Логарифмически выпуклая функция - Logarithmically convex function

В математика, а функция ж является логарифмически выпуклый или же сверхвыпуклый^[1] если ${\displaystyle {\log }\circ f}$, то сочинение из логарифм с ж, сам по себе выпуклая функция.

Определение

Позволять Икс быть выпуклое подмножество из настоящий векторное пространство, и разреши ж : Икс → р быть функцией, принимающей неотрицательный значения. потом ж является:

• Логарифмически выпуклый если ${\displaystyle {\log }\circ f}$ выпуклый, а
• Строго логарифмически выпуклый если ${\displaystyle {\log }\circ f}$ строго выпуклый.

Здесь мы интерпретируем ${\displaystyle \log 0}$ в качестве ${\displaystyle -\infty }$.

Ясно, ж логарифмически выпукла тогда и только тогда, когда для всех Икс₁, Икс₂ ∈ Икс и все т ∈ [0, 1], выполняются два следующих эквивалентных условия:

${\displaystyle {\begin{aligned}\log f(tx_{1}+(1-t)x_{2})&\leq t\log f(x_{1})+(1-t)\log f(x_{2}),\\f(tx_{1}+(1-t)x_{2})&\leq f(x_{1})^{t}f(x_{2})^{1-t}.\end{aligned}}}$

По аналогии, ж строго логарифмически выпукло тогда и только тогда, когда в двух приведенных выше выражениях выполняется строгое неравенство для всех т ∈ (0, 1).

Приведенное выше определение разрешает ж равняться нулю, но если ж логарифмически выпуклая и исчезает в любом месте Икс, то он исчезает повсюду внутри Икс.

Эквивалентные условия

Если ж - дифференцируемая функция, определенная на интервале я ⊆ р, тогда ж является логарифмически выпуклым тогда и только тогда, когда для всех Икс и у в я:

${\displaystyle \log f(x)\geq \log f(y)+{\frac {f'(y)}{f(y)}}(x-y).}$

Это эквивалентно условию, что всякий раз, когда Икс и у находятся в я и Икс > у,

${\displaystyle \left({\frac {f(x)}{f(y)}}\right)^{\frac {1}{x-y}}\geq \exp \left({\frac {f'(y)}{f(y)}}\right).}$

Более того, ж строго логарифмически выпукло тогда и только тогда, когда эти неравенства всегда строгие.

Если ж дважды дифференцируемо, то оно логарифмически выпукло тогда и только тогда, когда для всех Икс в я,

${\displaystyle f''(x)f(x)\geq f'(x)^{2}.}$

Если неравенство всегда строгое, то ж строго логарифмически выпукло. Однако обратное неверно: возможно, что ж строго логарифмически выпукло и что для некоторых Икс, у нас есть ${\displaystyle f''(x)f(x)=f'(x)^{2}}$. Например, если ${\displaystyle f(x)=\exp(x^{4})}$, тогда ж строго логарифмически выпуклая, но ${\displaystyle f''(0)f(0)=0=f'(0)^{2}}$.

Более того, ${\displaystyle f\colon I\to (0,\infty )}$ логарифмически выпукло тогда и только тогда, когда ${\displaystyle e^{\alpha x}f(x)}$ выпукло для всех ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$.^[2][3]

Характеристики

Логарифмически выпуклая функция ж является выпуклой функцией, так как это составной из увеличение выпуклая функция ${\displaystyle \exp }$ и функция ${\displaystyle \log \circ f}$, которая по определению является выпуклой. Однако логарифмическая выпуклость - это строго более сильное свойство, чем выпуклость. Например, функция возведения в квадрат ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ выпукло, но его логарифм ${\displaystyle \log f(x)=2\log |x|}$ не является. Следовательно, функция возведения в квадрат не является логарифмически выпуклой.

Если ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}}$ логарифмически выпуклы, а если ${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}$ неотрицательные действительные числа, тогда ${\displaystyle f_{1}^{w_{1}}\cdots f_{n}^{w_{n}}}$ логарифмически выпукло.

Если ${\displaystyle \{f_{i}\}_{i\in I}}$ - любое семейство логарифмически выпуклых функций, то ${\displaystyle g=\sup _{i\in I}f_{i}}$ логарифмически выпукло.

Если ${\displaystyle f\colon X\to I\subseteq \mathbf {R} }$ выпуклый и ${\displaystyle g\colon I\to \mathbf {R} _{\geq 0}}$ логарифмически выпуклая и неубывающая, то ${\displaystyle g\circ f}$ логарифмически выпукло.

Примеры

• ${\displaystyle f(x)=\exp(|x|^{p})}$ является логарифмически выпуклым, когда ${\displaystyle p\geq 1}$ и строго логарифмически выпуклый, когда ${\displaystyle p>1}$.
• ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{p}}}}$ строго логарифмически выпукла на ${\displaystyle (0,\infty )}$ для всех ${\displaystyle p>0.}$
• Эйлера гамма-функция является строго логарифмически выпуклым при ограничении положительными действительными числами. Фактически, по Теорема Бора – Моллерупа, это свойство можно использовать для характеристики гамма-функции Эйлера среди возможных расширений факториал функция к реальным аргументам.

Примечания

1. Кингман, J.F.C. 1961. Свойство выпуклости положительных матриц. Кварта. J. Math. Оксфорд (2) 12 283–284.
2. Монтель 1928.
3. НикулескуПерссон 2006, п. 70.

Рекомендации

• Джон Б. Конвей. Функции одной комплексной переменной I, второе издание. Springer-Verlag, 1995. ISBN  0-387-90328-3.
• «Выпуклость, логарифмическая», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Никулеску, Константин; Перссон, Ларс-Эрик (2006), Выпуклые функции и их приложения - современный подход (1-е изд.), Springer, Дои:10.1007/0-387-31077-0, ISBN  978-0-387-24300-9, ISSN  1613-5237.

• Монтель, Поль (1928), "Sur les fonctions convxes et les fonctions sousharmoniques", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (На французском), 7: 29–60.

Смотрите также

• Логарифмически вогнутая функция

В этой статье использован материал из логарифмически выпуклой функции на PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.