Логарифм матрицы - Logarithm of a matrix

В математика, а логарифм матрицы Другой матрица так что матричная экспонента последней матрицы равна исходной матрице. Таким образом, это обобщение скалярной логарифм и в некотором смысле обратная функция из матричная экспонента. Не все матрицы имеют логарифм, и те матрицы, которые имеют логарифм, могут иметь более одного логарифма. Изучение логарифмов матриц приводит к Теория лжи поскольку если матрица имеет логарифм, то она находится в Группа Ли а логарифм - соответствующий элемент векторного пространства Алгебра Ли.

Определение

Экспонента матрицы А определяется

${\displaystyle e^{A}\equiv \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {A^{n}}{n!}}}$.

Учитывая матрицу B, другая матрица А считается матричный логарифм из B если е^А = B. Поскольку экспоненциальная функция не является взаимно однозначной для комплексных чисел (например, ${\displaystyle e^{\pi i}=e^{3\pi i}=-1}$), числа могут иметь несколько комплексных логарифмов, и, как следствие, некоторые матрицы могут иметь более одного логарифма, как объясняется ниже.

Выражение степенного ряда

Если B достаточно близко к единичной матрице, то логарифм B может быть вычислен с помощью следующего степенного ряда:

${\displaystyle \mathrm {log} (B)=\sum _{k=1}^{\infty }{(-1)^{k+1}{\frac {(B-I)^{k}}{k}}}=(B-I)-{\frac {(B-I)^{2}}{2}}+{\frac {(B-I)^{3}}{3}}\cdots }$.

В частности, если ${\displaystyle \left\|{B-I}\right\|<1}$, то предыдущий ряд сходится и ${\displaystyle e^{\mathrm {log} (B)}=B}$.^[1]

Пример: логарифм поворотов на плоскости

Вращения в плоскости дают простой пример. Вращение угла α вокруг начала координат представлена ​​2 × 2-матрицей

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}\cos(\alpha )&-\sin(\alpha )\\\sin(\alpha )&\cos(\alpha )\\\end{pmatrix}}.}$

Для любого целого числа п, матрица

${\displaystyle B_{n}=(\alpha +2\pi n){\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\\\end{pmatrix}},}$

это логарифм А. Таким образом, матрица А имеет бесконечно много логарифмов. Это соответствует тому факту, что угол поворота определяется только до кратных 2π.

На языке теории Ли матрицы вращения А являются элементами группы Ли ТАК (2). Соответствующие логарифмы B являются элементами алгебры Ли so (2), состоящей из всех кососимметричные матрицы. Матрица

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\\\end{pmatrix}}}$

является генератором Алгебра Ли так (2).

Существование

На вопрос, имеет ли матрица логарифм, есть самый простой ответ, если его рассматривать в сложной постановке. Сложная матрица имеет логарифм если и только если это обратимый.^[2] Логарифм не является уникальным, но если матрица не имеет отрицательного числа собственные значения, то существует единственный логарифм, все собственные значения которого лежат в полосе {z ∈ C | −π z <π}. Этот логарифм известен как главный логарифм.^[3]

Ответ больше связан с реальной обстановкой. Реальная матрица имеет действительный логарифм тогда и только тогда, когда она обратима и каждый Иорданский блок принадлежность к отрицательному собственному значению встречается четное число раз.^[4] Если обратимая вещественная матрица не удовлетворяет условию с жордановыми блоками, то она имеет только ненастоящие логарифмы. Это уже можно увидеть в скалярном случае: никакая ветвь логарифма не может быть действительной в -1. Существование вещественных матричных логарифмов вещественных матриц 2 × 2 рассматривается в следующем разделе.

Характеристики

Если А и B оба положительно определенные матрицы, тогда

${\displaystyle \operatorname {tr} {\log {(AB)}}=\operatorname {tr} {\log {(A)}}+\operatorname {tr} {\log {(B)}},}$

и если А и B коммутируют, т. е. AB = BA, тогда

${\displaystyle \log {(AB)}=\log {(A)}+\log {(B)}.\,}$

Подставляя в это уравнение B = А⁻¹, получается

${\displaystyle \log {(A^{-1})}=-\log {(A)}.}$

Точно так же теперь и для некоммутирующих А и B,

${\displaystyle \log {(A+tB)}=\log {(A)}+t\int _{0}^{\infty }\!\!\!dz~~{\frac {1}{A+zI}}B{\frac {1}{A+zI}}+O(t^{2}).}$

Другой пример: логарифм вращений в трехмерном пространстве.

Вращение р ∈ SO (3) в ℝ³ задается 3 × 3 ортогональная матрица.

Логарифм такой матрицы вращения р легко вычисляется из антисимметричной части Формула вращения Родригеса^[5] (смотрите также Угол оси ). Это дает логарифм минимального Норма Фробениуса, но терпит неудачу, когда р имеет собственные значения, равные −1, где это не единственно.

Далее отметим, что, учитывая матрицы вращения А и B,

${\displaystyle d_{g}(A,B):=\|\log(A^{\top }B)\|_{F}}$

- геодезическое расстояние на трехмерном многообразии матриц вращения.

Вычисление логарифма диагонализуемой матрицы

Метод нахождения ln А для диагонализуемая матрица А следующее:

Найдите матрицу V из собственные векторы из А (каждый столбец V является собственным вектором А).

Найди обратный V⁻¹ из V.

Позволять

${\displaystyle A'=V^{-1}AV.\,}$

потом A ′ будет диагональной матрицей, диагональные элементы которой являются собственными значениями А.

Замените каждый диагональный элемент A ′ его (натуральным) логарифмом, чтобы получить ${\displaystyle \log A'}$.

потом

${\displaystyle \log A=V(\log A')V^{-1}.\,}$

Это логарифм А может быть сложной матрицей, даже если А является вещественным, то это следует из того факта, что матрица с действительными и положительными элементами может, тем не менее, иметь отрицательные или даже комплексные собственные значения (это верно, например, для матрицы вращения ). Неединственность логарифма матрицы следует из неединственности логарифма комплексного числа.

Логарифм недиагонализуемой матрицы

Алгоритм, проиллюстрированный выше, не работает для недиагонализируемых матриц, таких как

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}.}$

Для таких матриц нужно найти ее Разложение Жордана и вместо того, чтобы вычислять логарифм диагональных записей, как указано выше, можно было бы вычислить логарифм Иорданские блоки.

Последнее достигается за счет того, что можно записать блок Жордана как

${\displaystyle B={\begin{pmatrix}\lambda &1&0&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&0&\cdots &0\\0&0&\lambda &1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&0&0&\lambda &1\\0&0&0&0&0&\lambda \\\end{pmatrix}}=\lambda {\begin{pmatrix}1&\lambda ^{-1}&0&0&\cdots &0\\0&1&\lambda ^{-1}&0&\cdots &0\\0&0&1&\lambda ^{-1}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&0&0&1&\lambda ^{-1}\\0&0&0&0&0&1\\\end{pmatrix}}=\lambda (I+K)}$

куда K представляет собой матрицу с нулями на главной диагонали и под ней. (Число λ отлично от нуля в предположении, что матрица, логарифм которой пытаются вычислить, является обратимой.)

Затем по Серия Меркатор

${\displaystyle \log(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots }$

один получает

${\displaystyle \log B=\log {\big (}\lambda (I+K){\big )}=\log(\lambda I)+\log(I+K)=(\log \lambda )I+K-{\frac {K^{2}}{2}}+{\frac {K^{3}}{3}}-{\frac {K^{4}}{4}}+\cdots }$

Этот серии имеет конечное число членов (K^м равно нулю, если м это размер K), поэтому его сумма определена корректно.

Используя этот подход, можно найти

${\displaystyle \log {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}.}$

Перспектива функционального анализа

Квадратная матрица представляет собой линейный оператор на Евклидово пространство р^п куда п - размер матрицы. Поскольку такое пространство конечномерно, этот оператор на самом деле ограниченный.

Используя инструменты голоморфное функциональное исчисление, учитывая голоморфная функция ж(z), определенные на открытый набор в комплексная плоскость и ограниченный линейный оператор Т, можно вычислить ж(Т) так долго как ж(z) определяется на спектр из Т.

Функция ж(z) = журнал z можно определить на любом односвязный открытое множество в комплексной плоскости, не содержащее начала координат, и голоморфно в такой области. Отсюда следует, что можно определить ln Т пока спектр Т не содержит начала координат, и существует путь, идущий от начала координат к бесконечности, не пересекающий спектр Т (например, если спектр Т окружность с центром внутри нее, невозможно определить ln Т).

Спектр линейного оператора на р^п - это набор собственных значений его матрицы, а значит, и конечный набор. Пока начало координат не находится в спектре (матрица обратима), условие пути из предыдущего абзаца выполняется, и ln Т четко определено. Неединственность логарифма матрицы следует из того факта, что можно выбрать более одной ветви логарифма, которая определена на множестве собственных значений матрицы.

Перспектива теории групп Ли

В теории Группы Ли, существует экспоненциальная карта из Алгебра Ли грамм соответствующей группе Ли грамм

${\displaystyle \exp :g\rightarrow G.}$

Для матричных групп Ли элементы грамм и грамм являются квадратными матрицами, а экспоненциальное отображение задается матричная экспонента. Обратная карта ${\displaystyle \log =\exp ^{-1}}$ многозначна и совпадает с обсуждаемым здесь матричным логарифмом. Логарифмические отображения группы Ли грамм в алгебру Ли грамм. Обратите внимание, что экспоненциальное отображение - это локальный диффеоморфизм между окрестностями U нулевой матрицы ${\displaystyle {\underline {0}}\in g}$ и окрестности V единичной матрицы ${\displaystyle {\underline {1}}\in G}$.^[6]Таким образом, (матричный) логарифм хорошо определяется как карта,

${\displaystyle \log :V\subset G\rightarrow U\subset g.\,}$

Важное следствие Формула Якоби тогда это

${\displaystyle \log(\det(A))=\mathrm {tr} (\log A)~.}$

Ограничения в случае 2 × 2

Если вещественная матрица 2 × 2 имеет отрицательное значение детерминант, у него нет реального логарифма. Обратите внимание, что любой 2 × 2 вещественная матрица можно рассматривать как один из трех типов комплексного числа z = Икс + у ε, где ε² ∈ {−1, 0, +1}. Этот z точка на сложной подплоскости звенеть матриц.

Случай, когда определитель отрицательный, возникает только в плоскости с ε² = + 1, то есть расщепленное комплексное число самолет. Только одна четверть этой плоскости является изображением экспоненциальной карты, поэтому логарифм определяется только в этой четверти (квадранте). Остальные три квадранта - изображения этого под Кляйн четыре группы порожденные ε и −1.

Например, пусть а = журнал 2; тогда шиш а = 5/4 и sinh а = 3/4. Для матриц это означает, что

${\displaystyle A=\exp {\begin{pmatrix}0&a\\a&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cosh a&\sinh a\\\sinh a&\cosh a\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1.25&.75\\.75&1.25\end{pmatrix}}}$.

Итак, последняя матрица имеет логарифм

${\displaystyle \log A={\begin{pmatrix}0&\log 2\\\log 2&0\end{pmatrix}}}$.

Однако эти матрицы не имеют логарифма:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}3/4&5/4\\5/4&3/4\end{pmatrix}},\ {\begin{pmatrix}-3/4&-5/4\\-5/4&-3/4\end{pmatrix}},\ {\begin{pmatrix}-5/4&-3/4\\-3/4&-5/4\end{pmatrix}}}$.

Они представляют три других конъюгата четырьмя группами указанной выше матрицы, которая имеет логарифм.

Неособая матрица 2 x 2 не обязательно имеет логарифм, но она сопряжена четырьмя группами с матрицей, которая имеет логарифм.

Отсюда также следует, что, например, a квадратный корень из этой матрицы А можно получить непосредственно из возведения в степень (logА)/2,

${\displaystyle {\sqrt {A}}={\begin{pmatrix}\cosh((\log 2)/2)&\sinh((\log 2)/2)\\\sinh((\log 2)/2)&\cosh((\log 2)/2)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1.06&.35\\.35&1.06\end{pmatrix}}~.}$

Для более богатого примера начните с пифагорейская тройка (р, д, г)и разреши а = журнал (п + р) - журнал q. потом

${\displaystyle e^{a}={\frac {p+r}{q}}=\cosh a+\sinh a}$.

Сейчас же

${\displaystyle \exp {\begin{pmatrix}0&a\\a&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r/q&p/q\\p/q&r/q\end{pmatrix}}}$.

Таким образом

${\displaystyle {\tfrac {1}{q}}{\begin{pmatrix}r&p\\p&r\end{pmatrix}}}$

имеет матрицу логарифмов

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&a\\a&0\end{pmatrix}}}$ ,

куда а = журнал (п + р) - журнал q.

Смотрите также

• Матричная функция
• Квадратный корень из матрицы
• Матрица экспоненциальная
• Формула Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа
• Производная экспоненциального отображения

Примечания

1. Зал 2015 Теорема 2.8.
2. Хайэм (2008), Теорема 1.27
3. Хайэм (2008), Теорема 1.31
4. Калвер (1966)
5. Engø (2001)
6. Зал 2015 Теорема 3.42.

Рекомендации

• Гантмахер, Феликс Р. (1959), Теория матриц, 1, Нью-Йорк: Челси, стр. 239–241..
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления Элементарное введение, Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, ISBN  978-3319134666
• Калвер, Уолтер Дж. (1966), "О существовании и единственности действительного логарифма матрицы", Труды Американского математического общества, 17 (5): 1146–1151, Дои:10.1090 / S0002-9939-1966-0202740-6, ISSN  0002-9939.
• Хайэм, Николас (2008), Функции матриц. Теория и вычисления, СИАМ, ISBN  978-0-89871-646-7.
• Энгё, Кент (июнь 2001 г.), «По формуле BCH в так(3)", BIT вычислительная математика, 41 (3): 629–632, Дои:10.1023 / А: 1021979515229, ISSN  0006-3835