Конус отображения (топология) - Mapping cone (topology)

Иллюстрация конуса отображения; то есть конус приклеен к пространству по некоторой функция ${\displaystyle f\colon X\to Y}$.

В математика, особенно теория гомотопии, то картографический конус это конструкция ${\displaystyle C_{f}}$ из топология, аналогично факторное пространство. Его еще называют гомотопический кофайбер, а также отмечены ${\displaystyle Cf}$. Его двойственный, расслоение, называется отображение волокна. Конус отображения можно понимать как картографический цилиндр ${\displaystyle Mf}$, при этом один конец цилиндра схлопнулся в точку. Таким образом, конусы отображения часто применяются в гомотопической теории заостренные места.

Определение

Учитывая карта ${\displaystyle f\colon X\to Y}$конус отображения ${\displaystyle C_{f}}$ определяется как фактор-пространство картографический цилиндр ${\displaystyle (X\times I)\sqcup _{f}Y}$ с уважением к отношение эквивалентности ${\displaystyle (x,0)\sim (x',0)\,}$, ${\displaystyle (x,1)\sim f(x)}$ на Икс. Здесь ${\displaystyle I}$ обозначает единичный интервал [0, 1] со стандартным топология. Обратите внимание, что некоторые авторы (например, Дж. Питер Мэй ) используйте противоположное соглашение, переключая 0 и 1.

Визуально конус берется на Икс (цилиндр ${\displaystyle X\times I}$ с одним концом (конец 0), идентифицированным с точкой), а другой конец приклеивает к Y через карту ж (обозначение 1 конца).

Грубо говоря, факторное пространство посредством изображение из Икс, так ${\displaystyle C_{f}=Y/f(X)}$; это не совсем правильно из-за проблем с заданными точками, но это философия, и ее уточняют такие результаты, как гомологии пары и понятие п-связаны карта.

Вышеупомянутое определение карты неуловленных пространств; для карты точечных пространств ${\displaystyle f\colon (X,x_{0})\to (Y,y_{0}),}$ (так ${\displaystyle f\colon x_{0}\mapsto y_{0}}$), также идентифицируются все ${\displaystyle {x_{0}}\times I}$; формально, ${\displaystyle (x_{0},t)\sim (x_{0},t')\,.}$ Таким образом, один конец и «шов» отождествляются с ${\displaystyle y_{0}.}$

Пример круга

Если ${\displaystyle X}$ это круг ${\displaystyle S^{1}}$конус отображения ${\displaystyle C_{f}}$ можно рассматривать как факторпространство несвязный союз из Y с диск ${\displaystyle D^{2}}$ формируется путем определения каждой точки Икс на граница из ${\displaystyle D^{2}}$ к точке ${\displaystyle f(x)}$ в Y.

Рассмотрим, например, случай, когда Y диск ${\displaystyle D^{2}}$, и ${\displaystyle f\colon S^{1}\to Y=D^{2}}$ это стандарт включение круга ${\displaystyle S^{1}}$ как граница ${\displaystyle D^{2}}$. Тогда отображающий конус ${\displaystyle C_{f}}$ является гомеоморфный к двум дискам, соединенным на их границе, что топологически является сфера ${\displaystyle S^{2}}$.

Двойной цилиндр отображения

Конус отображения - это частный случай двойного картографический цилиндр. Это в основном цилиндр ${\displaystyle X\times I}$ соединенный на одном конце с пространством ${\displaystyle Y_{1}}$ через карта

${\displaystyle f_{1}:X\to Y_{1}}$

и присоединился на другом конце к пространству ${\displaystyle Y_{2}}$ через карту

${\displaystyle f_{2}:X\to Y_{2}}$

Конус отображения - это вырожденный случай цилиндра двойного отображения (также известного как гомотопический выталкиватель), в котором один из ${\displaystyle Y_{1},Y_{2}}$ это одна точка.

Двойная конструкция: отображение волокна

Основная статья: Гомотопическое волокно

Двойственным конусу отображения является отображение волокна ${\displaystyle F_{f}}$. Учитывая заостренную карту ${\displaystyle f\colon (X,x_{0})\to (Y,y_{0}),}$ слой отображения определяется как^[1]

${\displaystyle F_{f}=\{(x,\omega )\in X\times Y^{I}:\omega (0)=y_{0}{\mbox{ and }}\omega (1)=f(x)\}}$.

Здесь, я - единичный интервал и ${\displaystyle \omega }$ - непрерывный путь в пространстве ( экспоненциальный объект ) ${\displaystyle Y^{I}}$. Отображающий слой иногда обозначается как ${\displaystyle Mf}$; однако это противоречит тому же обозначению цилиндра отображения.

Он двойственен конусу отображения в том смысле, что указанное выше произведение по существу является волокнистый продукт или же откат ${\displaystyle X\times _{f}Y}$ который двойственен выталкивание ${\displaystyle X\sqcup _{f}Y}$ используется для построения конуса отображения.^[2] В данном конкретном случае двойственность по сути является дуальностью карри, в котором конус отображения ${\displaystyle (X\times I)\sqcup _{f}Y}$ имеет карри форму ${\displaystyle X\times _{f}(I\to Y)}$ куда ${\displaystyle I\to Y}$ просто альтернативное обозначение пространства ${\displaystyle Y^{I}}$ всех непрерывных отображений из единичного интервала в ${\displaystyle Y}$. Эти два варианта связаны между собой присоединенный функтор. Обратите внимание, что каррирование сохраняет редуцированный характер карт: в одном случае - до кончика конуса, а в другом - пути к базовой точке.

Приложения

CW-комплексы

Прикрепление ячейки

Влияние на фундаментальную группу

Учитывая Космос Икс и петля ${\displaystyle \alpha \colon S^{1}\to X}$ представляющий элемент фундаментальная группа из Икс, мы можем образовать конус отображения ${\displaystyle C_{\alpha }}$. Эффект от этого - сделать петлю ${\displaystyle \alpha }$ стягиваемый в ${\displaystyle C_{\alpha }}$, и поэтому класс эквивалентности из ${\displaystyle \alpha }$ в фундаментальной группе ${\displaystyle C_{\alpha }}$ будет просто элемент идентичности.

Учитывая групповая презентация с помощью генераторов и соотношений получается 2-комплекс с этой фундаментальной группой.

Гомологии пары

Конус отображения позволяет интерпретировать гомологии пары как приведенные гомологии фактора. А именно, если E это теория гомологии, и ${\displaystyle i\colon A\to X}$ это кофибрация, тогда

${\displaystyle E_{*}(X,A)=E_{*}(X/A,*)={\tilde {E}}_{*}(X/A)}$,

что следует путем применения иссечение к конусу отображения.^[2]

Связь с гомотопическими (гомологическими) эквивалентностями

Карта ${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$ между односвязными комплексами CW является гомотопическая эквивалентность тогда и только тогда, когда его отображающий конус стягиваем.

В более общем смысле карта называется п-связаны (как карту), если его отображающий конус п-связано (как пробел) плюс еще немного.^{[3][страница нужна ]}

Позволять ${\displaystyle \mathbb {} H_{*}}$ быть фиксированным теория гомологии. Карта ${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$ побуждает изоморфизмы на ${\displaystyle H_{*}}$, тогда и только тогда, когда карта ${\displaystyle \{pt\}\hookrightarrow C_{f}}$ индуцирует изоморфизм на ${\displaystyle H_{*}}$, т.е. ${\displaystyle H_{*}(C_{f},pt)=0}$.

Конусы отображения широко используются для построения длинных совпадающих Последовательности кукол, из которых могут быть получены длинные точные последовательности гомотопических и относительных гомотопических групп.^[1]

Смотрите также

• Отображающий конус (гомологическая алгебра)

Рекомендации

1. Ротман, Джозеф Дж. (1988). Введение в алгебраическую топологию. См. Доказательство в главе 11: Springer-Verlag. ISBN  0-387-96678-1.
2. Мэй, Дж. Питер (1999). Краткий курс алгебраической топологии (PDF). Чикагские лекции по математике. См. Главу 6. ISBN  0-226-51183-9.
3. * Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  9780521795401.