Проблема Лемуана - Lemoines problem

В математика, Проблема Лемуана представляет собой некую конструктивную задачу в элементарной самолет геометрия поставленный Французский математик Эмиль Лемуан (1840–1912) в 1868 г.[1][2] Проблема была опубликована как вопрос 864 в Nouvelles Annales de Mathématiques (Серия 2, Том 7 (1868), стр. 191). Главный интерес к проблеме состоит в том, что обсуждение решения проблемы Людвиг Киперт опубликовано в Nouvelles Annales de Mathématiques (серия 2, том 8 (1869), стр. 40–42) содержал описание гипербола которая теперь известна как гипербола Киперта.[3]

Постановка задачи

Вопрос, опубликованный Лемуаном, ставит следующую конструктивную проблему:

Учитывая один вершина каждого из равносторонние треугольники размещены по бокам треугольник, построить исходный треугольник.

Решение Людвига Киперта

Схема, иллюстрирующая лемму 1.
Диаграмма, иллюстрирующая решение Людвига Киперта проблемы Лемуана

Киперт доказывает справедливость своей конструкции, доказывая несколько леммы.[3][4]

Проблема
Позволять А1, B1, C1 быть вершинами равносторонние треугольники размещены по бокам треугольник ABC. Данный А1, B1, C1 строить А, B, C.
Лемма 1.
Если на трех сторонах произвольного треугольника ABC, один описывает равносторонние треугольники ABC1, ACB1, BCA1, то отрезки AA1, BB1, CC1 равны, они соглашаться в точке п, а углы между ними равны 60 °.
Лемма 2
Если на А1B1C1 строится такая же конструкция, как на ABC, получится три равносторонних треугольника А1B1C2, А1C1B2, B1C1А2, три равных отрезка А1А2, B1B2, C1C2, который также будет согласован в точке п.
Лемма 3.
А, B, C соответственно средние точки из А1А2, B1B2, C1C2.
Решение
  • Опишите на сегментах А1B1, А1C1, B1C1 равносторонние треугольники А1B1C2, А1C1B2, B1C1А2, соответственно.
  • Середины А1А2, B1B2, C1C2 являются, соответственно, вершинами А, B, C искомого треугольника.

Другие решения

Несколько других людей, помимо Киперта, представили свои решения в течение 1868-189 гг., В том числе господа Виллиер (в Арлоне), Брокар, Клавери (лицей Клермон), Жоффр (лицей Карла Великого), Расин (лицей де Пуатье), Ожье (лицей де Кан). ), В. Небиловски и Л. Анри Лорреса. Решение Киперта было более полным, чем другие.[3]

Рекомендации

  1. ^ Вайсштейн, Эрик В. "Проблема Лемуана". Из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. Получено 9 мая 2012.
  2. ^ Ветцель, Джон Э. (апрель 1992 г.). "Обращение теоремы Наполеона" (PDF). Американский математический ежемесячник. 99 (4): 339–351. Дои:10.2307/2324901. Архивировано из оригинал (PDF) 29 апреля 2014 г.. Получено 9 мая 2012.
  3. ^ а б c Детали конструкции, данные Кипертом на французском языке, можно прочитать здесь. [1]
  4. ^ Хулио Гонсалес Кабийон. «Гипербола Киперта». Математический форум. Гудвин колледж профессиональных исследований. Получено 9 мая 2012.