Серия Меркатор - Mercator series

Приближение полинома к логарифму с n = 1, 2, 3 и 10 в интервале (0,2).

В математика, то Серия Меркатор или же Серия Ньютона – Меркатора это Серия Тейлор для натуральный логарифм:

{ displaystyle ln (1 + x) = x - { frac {x ^ {2}} {2}} + { frac {x ^ {3}} {3}} - { frac {x ^ { 4}} {4}} + cdots}

В обозначение суммирования,

{ displaystyle ln (1 + x) = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n + 1}} {n}} x ^ {n}.}

Сериал сходится до натурального логарифма (сдвинутого на 1) всякий раз, когда ${ Displaystyle -1 <х leq 1}$ .

История

Серия была открыта независимо Николас Меркатор и Исаак Ньютон. Впервые он был опубликован Меркатором в его трактате 1668 г. Логарифмотехния.

Вывод

Серию можно получить из Теорема Тейлора, к индуктивно вычисление п^th производная от ${ Displaystyle ln (х)}$ в ${ displaystyle x = 1}$ , начиная с

{ displaystyle { frac {d} {dx}} ln (x) = { frac {1} {x}}.}

В качестве альтернативы можно начать с конечного геометрическая серия ( ${ Displaystyle т neq -1}$ )

{ displaystyle 1-t + t ^ {2} - cdots + (- t) ^ {n-1} = { frac {1 - (- t) ^ {n}} {1 + t}}}

который дает

{ displaystyle { frac {1} {1 + t}} = 1-t + t ^ {2} - cdots + (- t) ^ {n-1} + { frac {(-t) ^ { n}} {1 + t}}.}

Следует, что

{ displaystyle int _ {0} ^ {x} { frac {dt} {1 + t}} = int _ {0} ^ {x} left (1-t + t ^ {2} - cdots + (- t) ^ {n-1} + { frac {(-t) ^ {n}} {1 + t}} right) dt}

и почленным интегрированием

{ displaystyle ln (1 + x) = x - { frac {x ^ {2}} {2}} + { frac {x ^ {3}} {3}} - cdots + (- 1) ^ {n-1} { frac {x ^ {n}} {n}} + (- 1) ^ {n} int _ {0} ^ {x} { frac {t ^ {n}} { 1 + t}} dt.}

Если ${ Displaystyle -1 <х leq 1}$ , остаточный член стремится к 0 при ${ Displaystyle п к infty}$ .

Это выражение можно интегрировать итеративно k больше раз уступить

{ displaystyle -xA_ {k} (x) + B_ {k} (x) ln (1 + x) = sum _ {n = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {n-1} { frac {x ^ {n + k}} {n (n + 1) cdots (n + k)}},}

куда

{ displaystyle A_ {k} (x) = { frac {1} {k!}} sum _ {m = 0} ^ {k} {k choose m} x ^ {m} sum _ {l = 1} ^ {км} { frac {(-x) ^ {l-1}} {l}}}

и

{ displaystyle B_ {k} (x) = { frac {1} {k!}} (1 + x) ^ {k}}

являются многочленами от Икс.^[1]

Особые случаи

Параметр ${ displaystyle x = 1}$ в серии Меркатора дает переменный гармонический ряд

{ displaystyle sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {k + 1}} {k}} = ln (2).}

Сложная серия

В сложный степенной ряд

{ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {z ^ {n}} {n}} = z + { frac {z ^ {2}} {2}} + { frac {z ^ {3}} {3}} + { frac {z ^ {4}} {4}} + cdots}

это Серия Тейлор за ${ Displaystyle - журнал (1-я)}$ , где log обозначает главный филиал из комплексный логарифм. Этот ряд сходится точно для всех комплексных чисел ${ Displaystyle | z | leq 1, z neq 1}$ . Фактически, как видно из тест соотношения, она имеет радиус схождения равно 1, поэтому сходится абсолютно на каждом диск B(0, р) с радиусом р <1. Более того, он сходится равномерно на каждом полукруглом диске ${ Displaystyle scriptstyle { overline {B (0,1)}} setminus B (1, delta)}$ , с δ > 0. Это сразу следует из алгебраического тождества: