Уравнение Ламма - Lamm equation

В Уравнение Ламма^[1] описывает седиментацию и диффузию растворенное вещество под ультрацентрифугирование в традиционных сектор -образные клетки. (Для клеток других форм требуются гораздо более сложные уравнения.) Он был назван в честь Оле Ламм, впоследствии профессор физической химии Королевский технологический институт, который получил его во время своей докторской диссертации. учеба под Сведберг в Уппсальский университет.

Уравнение Ламма можно записать:^[2][3]

${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}=D\left[\left({\frac {\partial ^{2}c}{\partial r^{2}}}\right)+{\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial c}{\partial r}}\right)\right]-s\omega ^{2}\left[r\left({\frac {\partial c}{\partial r}}\right)+2c\right]}$

куда c - концентрация растворенного вещества, т и р время и радиус, а параметры D, s, и ω представляют собой константу диффузии растворенного вещества, коэффициент седиментации и ротор угловая скорость, соответственно. Первое и второе слагаемые в правой части уравнения Ламма пропорциональны D и sω²соответственно, и описывают конкурирующие процессы распространение и осаждение. В то время как осаждение стремится сконцентрировать растворенное вещество вблизи внешнего радиуса клетки, распространение стремится выровнять концентрацию растворенного вещества по всей ячейке. Константа диффузии D можно оценить из гидродинамический радиус и форма растворенного вещества, тогда как плавучая масса м_б можно определить из соотношения s и D

${\displaystyle {\frac {s}{D}}={\frac {m_{b}}{k_{B}T}}}$

куда k_BТ - тепловая энергия, т.е.Постоянная Больцмана k_B умноженный на температура Т в кельвины.

Растворенное вещество молекулы не может проходить через внутреннюю и внешнюю стенки ячейки, в результате чего граничные условия по уравнению Ламма

${\displaystyle D\left({\frac {\partial c}{\partial r}}\right)-s\omega ^{2}rc=0}$

на внутреннем и внешнем радиусах, р_а и р_б, соответственно. Путем вращения образцов при постоянном угловая скорость ω и наблюдая за изменением концентрации c(р, т), можно оценить параметры s и D и, следовательно, (эффективная или эквивалентная) плавучая масса растворенного вещества.

Вывод уравнения Ламма.

Решение Факсена (без границ, без распространения)

Ссылки и примечания

1. О Ламм: (1929) "Die Differentialgleichung der Ultrazentrifugierung" Arkiv för matematik, astronomi och fysik 21Б № 2, 1–4
2. С.И. Рубинов (2002) [1975]. Введение в математическую биологию. Курьерские / Дуврские Публикации. С. 235–244. ISBN  0-486-42532-0.
3. Джаганнатха Мазумдар (1999). Введение в математическую физиологию и биологию. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. п. 33 сл. ISBN  0-521-64675-8.