. 97–98, рис. 73", Theorie der geometrischen Konstruktionen (на немецком языке), Лейпциг: G. J. Göschensche Verlagshandlung, стр. 301, получено 2018-06-03