В Уравнение Мейсона – Уивера (названный в честь Макс Мейсон и Уоррен Уивер ) описывает осаждение и распространение растворенных веществ под униформой сила, обычно гравитационный поле.[1] Предполагая, что гравитационный поле выравнивается по z направлении (рис. 1), уравнение Мейсона – Уивера можно записать

куда т время, c это растворенный концентрация (молей на единицу длины в z-направление), а параметры D, s, и грамм представляют растворенный постоянная диффузии, коэффициент седиментации и (предполагаемая постоянная) ускорение из сила тяжести, соответственно.
Уравнение Мейсона – Уивера дополняется уравнением граничные условия

вверху и внизу ячейки, обозначается как
и
соответственно (рис. 1). Эти граничные условия соответствуют физическим требованиям, что нет растворенный проходят через верх и низ ячейки, т. е. что поток там будет ноль. Предполагается, что ячейка имеет прямоугольную форму и выровнена по Декартовы оси (Рис. 1), так что сетка поток через боковые стенки тоже ноль. Следовательно, общая сумма растворенный в камере

сохраняется, т.е.
.
Вывод уравнения Мейсона – Уивера.
Рисунок 1: Схема ячейки Мейсона – Уивера и сил на растворенное вещество
Типичная частица масса м перемещение с вертикальным скорость v действует три силы (Рис. 1): сила сопротивления
, сила сила тяжести
и подъемная сила
, куда грамм это ускорение из сила тяжести, V это растворенный объем частиц и
это растворитель плотность. В равновесие (обычно достигается примерно за 10 нс для молекулярный растворенные вещества ) частица достигает предельная скорость
где три силы сбалансированы. С V равен частице масса м раз его частичный удельный объем
, то равновесие условие можно записать как

куда
это плавучая масса.
Определим модель Мейсона – Уивера коэффициент седиментации
. Поскольку коэффициент трения ж относится к постоянная диффузии D посредством Соотношение Эйнштейна
,
соотношение s и D равно

куда
это Постоянная Больцмана и Т это температура в кельвины.
В поток J в любой момент дается

Первый член описывает поток из-за распространение вниз концентрация градиент, а второй член описывает конвективный поток из-за средней скорости
частиц. Положительная сеть поток из небольшого объема приводит к отрицательному изменению местного концентрация в этом объеме

Подставляя уравнение для поток J дает уравнение Мейсона – Уивера

Безразмерное уравнение Мейсона – Уивера.
Параметры D, s и грамм определить масштаб длины 

и шкала времени 

Определение безразмерный переменные
и
, уравнение Мейсона – Уивера принимает вид

при условии граничные условия

вверху и внизу ячейки,
и
, соответственно.
Решение уравнения Мейсона – Уивера.
Это уравнение в частных производных может быть решено с помощью разделение переменных. Определение
, получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения, связанных постоянной 

![{ displaystyle { frac {d ^ {2} P} {d zeta ^ {2}}} + left [ beta - { frac {1} {4}} right] P = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f1019c72fdf3dacdc6c128f7ca8a74840361c4a)
где допустимые значения
определены граничные условия

на верхней и нижней границах,
и
, соответственно. Поскольку Т уравнение имеет решение
, куда
является константой, уравнение Мейсона – Уивера сводится к решению для функции
.
В обыкновенное дифференциальное уравнение за п и это граничные условия удовлетворять критериям Проблема Штурма – Лиувилля., из чего следует несколько выводов. Первый, существует дискретный набор ортонормированный собственные функции
которые удовлетворяют обыкновенное дифференциальное уравнение и граничные условия. Второйсоответствующие собственные значения
действительны, ограничены снизу младшим собственное значение
и растут асимптотически как
где неотрицательное целое число k ранг собственное значение. (В нашем случае наименьшее собственное значение равно нулю, что соответствует равновесному решению.) В третьих, то собственные функции образуют полный комплект; любое решение для
можно выразить как взвешенную сумму собственные функции

куда
- постоянные коэффициенты, определяемые из начального распределения 

В состоянии равновесия
(по определению), а распределение равновесной концентрации имеет вид

что согласуется с Распределение Больцмана. В
функция удовлетворяет обыкновенное дифференциальное уравнение и граничные условия при всех значениях
(что можно проверить подстановкой), а константа B можно определить из общей суммы растворенный

Чтобы найти неравновесные значения собственные значения
поступаем следующим образом. Уравнение P имеет вид простого гармонический осциллятор с решениями
куда

В зависимости от стоимости
,
либо чисто реально (
) или чисто мнимой (
). Только одно чисто мнимое решение может удовлетворить граничные условия, а именно равновесное решение. Следовательно, неравновесный собственные функции можно записать как

куда А и B константы и
реально и строго положительно.
Введя осциллятор амплитуда
и фаза
как новые переменные,




уравнение второго порядка для п разлагается на два простых уравнения первого порядка


Примечательно, что преобразованный граничные условия не зависят от
и конечные точки
и 

Таким образом, получаем уравнение

давая точное решение для частот 

Собственные частоты
положительны по мере необходимости, так как
, и составляют набор гармоники из основная частота
. Наконец, собственные значения
может быть получено из 

В совокупности неравновесным компонентам раствора соответствует Ряд Фурье разложение начального распределения концентрации
умноженный на весовая функция
. Каждая компонента Фурье затухает независимо как
, куда
дано выше в терминах Ряд Фурье частоты
.
Смотрите также
- Уравнение Ламма
- Подход Арчибальда и более простое изложение основ физики уравнения Мейсона – Уивера, чем оригинал.[2]
Рекомендации