Проблема с кольцом для салфеток - Napkin ring problem

Если яма высотой час просверливается прямо через центр сферы, объем оставшейся полосы не зависит от размера сферы. Для большей сферы полоса будет тоньше, но длиннее.

Анимация разрезанного кольца для салфеток с постоянной высотой

В геометрия, то проблема с салфетками включает в себя определение объема "полосы" указанной высоты вокруг сфера, т.е. часть, остающаяся после просверливания отверстия в форме круглого цилиндра через центр сферы. Это парадоксальный факт, что этот объем не зависит от исходной сферы. радиус но только от высоты получившейся полосы.

Проблема названа так потому, что после удаления цилиндра из сферы оставшаяся полоса напоминает форму кольцо для салфеток.

Заявление

Предположим, что ось a правый круговой цилиндр проходит через центр сферы радиусар и это час представляет высоту (определяется как расстояние в направлении параллельно к оси) той части цилиндра, которая находится внутри сферы. «Полоса» - это часть сферы, которая находится вне цилиндра. Громкость ремешка зависит от час но не нар:

${\displaystyle V={\frac {\pi h^{3}}{6}}.}$

Поскольку радиус р Из-за усадки сферы диаметр цилиндра также должен уменьшиться, чтобы час может остаться прежним. Полоса становится толще, и это увеличивает ее объем. Но он также становится короче по окружности, и это уменьшит его объем. Два эффекта в точности компенсируют друг друга. В крайнем случае наименьшего возможного шара цилиндр исчезает (его радиус обращается в ноль) и высотачас равен диаметру сферы. В этом случае громкость полосы равна объем всей сферы, что соответствует приведенной выше формуле.

Раннее исследование этой проблемы было написано в 17 веке. Японский математик Секи Коува. В соответствии с Смит и Миками (1914), Секи назвал это твердое тело дуговым кольцом, или в Японский кокан или же кокван.

Доказательство

Предположим, что радиус сферы равен ${\displaystyle R}$ а длина цилиндра (или туннеля) равна ${\displaystyle h}$.

Посредством теорема Пифагора, радиус цилиндра равен

Определение размеров кольца в горизонтальном поперечном сечении.

${\displaystyle {\sqrt {R^{2}-\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}}},\qquad \qquad (1)}$

и радиус горизонтального сечения сферы на высотеу над «экватором» находится

${\displaystyle {\sqrt {R^{2}-y^{2}}}.\qquad \qquad (2)}$

В поперечное сечение полосы с самолетом на высотеу - это область внутри большего круга радиуса (2) и вне меньшего круга радиуса (1). Таким образом, площадь поперечного сечения равна площади большего круга минус площадь меньшего круга:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \pi ({\text{larger radius}})^{2}-\pi ({\text{smaller radius}})^{2}\\&=\pi \left({\sqrt {R^{2}-y^{2}}}\right)^{2}-\pi \left({\sqrt {R^{2}-\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}\,{}}}\,\right)^{2}=\pi \left(\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}-y^{2}\right).\end{aligned}}}$

Радиус р не появляется в последнем количестве. Следовательно, площадь горизонтального сечения на высотеу не зависит отр, так долго как у ≤ час/2 ≤ р. Громкость полосы составляет

${\displaystyle \int _{-h/2}^{h/2}({\text{area of cross-section at height }}y)\,dy,}$

и это не зависит отр.

Это приложение Принцип Кавальери: объемы с одинаковыми размерами соответствующих поперечных сечений равны. Действительно, площадь поперечного сечения такая же, как и у соответствующего поперечного сечения сферы радиуса час/ 2, имеющий объем

${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi \left({\frac {h}{2}}\right)^{3}={\frac {\pi h^{3}}{6}}.}$

Смотрите также

• Визуальный расчет, интуитивно понятный способ решения проблемы этого типа, первоначально применяемый для поиска области кольцо, учитывая только его аккорд длина
• Нить опоясывающая Землю, еще одна проблема, когда радиус сферы или круга не имеет значения, что противоречит интуиции.

Рекомендации

• Девлин, Кит (2008), Проблема с кольцом для салфеток, Математическая ассоциация Америки, в архиве из оригинала 11 августа 2011 г., получено 25 февраля 2009
• Девлин, Кит (2008), Плач Локкарта, Математическая ассоциация Америки, в архиве из оригинала 11 августа 2011 г., получено 25 февраля 2009
• Гарднер, Мартин (1994), «Дыра в сфере», Мои лучшие математические и логические головоломки, Dover Publications, п. 8
• Джонс, Сэмюэл I. (1912), Математические морщины для учителей и частных лиц, Норвуд, Массачусетс: J. B. Cushing Co. Задача 132 запрашивает объем сферы с просверленным в ней цилиндрическим отверстием, но не отмечает инвариантность задачи при изменении радиуса.
• Леви, Марк (2009), «6.3 Сколько золота в обручальном кольце?», Математическая механика: использование физических рассуждений для решения проблем, Princeton University Press, стр. 102–104, ISBN  978-0-691-14020-9. Леви утверждает, что объем зависит только от высоты отверстия, основываясь на том факте, что кольцо можно выметать полудиском, высота которого является его диаметром.
• Линии, Л. (1965), Твердая геометрия: с главами о пространственных решетках, сферах-пакетах и ​​кристаллах, Дувр. Репринт издания 1935 года. Задача на странице 101 описывает форму, образованную сферой с удаленным цилиндром, как «кольцо для салфетки», и требует доказательства того, что объем такой же, как у сферы с диаметром, равным длине отверстия.
• Полиа, Джордж (1990), Математика и правдоподобные рассуждения, Vol. I. Индукция и аналогия в математике, Princeton University Press, стр. 191–192.. Репринт издания 1954 г.
• Смит, Дэвид Э.; Миками, Йошио (1914), История японской математики, Open Court Publishing Company, стр. 121–123.. Переиздано Dover, 2004 г., ISBN  0-486-43482-6. Смит и Миками обсуждают проблему кольца для салфеток в контексте двух рукописей Секи по измерению твердых тел: Кюсэки и Кюкецу Хенгё Со.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Сферическое кольцо». MathWorld.