Теорема Наполеона - Napoleons theorem

Теорема Наполеона: если треугольники с центром L, M, и N равносторонние, то и зеленый треугольник.

В геометрия, Теорема наполеона заявляет, что если равносторонние треугольники построены по бокам любого треугольник, либо все наружу, либо все внутрь, линии, соединяющие центры из тех равносторонний Сами треугольники образуют равносторонний треугольник.

Образованный таким образом треугольник называется внутренним или внешним. Наполеоновский треугольник. Разница в площадях внешнего и внутреннего треугольников Наполеона равна площади исходного треугольника.

Теорема часто приписывается Наполеон Бонапарт (1769–1821). Некоторые предположили, что это может быть В. Резерфорда 1825 вопрос опубликован в Женский дневник через четыре года после смерти французского императора,^[1][2] но результат определяется тремя вопросами, заданными на экзамене на золотую медаль в Дублинском университете в октябре 1820 года, тогда как Наполеон умер в мае следующего года.

Доказательства

На рисунке выше ABC - это исходный треугольник. AZB, BXC и CYA - это равносторонние треугольники, построенные на внешней стороне его сторон, а точки L, M и N - центроиды этих треугольников. Теорема для внешних треугольников утверждает, что треугольник LMN (зеленый) равносторонний.

Быстрый способ убедиться, что треугольник LMN равносторонний, - это заметить, что MN становится CZ под действием по часовой стрелке вращение на 30 ° вокруг A и a гомотетия отношения √3 с тем же центром, и это LN также становится CZ после поворота против часовой стрелки на 30 ° вокруг B и гомотетии отношения √3 с таким же центром. Соответствующая спираль сходства^[3] площадь(√3, -30 °) и B (√3, 30 °). Это означает, что MN = LN и угол между ними должен составлять 60 °.^[4]

На самом деле существует множество доказательств утверждения теоремы, включая синтетический (безкоординатный) один,^[5] а тригонометрический один,^[6] а симметрия основанный на подходе,^[7] и доказательства с использованием сложные числа.^[6]

Фон

Выписка из 1826 г. Женский дневник дает геометрические и аналитические доказательства

Теорема часто приписывалась Наполеону, но по этому поводу написано несколько статей.^[8][9] которые ставят под сомнение это утверждение (см.Грюнбаум 2012 )).

Следующая запись появилась на странице 47 женского дневника 1825 года (то есть в конце 1824 года, примерно через год после составления дублинских экзаменационных работ). Это раннее появление теоремы Наполеона в печати, и имя Наполеона не упоминается.

VII. Квест. (1439); г-на В. Резерфорда, Вудберн.

«Опишите равносторонние треугольники (все вершины обращены либо наружу, либо все внутрь) на трех сторонах любого треугольника ABC: тогда линии, соединяющие центры тяжести этих трех равносторонних треугольников, составят равносторонний треугольник. Требуется демонстрация».

С Уильям Резерфорд был очень способным математиком, его мотивы потребовать доказательства теоремы, которую он определенно мог бы доказать, неизвестен. Может быть, он задал вопрос своим сверстникам, а может, надеялся, что ответы дадут более элегантное решение. Однако, читая следующие выпуски Женский дневник в 1820-х годах редактор стремился ежегодно включать в себя разнообразный набор вопросов, некоторые из которых подходят для упражнений начинающих.

Совершенно очевидно, что ни в вопросе, ни в опубликованных ответах, появившихся годом позже, в 1826 году, нет упоминания о Наполеоне, хотя редактор, очевидно, пропустил некоторые материалы. Кроме того, сам Резерфорд не фигурирует среди названных решателей после напечатанных решений, хотя из подсчета несколькими страницами ранее очевидно, что он действительно прислал решение, как и несколько его учеников и сотрудников в Вудбернской школе, включая первого из опубликованные решения. Действительно, Группа по решению проблем Вудберна, как ее можно было бы назвать сегодня, к тому времени была достаточно хорошо известна, чтобы о ней можно было писать в Исторический, географический и описательный вид графства Нортумберленд ... (2-е изд. Vo. II, стр. 123–124). Считалось, что первая известная ссылка на этот результат как на теорему Наполеона появилась в 17-м издании Файфофера. Elementi di Geometria опубликовано в 1911 г.,^[10] хотя Файфофер действительно упоминает Наполеона в несколько более ранних изданиях. Но это спорный вопрос, потому что мы находим Наполеона, упомянутого по имени в этом контексте в энциклопедии 1867 года. Что представляет больший исторический интерес в отношении Файфофера, так это проблема, которую он использовал в более ранних изданиях: классическая проблема описания наибольшего равностороннего треугольника вокруг данный треугольник, который Томас Мосс поставил в Женский дневник в 1754 году, в решении которого Уильям Бевил в следующем году легко узнает зародыш теоремы Наполеона - два результата затем идут вместе, по крайней мере в течение следующих ста лет на проблемных страницах популярных альманахов: когда Хонсбергер сделал предложение в Математические жемчужины в 1973 году то, что он считал своей собственной новинкой, он фактически суммировал часть этой обширной, хотя и неофициальной литературы.

С таким же успехом можно вспомнить, что популярный вариант предложения Пифагора, где квадраты размещаются по краям треугольников, заключался в размещении равносторонних треугольников по краям треугольников: не могли бы вы сделать с равносторонними треугольниками то же, что и с квадратами? например, в случае прямоугольных треугольников, разрезать треугольник на гипотенузе на треугольники на ногах? Подобно тому, как авторы неоднократно возвращались, чтобы рассмотреть другие свойства ветряной мельницы Евклида или кресла невесты, так и эквивалентная фигура с равносторонними треугольниками, заменяющими квадраты, привлекла - и получила - внимание. Пожалуй, самой грандиозной попыткой в ​​этом отношении является вопрос о призах Уильяма Мейсона. Дневник леди и джентльмена для 1864 года решения и комментарии, которые в следующем году занимают около пятнадцати страниц. К тому времени это почтенное место - начиная с 1704 г. Женский дневник а в 1741 г. Дневник Джентльмена - был на последнем издыхании, но проблемы такого рода продолжались в Образовательные времена прямо в начале 1900-х годов.

Дублинские проблемы, октябрь 1820 г.

В газете по геометрии, установленной на второе утро бумаг для кандидатов на золотую медаль на общем экзамене Дублинский университет в октябре 1820 г. возникают следующие три проблемы.

Вопрос 10. Таким образом, на сторонах данного треугольника построены три равносторонних треугольника A, B, D, а прямые, соединяющие их центры, C, C ', C "образуют равносторонний треугольник. [На прилагаемой диаграмме показаны равносторонние треугольники, расположенные наружу.]

Вопрос 11. Если три равносторонних треугольника построены, как на последнем рисунке, линии, соединяющие их центры, также образуют равносторонний треугольник. [На прилагаемой диаграмме равносторонние треугольники показаны внутрь.]

Вопрос 12. Исследовать связь между площадью данного треугольника и площадями этих двух равносторонних треугольников.

Эти проблемы записаны в

• Дублинские задачи: сборник вопросов, предложенных кандидатам на золотую медаль на общих экзаменах с 1816 по 1822 год включительно. За ним следует отчет о экзамене на стипендию в 1823 г. (Дж. И В. Б. Уиттакеры, Лондон, 1823 г.)^[11]

Вопрос 1249 в Джентльменский дневник; или математический репозиторий для 1829 года (так появилось в конце 1828 года) поднимает тему, с решениями, появляющимися в выпуске на следующий год. Один из решателей, Т. С. Дэвис затем обобщил результат в вопросе 1265 в том году, представив свое собственное решение в следующем году, опираясь на документ, который он уже внес в Философский журнал в 1826 г. В этом материале нет перекрестных ссылок на описанный выше. Тем не менее, на проблемных страницах популярных альманахов есть несколько элементов, представляющих родственный интерес, как начиная с середины 1750-х годов (Мосс), так и до середины 1860-х годов (Мейсон), как упоминалось выше.

Так получилось, что имя Наполеона упоминается в связи с этим результатом не меньше, чем в справочном произведении. Энциклопедия Чемберса еще в 1867 г. (том IX, ближе к концу записи о треугольниках).

Еще одно замечательное свойство треугольников, известное как проблема Наполеона, заключается в следующем: если в каком-либо треугольнике описаны три равносторонних треугольника и центры тяжести этих трех соединены, то образованный таким образом треугольник будет равносторонним, а его центр тяжести совпадает с что из исходного треугольника.

Но затем результат с доказательством появился в учебнике по крайней мере к 1834 году (книга Джеймса Томсона Евклид, стр. 255–256 ^[12]). В примечании (стр. 372) Томасон добавляет:

Я не встречал этого любопытного предложения, за исключением Дублинские проблемы, опубликовано в 1823 г. и вставлено без демонстрации.

Во втором издании (1837 г.) Томсон расширил сноску, предоставив доказательство от бывшего студента из Белфаста:

Ниже приводится набросок очень простого и аккуратного доказательства, сделанного мистером Адамом Д. Глазго из Белфаста, моим бывшим учеником с большим вкусом и талантом к математическим занятиям:

Таким образом, Томсон, похоже, не осведомлен о появлении проблемы в Женский дневник на 1825 год или Дневник Джентльмена в 1829 г. (точно так же, как Дж. С. Маккей оставался в неведении о последнем появлении с его ссылкой на Дублинские проблемы, отмечая при этом первое; читатели Американский математический ежемесячный журнал есть указатель на вопрос 1249 в Дневник Джентльмена из Р. К. Арчибальд в номере за январь 1920 г., стр. 41, сл. 7, хотя первое опубликованное решение в Женский дневник для 1826 года показывает, что даже Арчибальд не был всеведущ в вопросах приоритета).

Общий центр

Центры как внутреннего, так и внешнего треугольника Наполеона совпадают с центроид исходного треугольника. Это совпадение было отмечено в энциклопедии Чемберса в 1867 году, как указано выше. Запись там без подписи. П. Г. Тейт, в то время профессор естественной философии в Эдинбургском университете, указан среди авторов, но Дж. У. Хиллхаус, преподаватель математики также в Эдинбургском университете, фигурирует среди авторов. другие джентльмены-литераторы в течение более или менее продолжительного периода времени связывались с штатным персоналом Энциклопедии. Однако в разделе 189 (e) Элементарный трактат о кватернионах,^[13] также в 1867 году Тейт рассматривает эту проблему (по сути, повторяя замечание Дэвиса в «Дневнике джентльмена» 1831 года по вопросу 1265, но теперь в контексте кватернионов):

Если перпендикуляры возводятся наружу в средних точках сторон треугольника, каждый из которых пропорционален соответствующей стороне, средняя точка их концов совпадает с точкой исходного треугольника. Найдите отношение каждого перпендикуляра к половине соответствующей стороны старого треугольника, в которой новый треугольник может быть равносторонним.

Тейт заключает, что средние точки равносторонних треугольников, воздвигнутых снаружи на сторонах любого треугольника, образуют равносторонний треугольник. Обсуждение сохраняется в последующих изданиях 1873 и 1890 годов, а также в его дальнейших Введение в кватернионы ^[14] совместно с Филип Келланд в 1873 г.

Площади и стороны внутреннего и внешнего треугольников Наполеона

Площадь внутреннего треугольника Наполеона треугольника с площадью ${\displaystyle \Delta }$ является

${\displaystyle {\text{Area(inner)}}=-{\frac {\Delta }{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{24}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 0,}$

куда а, б, и c - длины сторон исходного треугольника, с равенством только в случае, когда исходный треугольник является равносторонним, на Неравенство Вайтценбека. Однако с алгебраической точки зрения^[15] внутренний треугольник "ретроградный" и его алгебраический area - отрицательное значение этого выражения.^[16]

Площадь внешнего треугольника Наполеона равна^[17]

${\displaystyle {\text{Area(outer)}}={\frac {\Delta }{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{24}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}).}$

Аналитически, это можно показать^[6] что каждая из трех сторон внешнего треугольника Наполеона имеет длину

${\displaystyle {\text{Side(outer)}}={\sqrt {{a^{2}+b^{2}+c^{2} \over 6}+{{\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}} \over {2{\sqrt {3}}}}}}.}$

Связь между последними двумя уравнениями заключается в том, что площадь равностороннего треугольника равна квадрату стороны, умноженной на ${\displaystyle {\sqrt {3}}/4.}$

Обобщения

Равносторонние треугольники на сторонах произвольного шестиугольника: когда A1 = A4, A2 = A5, A3 = A6 эта теорема становится теоремой Наполеона.

Теорема Петра – Дугласа – Неймана.

Если построить равнобедренные треугольники с углами при вершине 2kπ / n по сторонам произвольного n-угольника A₀, и если этот процесс повторяется с n-угольником, образованным свободными вершинами треугольников, но с другим значением k, и так далее, пока не будут использованы все значения 1 ≤ k ≤ n - 2 (в произвольном порядке) , то правильный n-угольник A_п-2 образуется, центроид которого совпадает с центроидом A₀.^[18]

Теорема Наполеона-Барлотти

Центры правильных n-угольников, построенные по сторонам n-угольника P, образуют правильный n-угольник тогда и только тогда, когда P является аффинным образом правильного n-угольника.^[19][20]

Смотрите также

• Наполеон очки
• Проблема Лемуана
• Проблема Наполеона

Примечания

1. Грюнбаум 2012
2. «Теорема Наполеона - из Wolfram MathWorld». Mathworld.wolfram.com. 2013-08-29. Получено 2013-09-06.
3. Вайсштейн, Эрик В. «Спиральное подобие». MathWorld.
4. Для наглядной демонстрации см. Теорема Наполеона через два вращения в Разрезать узел.
5. Кокстер, H.S.M., и Грейцер, Сэмюэл Л. 1967. Возвращение к геометрии, страницы 60-63.
6. «Теорема Наполеона». MathPages.com.
7. Александр Богомольный. «Доказательство №2 (аргумент симметризацией)». Cut-the-knot.org. Получено 2013-09-06.
8. Кавалларо, В. (1949), "По историям теории атрибутов Наполеона Буонапарта и Фрэнка Морли", Архимед, 1: 286–287
9. Скриба, Кристоф Дж (1981). "Wie kommt 'Napoleons Satz' zu seinem namen?". Historia Mathematica. 8 (4): 458–459. Дои:10.1016/0315-0860(81)90054-9.
10. Файфофер (1911), Elementi di Geometria (17-е изд.), Венеция, стр. 186, но историческая справка цитирует разные издания в разные годы. Эта ссылка взята из (Ветцель 1992 )
11. http://solo.bodleian.ox.ac.uk/primo_library/libweb/action/dlDisplay.do?vid=OXVU1&docId=oxfaleph014134656 http://dbooks.bodleian.ox.ac.uk/books/PDFs/590315941.pdf [22,8 МБ]
12. Первые шесть, одиннадцатая и двенадцатая книги элементов Евклида; с примечаниями и иллюстрациями, а также приложение в пяти книгах (Адам и Чарльз Бэк, Эдинбург; Longman, Rees & co, Лондон; Джон Камминг, Дублин; Simms & McIntyre , Белфаст; Джеймс Браш и Ко, Глазго, 1834 г.) https://books.google.com/books?id=dQBfAAAAcAAJ
13. Clarendon Press, Oxford, 1867, стр. 133-135.
14. Macmillan, London, 1873, стр. 42-43.
15. Вайсштейн, Эрик В. «Внутренний треугольник Наполеона». Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/InnerNapoleonTriangle.html
16. Кокстер, H.S.M., и Грейцер, Сэмюэл Л. 1967. Возвращение к геометрии, стр.64.
17. Вайсштейн, Эрик У. «Внешний треугольник Наполеона». Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/OuterNapoleonTriangle.html
18. «Изогональные призматоиды». Дискретная и вычислительная геометрия. 18: 13–52. Дои:10.1007 / PL00009307.
19. A. Barlotti, Intorno ad una generalizzazione di un noto teorema relativo al triangolo, Boll. ООН. Мат. Итал.7 нет. 3 (1952) 182–185.
20. Una proprietà degli n-agoni che si ottengono transformando in una affinità un n-agono regolare, Boll. ООН. Мат. Ital. 10 шт. 3 (1955) 96–98.

Рекомендации

• Кокстер, H.S.M.; Грейцер, С. (1967). Возвращение к геометрии. Новая математическая библиотека. 19. Вашингтон, округ Колумбия.: Математическая ассоциация Америки. С. 60–65. ISBN  978-0-88385-619-2. Zbl  0166.16402.
• Грюнбаум, Бранко (2012), "Теорема Наполеона Действительно Теорема Наполеона? », Американский математический ежемесячный журнал, 119 (6): 495–501, Дои:10.4169 / amer.math.monthly.119.06.495, Zbl  1264.01010
• Ветцель, Джон Э. (апрель 1992 г.). "Обращение теоремы Наполеона" (PDF). Американский математический ежемесячник. 99 (4): 339–351. Дои:10.2307/2324901. Zbl  1264.01010. Архивировано из оригинал (PDF) на 2014-04-29.

внешняя ссылка

• Теорема Наполеона и обобщения, в Разрезать узел
• Чтобы увидеть строительство, в инструментаменпоче
• Теорема Наполеона Джей Варендорф, The Вольфрам Демонстрационный проект.
• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Наполеона». MathWorld.
• Теорема Наполеона и некоторые обобщения, вариации и обращения в Эскизы динамической геометрии
• Теорема Наполеона, два простых доказательства
• Бесконечные правильные шестиугольные последовательности на треугольнике (обобщение теоремы Наполеона) к Элви Рэй Смит.

В этой статье использован материал теоремы Наполеона о PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.