Искривление по Менгеру - Menger curvature

В математика, то Искривление по Менгеру тройки очков в п-размерный Евклидово пространство р^п это взаимный из радиус круга, проходящего через три точки. Он назван в честь Австрийский -Американец математик Карл Менгер.

Определение

Позволять Икс, у и z быть тремя очками в р^п; для простоты предположим, что все три точки различны и не лежат на одной прямой. Пусть Π ⊆р^п быть Евклидова плоскость охватывает Икс, у и z и разреши C ⊆ Π быть уникальным Евклидов круг в Π, который проходит через Икс, у и z (в описанный круг из Икс, у и z). Позволять р быть радиусом C. Тогда Искривление по Менгеру c(Икс, у, z) из Икс, у и z определяется

${displaystyle c(x,y,z)={frac {1}{R}}.}$

Если три точки коллинеарен, р можно неформально рассматривать как + ∞, и имеет смысл определить c(Икс, у, z) = 0. Если любая из точек Икс, у и z совпадают, снова определим c(Икс, у, z) = 0.

Используя известную формулу, связывающую длины сторон треугольник к его площади, следует, что

${displaystyle c(x,y,z)={frac {1}{R}}={frac {4A}{|x-y||y-z||z-x|}},}$

куда А обозначает площадь треугольника, натянутого на Икс, у и z.

Другой способ вычисления кривизны Менгера - это тождество

${displaystyle c(x,y,z)={frac {2sin angle xyz}{|x-z|}}}$

куда ${displaystyle angle xyz}$ угол между у-угол треугольника, натянутого на Икс,у,z.

Кривизна Менгера также может быть определена на общем метрическое пространство. Если Икс метрическое пространство и Икс,у, и z - различные точки, пусть ж быть изометрия из ${displaystyle {x,y,z}}$ в ${displaystyle mathbb {R} ^{2}}$. Определите кривизну по Менгеру этих точек как

${displaystyle c_{X}(x,y,z)=c(f(x),f(y),f(z)).}$

Обратите внимание, что ж нет необходимости определять все Икс, только на {x, y, z}, а значение c_Икс (х, у, г) не зависит от выбора ж.

Выпрямляемость интегральной кривизны

Кривизну Менгера можно использовать для количественных условий, когда наступает ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ может быть исправимый. Для Мера Бореля ${displaystyle mu }$ на евклидовом пространстве ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ определять

${displaystyle c^{p}(mu )=int int int c(x,y,z)^{p}dmu (x)dmu (y)dmu (z).}$

• Набор Бореля ${displaystyle Esubseteq mathbb {R} ^{n}}$ исправимо, если ${displaystyle c^{2}(H^{1}|_{E})<infty }$, куда ${displaystyle H^{1}|_{E}}$ обозначает одномерный Мера Хаусдорфа ограничен набором ${displaystyle E}$.^[1]

Основная интуиция, лежащая в основе результата, заключается в том, что кривизна Менгера измеряет, насколько прямая данная тройка точек (меньшая ${displaystyle c(x,y,z)max{|x-y|,|y-z|,|z-y|}}$ есть, чем ближе x, y и z к коллинеарности), и конечность этой интегральной величины говорит о том, что множество E является плоским на большинстве малых масштабов. В частности, если мощность в интеграле больше, наш набор будет более плавным, чем просто выпрямляемый^[2]

• Позволять ${displaystyle p>3}$, ${displaystyle f:S^{1}ightarrow mathbb {R} ^{n}}$ быть гомеоморфизмом и ${displaystyle Gamma =f(S^{1})}$. потом ${displaystyle fin C^{1,1-{frac {3}{p}}}(S^{1})}$ если ${displaystyle c^{p}(H^{1}|_{Gamma })<infty }$.
• Если ${displaystyle 0<H^{s}(E)<infty }$ куда ${displaystyle 0<sleq {frac {1}{2}}}$, и ${displaystyle c^{2s}(H^{s}|_{E})<infty }$, тогда ${displaystyle E}$ исправимо в том смысле, что существует счетное множество ${displaystyle C^{1}}$ кривые ${displaystyle Gamma _{i}}$ такой, что ${displaystyle H^{s}(Eackslash igcup Gamma _{i})=0}$. Результат неверен для ${displaystyle {frac {1}{2}}<s<1}$, и ${displaystyle c^{2s}(H^{s}|_{E})=infty }$ за ${displaystyle 1<sleq n}$.:^[3]

В обратном направлении есть результат Питера Джонса:^[4]

• Если ${displaystyle Esubseteq Gamma subseteq mathbb {R} ^{2}}$, ${displaystyle H^{1}(E)>0}$, и ${displaystyle Gamma }$ исправимо. Тогда существует положительная мера Радона ${displaystyle mu }$ поддерживается на ${displaystyle E}$ удовлетворение ${displaystyle mu B(x,r)leq r}$ для всех ${displaystyle xin E}$ и ${displaystyle r>0}$ такой, что ${displaystyle c^{2}(mu )<infty }$ (в частности, эта мера является Мера Фростмана связанный с E). Более того, если ${displaystyle H^{1}(B(x,r)cap Gamma )leq Cr}$ для некоторой постоянной C и все ${displaystyle xin Gamma }$ и г> 0, тогда ${displaystyle c^{2}(H^{1}|_{E})<infty }$. Последний результат следует из Теорема аналитика о коммивояжере.

Аналогичные результаты имеют место и в общих метрических пространствах:^[5]

Смотрите также

• Кривизна меры Менгера-Мельникова

внешняя ссылка

• Леймари, Ф. (сентябрь 2003 г.). «Заметки о кривизне Менгера». Архивировано из оригинал на 21.08.2007. Получено 2007-11-19.

Рекомендации

1. Леже, Дж. (1999). «Кривизна Менгера и выпрямляемость» (PDF). Анналы математики. Анналы математики. 149 (3): 831–869. arXiv:математика / 9905212. Дои:10.2307/121074. JSTOR  121074.
2. Павел Стшелецкий; Марта Шуманска; Хайко фон дер Мозель. «Регуляризирующие и самопроизвольные эффекты интегральной кривизны Менгера». Institut f¨ur Mathematik.
3. Юн Линь и Пертти Маттила (2000). «Кривизна Менгера и ${displaystyle C^{1}}$ регулярность фракталов » (PDF). Труды Американского математического общества. 129 (6): 1755–1762. Дои:10.1090 / s0002-9939-00-05814-7.
4. Пажот, Х. (2000). Аналитическая емкость, выпрямляемость, кривизна Менгера и интеграл Коши. Springer. ISBN  3-540-00001-1.
5. Шул, Раанан (2007). «Альфорса-регулярные кривые в метрических пространствах» (PDF). Annales Academiæ Scientiarum Fennicæ. 32: 437–460.

• Толса, Ксавьер (2000). «Основные значения интеграла Коши и спрямляемости». Proc. Амер. Математика. Soc. 128 (7): 2111–2119. Дои:10.1090 / S0002-9939-00-05264-3.