Неравенство Вайтценбёкса - Weitzenböcks inequality

Не путать с Фирменный стиль Weitzenböck.

Согласно неравенству Вайтценбека, площадь этого треугольник самое большее (а² + б² + c²) ⁄ 4√3.

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{all inner angles}}<120^{\circ }:\\&{\text{grey area}}=3\Delta \leq \Delta _{a}+\Delta _{b}+\Delta _{c}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{one inner angle}}\geq 120^{\circ }:\\&{\text{grey area}}=3\Delta \leq \Delta _{c}<\Delta _{a}+\Delta _{b}+\Delta _{c}\end{aligned}}}$

В математика, Неравенство Вайтценбека, названный в честь Роланд Вайтценбёк, утверждает, что для треугольника с длинами сторон ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$, и площадь ${\displaystyle \Delta }$, имеет место неравенство

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 4{\sqrt {3}}\,\Delta .}$

Равенство происходит тогда и только тогда, когда треугольник равносторонний. Неравенство педо является обобщением неравенства Вайтценбека. В Неравенство Хадвигера – Финслера является усиленной версией неравенства Вайтценбека.

Геометрическая интерпретация и доказательство

Переписав приведенное выше неравенство, можно получить более конкретную геометрическую интерпретацию, которая, в свою очередь, дает немедленное доказательство.^[1]

${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}+{\frac {\sqrt {3}}{4}}b^{2}+{\frac {\sqrt {3}}{4}}c^{2}\geq 3\,\Delta .}$

Теперь слагаемые в левой части - это площади равносторонних треугольников, возведенных над сторонами исходного треугольника, и, следовательно, неравенство утверждает, что сумма площадей равносторонних треугольников всегда больше или равна троекратной площади исходного треугольника.

${\displaystyle \Delta _{a}+\Delta _{b}+\Delta _{c}\geq 3\,\Delta .}$

Теперь это можно показать, повторив площадь треугольника три раза внутри равносторонних треугольников. Для этого Точка Ферма используется для разделения треугольника на три тупых подтреугольника с ${\displaystyle 120^{\circ }}$ угол, и каждый из этих подтреугольников трижды повторяется внутри равностороннего треугольника рядом с ним. Это работает, только если каждый угол треугольника меньше, чем ${\displaystyle 120^{\circ }}$, так как в противном случае точка Ферма не находится внутри треугольника и вместо этого становится вершиной. Однако если один угол больше или равен ${\displaystyle 120^{\circ }}$ можно трижды воспроизвести весь треугольник в пределах самого большого равностороннего треугольника, так что сумма площадей всех равносторонних треугольников в любом случае остается больше, чем троекратная площадь треугольника.

Дальнейшие доказательства

Доказательство этого неравенства было поставлено под вопрос в Международная математическая олимпиада 1961 года. Даже в этом случае нетрудно получить результат, используя Формула Герона для площади треугольника:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta &{}={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}}\\[4pt]&{}={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}.\end{aligned}}}$

Первый способ

Можно показать, что область внутреннего Треугольник Наполеона, который должен быть неотрицательным,^[2]

${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{24}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}-4{\sqrt {3}}\Delta ),}$

поэтому выражение в скобках должно быть больше или равно 0.

Второй способ

Этот метод не предполагает знания неравенств, за исключением того, что все квадраты неотрицательны.

${\displaystyle {\begin{aligned}{}&(a^{2}-b^{2})^{2}+(b^{2}-c^{2})^{2}+(c^{2}-a^{2})^{2}\geq 0\\[5pt]{}\iff &2(a^{4}+b^{4}+c^{4})-2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})\geq 0\\[5pt]{}\iff &{\frac {4(a^{4}+b^{4}+c^{4})}{3}}\geq {\frac {4(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})}{3}}\\[5pt]{}\iff &{\frac {(a^{4}+b^{4}+c^{4})+2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})}{3}}\geq 2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})\\[5pt]{}\iff &{\frac {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{3}}\geq (4\Delta )^{2},\end{aligned}}}$

и результат немедленно следует из положительного квадратного корня из обеих частей. Из первого неравенства также видно, что равенство имеет место только при ${\displaystyle a=b=c}$ и треугольник равносторонний.

Третий способ

Это доказательство предполагает знание AM – GM неравенство.

${\displaystyle {\begin{aligned}&&(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}&\geq &&0\\\Rightarrow &&2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}&\geq &&2ab+2bc+2ac\\\iff &&3(a^{2}+b^{2}+c^{2})&\geq &&(a+b+c)^{2}\\\iff &&a^{2}+b^{2}+c^{2}&\geq &&{\sqrt {3(a+b+c)\left({\frac {a+b+c}{3}}\right)^{3}}}\\\Rightarrow &&a^{2}+b^{2}+c^{2}&\geq &&{\sqrt {3(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\\\iff &&a^{2}+b^{2}+c^{2}&\geq &&4{\sqrt {3}}\Delta .\end{aligned}}}$

Поскольку мы использовали неравенство среднего арифметико-геометрического, равенство имеет место только тогда, когда ${\displaystyle a=b=c}$ и треугольник равносторонний.

Четвертый способ

Написать ${\displaystyle x=\cot A,c=\cot A+\cot B>0}$ итак сумма ${\displaystyle S=\cot A+\cot B+\cot C=c+{\frac {1-x(c-x)}{c}}}$ и ${\displaystyle cS=c^{2}-xc+x^{2}+1=\left(x-{\frac {c}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {c{\sqrt {3}}}{2}}-1\right)^{2}+c{\sqrt {3}}\geq c{\sqrt {3}}}$ т.е. ${\displaystyle S\geq {\sqrt {3}}}$. Но ${\displaystyle \cot A={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{4\Delta }}}$, так ${\displaystyle S={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4\Delta }}}$.

Смотрите также

• Список неравенств треугольника
• Изопериметрическое неравенство
• Неравенство Хадвигера – Финслера

Примечания

1. Клауди Альсина, Роджер Б. Нельсен: Геометрические доказательства неравенств Вайтценбека и Хадвигера – Финслера.. Математический журнал, Vol. 81, № 3 (июнь 2008 г.), стр. 216–219 (JSTOR )
2. Кокстер, H.S.M., и Грейцер, Сэмюэл Л. Возвращение к геометрии, стр.64.

Ссылки и дополнительная литература

• Клауди Альсина, Роджер Б. Нельсен: Когда меньше значит больше: визуализация основных неравенств. МАА, 2009 г., ISBN  9780883853429, стр. 84-86
• Клауди Альсина, Роджер Б. Нельсен: Геометрические доказательства неравенств Вайтценбека и Хадвигера – Финслера.. Математический журнал, Vol. 81, № 3 (июнь 2008 г.), стр. 216–219 (JSTOR )
• Д. М. Батинету-Джурджу, Никусор Минкулет, Невулай Станчу: Некоторые геометрические неравенства типа Ионеску-Вайцеббека. Международный журнал геометрии, Vol. 2 (2013), № 1, апрель
• Д. М. Батинету-Джурджу, Невулай Станчу: Неравенство Ионеску - Вайтценбёка. MateInfo.ro, апрель 2013, (онлайн-копия )
• Даниэль Педо: О некоторых геометрических неравенствах. The Mathematical Gazette, Vol. 26, No. 272 ​​(декабрь 1942 г.), стр. 202-208 (JSTOR )
• Роланд Вайтценбёк: Über eine Ungleichung in der Dreiecksgeometrie. Mathematische Zeitschrift, том 5, 1919, стр. 137-146 (онлайн-копия в Göttinger Digitalisierungszentrum )
• Драгутин Свртан, Дарко Вельян: Неевклидовы версии некоторых классических треугольных неравенств. Форум Геометрикорум, том 12, 2012 г., стр. 197–209 (онлайн-копия )
• Михай Бенче, Никусор Минкулет, Овидиу Т. Поп: Новые неравенства для треугольника. Математический журнал Octogon, Vol. 17, № 1, апрель 2009 г., стр. 70-89 (онлайн-копия )

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Неравенство Вайтценбека». MathWorld.
• "Неравенство Вайтценбека, "интерактивная демонстрация Джея Варендорфа - Вольфрам Демонстрационный проект.