Пространство модуляции - Modulation space

Пространства модуляции^[1] семья Банаховы пространства определяется поведением кратковременное преобразование Фурье относительно тестовой функции из Пространство Шварца. Первоначально они были предложены Ганс Георг Файхтингер и признаны правильный вид функциональных пространств за частотно-временной анализ. Алгебра Файхтингера, первоначально представленный как новый Алгебра Сигала,^[2] идентичен определенному пространству модуляции и стал широко используемым пространством тестовые функции для частотно-временного анализа.

Пространства модуляции определяются следующим образом. За ${\displaystyle 1\leq p,q\leq \infty }$, неотрицательная функция ${\displaystyle m(x,\omega )}$ на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2d}}$ и тестовая функция ${\displaystyle g\in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})}$, пространство модуляции ${\displaystyle M_{m}^{p,q}(\mathbb {R} ^{d})}$определяется

${\displaystyle M_{m}^{p,q}(\mathbb {R} ^{d})=\left\{f\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{d})\ :\ \left(\int _{\mathbb {R} ^{d}}\left(\int _{\mathbb {R} ^{d}}|V_{g}f(x,\omega )|^{p}m(x,\omega )^{p}dx\right)^{q/p}d\omega \right)^{1/q}<\infty \right\}.}$

В приведенном выше уравнении ${\displaystyle V_{g}f}$ обозначает кратковременное преобразование Фурье ${\displaystyle f}$ относительно ${\displaystyle g}$ оценивается в ${\displaystyle (x,\omega )}$, а именно

${\displaystyle V_{g}f(x,\omega )=\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(t){\overline {g(t-x)}}e^{-2\pi it\cdot \omega }dt={\mathcal {F}}_{\xi }^{-1}({\overline {{\hat {g}}(\xi )}}{\hat {f}}(\xi +\omega ))(x).}$

Другими словами, ${\displaystyle f\in M_{m}^{p,q}(\mathbb {R} ^{d})}$ эквивалентно ${\displaystyle V_{g}f\in L_{m}^{p,q}(\mathbb {R} ^{2d})}$. Космос ${\displaystyle M_{m}^{p,q}(\mathbb {R} ^{d})}$ то же самое, независимо от тестовой функции ${\displaystyle g\in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})}$ выбрал. Канонический выбор - это Гауссовский.

У нас также есть следующее определение пространств модуляции типа Бесова.^[3]

${\displaystyle M_{p,q}^{s}(\mathbb {R} ^{d})=\left\{f\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{d})\ :\ \left(\sum _{k\in \mathbb {Z} ^{d}}\langle k\rangle ^{sq}\|\psi _{k}(D)f\|_{p}^{q}\right)^{1/q}<\infty \right\},\langle x\rangle :=|x|+1}$,

куда ${\displaystyle \{\psi _{k}\}}$ является подходящим единичным разбиением. Если ${\displaystyle m(x,\omega )=\langle \omega \rangle ^{s}}$, тогда ${\displaystyle M_{p,q}^{s}=M_{m}^{p,q}}$.

Алгебра Файхтингера

За ${\displaystyle p=q=1}$ и ${\displaystyle m(x,\omega )=1}$, пространство модуляции ${\displaystyle M_{m}^{1,1}(\mathbb {R} ^{d})=M^{1}(\mathbb {R} ^{d})}$ известна под названием алгебра Файхтингера и часто обозначается ${\displaystyle S_{0}}$ за то, что она является минимальной алгеброй Сигала, инвариантной относительно частотно-временных сдвигов, то есть комбинированных операторов трансляции и модуляции. ${\displaystyle M^{1}(\mathbb {R} ^{d})}$ является банаховым пространством, вложенным в ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{d})\cap C_{0}(\mathbb {R} ^{d})}$, и инвариантен относительно преобразования Фурье. Именно для этих и других свойств ${\displaystyle M^{1}(\mathbb {R} ^{d})}$ является естественным выбором пространства тестовых функций для частотно-временного анализа. преобразование Фурье ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ является автоморфизмом на ${\displaystyle M^{1,1}}$.

Рекомендации

1. Основы частотно-временного анализа Карлхайнц Грёхениг
2. Х. Файхтингер. "О новой алгебре Сигала "Монатш. Математика. 92: 269–289, 1981.
3. B.X. Ван, З.Х. Хо, C.C. Хао, З.Х. Го. Метод гармонического анализа нелинейных эволюционных уравнений.. World Scientific, 2011.