Константа Лебега (интерполяция) - Lebesgue constant (interpolation)

В математика, то Константы Лебега (в зависимости от набора узлов и их размера) дают представление о том, насколько хорош интерполянт из функция (в данных узлах) по сравнению с лучшими многочлен приближение функции (степень многочленов, очевидно, фиксирована). Константа Лебега для многочленов степени не выше п и для набора п + 1 узлы Т обычно обозначается Λ_п(Т ). Эти константы названы в честь Анри Лебег.

Определение

Закрепляем узлы интерполяции ${\displaystyle x_{0},...,x_{n}}$и интервал ${\displaystyle [a,\,b]}$содержащий все узлы интерполяции. Процесс интерполяции отображает функцию ${\displaystyle f}$ к многочлену ${\displaystyle p}$. Это определяет отображение ${\displaystyle X}$ из космоса C([а, б]) всех непрерывных функций на [а, б] себе. Карта Икс линейна, и это проекция на подпространстве Π_п многочленов степени п или менее.

Постоянная Лебега ${\displaystyle \Lambda _{n}(T)}$ определяется как норма оператора из Икс. Это определение требует от нас указать норму C([а, б]). В единая норма обычно самый удобный.

Характеристики

Константа Лебега ограничивает ошибку интерполяции: пусть п^∗ обозначают наилучшее приближение ж среди многочленов степени п или менее. Другими словами, п^∗ сводит к минимуму || п −  ж || среди всего п в Π_п. потом

${\displaystyle \|f-X(f)\|\leq (\Lambda _{n}(T)+1)\left\|f-p^{*}\right\|.}$

Здесь мы докажем это утверждение с максимальной нормой.

${\displaystyle \|f-X(f)\|\leq \|f-p^{*}\|+\|p^{*}-X(f)\|}$

посредством неравенство треугольника. Но Икс является проекцией на Π_п, так

п^∗ − Икс( ж ) = Икс(п^∗) − Икс( ж ) = Икс(п^∗ − ж ).

Это завершает доказательство, поскольку ${\displaystyle \|X(p^{*}-f)\|\leq \|X\|\|p^{*}-f\|=\|X\|\|f-p^{*}\|}$. Обратите внимание, что это отношение также является частным случаем Лемма Лебега.

Другими словами, полином интерполяции не более чем множитель Λ_п(Т ) + 1 хуже, чем наилучшее возможное приближение. Это говорит о том, что мы ищем набор узлов интерполяции с небольшой постоянной Лебега.

Константу Лебега можно выразить через Основание Лагранжа полиномы:

${\displaystyle \ell _{j}(x):=\prod _{\begin{smallmatrix}i=0\\j\neq i\end{smallmatrix}}^{n}{\frac {x-x_{i}}{x_{j}-x_{i}}}.}$

Фактически, у нас есть функция Лебега

${\displaystyle \lambda _{n}(x)=\sum _{j=0}^{n}|\ell _{j}(x)|.}$

а константа Лебега (или число Лебега) для сетки - его максимальное значение

${\displaystyle \Lambda _{n}(T)=\max _{x\in [a,b]}\lambda _{n}(x)}$

Тем не менее найти явное выражение для Λ_п(Т ).

Минимальные константы Лебега

В случае равноудаленных узлов постоянная Лебега растет экспоненциально. Точнее, имеем следующую асимптотическую оценку

${\displaystyle \Lambda _{n}(T)\sim {\frac {2^{n+1}}{en\log n}}\qquad {\text{ as }}n\to \infty .}$

С другой стороны, постоянная Лебега растет только логарифмически, если Чебышевские узлы используются, поскольку у нас есть

${\displaystyle {\tfrac {2}{\pi }}\log(n+1)+a<\Lambda _{n}(T)<{\tfrac {2}{\pi }}\log(n+1)+1,\qquad a=0.9625\ldots }$

Мы снова заключаем, что узлы Чебышева - очень хороший выбор для полиномиальной интерполяции. Однако существует простое (линейное) преобразование узлов Чебышева, которое дает лучшую константу Лебега. Позволять т_я обозначить я-й Чебышевский узел. Затем определим

${\displaystyle s_{i}={\frac {t_{i}}{\cos \left({\frac {\pi }{2(n+1)}}\right)}}.}$

Для таких узлов:

${\displaystyle \Lambda _{n}(S)<{\tfrac {2}{\pi }}\log(n+1)+b,\qquad b=0.7219\ldots }$

Эти узлы, однако, не оптимальны (т.е.они не минимизируют константы Лебега), и поиск оптимального набора узлов (который уже доказал свою уникальность при некоторых предположениях) по-прежнему остается интригующей темой в математике сегодня. Однако этот набор узлов оптимален для интерполяции по ${\displaystyle C_{M}^{n}[-1,1]}$ набор п раз дифференцируемые функции, п-я производная ограничена по модулю постоянной M как показано Н. С. Хоангом. Используя компьютер, можно аппроксимировать значения минимальных констант Лебега, здесь для канонического интервала [−1, 1]:

п	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Λп(Т)	1.0000	1.2500	1.4229	1.5595	1.6722	1.7681	1.8516	1.9255	1.9917

Существует несчетное бесконечно много наборов узлов в [−1,1], которые минимизируют при фиксированных п > 1, постоянная Лебега. Хотя, если мы предположим, что мы всегда берем −1 и 1 в качестве узлов для интерполяции (что называется канонический конфигурации узла), то такой набор уникален и имеет нулевую симметрию. Чтобы проиллюстрировать это свойство, мы увидим, что происходит, когда п = 2 (т.е. мы рассматриваем 3 узла интерполяции, и в этом случае свойство нетривиально). Можно проверить, что каждый набор (нуль-симметричных) узлов типа (−а, 0, а) оптимально, когда √8/3 ≤ а ≤ 1 (мы рассматриваем только узлы в [−1, 1]). Если мы заставим набор узлов быть типа (−1, б, 1), тогда б должен быть равен 0 (посмотрите на функцию Лебега, максимум которой - постоянная Лебега). Все произвольный (т.е. нуль-симметричный или нулевой асимметричный) оптимальные наборы узлов в [-1,1], когда п = 2 были определены Ф. Шурером, а альтернативным способом - Х.-Ж. Рэк и Р. Вайда (2014).

Если мы предположим, что мы берем −1 и 1 в качестве узлов для интерполяции, то, как показано Х.-Дж. Стеллаж (1984 и 2013), для корпуса п = 3 известны явные значения оптимальных (уникальных и нулевых симметричных) 4 узлов интерполяции и явное значение минимальной константы Лебега. Все произвольный оптимальные наборы из 4 узлов интерполяции в [1,1], когда п = 3 были явно определены двумя разными, но эквивалентными способами Х.-Дж. Рэк и Р. Вайда (2015).

В Падуя очки предоставить другой набор узлов с медленным ростом (хотя и не таким медленным, как узлы Чебышева) и с дополнительным свойством быть нерастворимый набор точек.

Чувствительность значений полинома

Константы Лебега возникают и в другой проблеме. Позволять п(Икс) - многочлен степени п выраженный в Лагранжева форма связанных с точками в векторе т (т.е. вектор ты его коэффициентов - вектор, содержащий значения ${\displaystyle p(t_{i})}$). Позволять ${\displaystyle {\hat {p}}(x)}$ - многочлен, полученный незначительным изменением коэффициентов ты исходного многочлена п(Икс) к ${\displaystyle {\hat {u}}}$. Рассмотрим неравенство:

${\displaystyle {\frac {\|p-{\hat {p}}\|}{\|p\|}}\leq \Lambda _{n}(T){\frac {\|u-{\hat {u}}\|}{\|u\|}}}$

Это означает, что (относительная) ошибка в значениях ${\displaystyle {\hat {p}}(x)}$ не будет больше, чем соответствующая постоянная Лебега, умноженная на относительную ошибку коэффициентов. В этом смысле постоянную Лебега можно рассматривать как относительную номер условия оператора, отображающего каждый вектор коэффициентов ты множеству значений многочлена с коэффициентами ты в форме Лагранжа. Фактически мы можем определить такой оператор для каждого полиномиального базиса, но его число обусловленности больше, чем оптимальная константа Лебега для наиболее удобных базисов.

Рекомендации

• Брутман, Л. (1997), "Функции Лебега для полиномиальной интерполяции - обзор", Анналы вычислительной математики, 4: 111–127, ISSN  1021-2655
• Смит, Саймон Дж. (2006), «Константы Лебега в полиномиальной интерполяции» (PDF), Annales Mathematicae et Informaticae, 33: 109–123, ISSN  1787-5021
• Ибрагимоглу, Байрам Али (2016), «Функции Лебега и константы Лебега в полиномиальной интерполяции», Журнал неравенств и приложений: 2016:93, Дои:10.1186 / s13660-016-1030-3, ISSN  1029-242X
• Стойка, H.-J. (1984), «Пример оптимальных узлов для интерполяции», Международный журнал математического образования в науке и технологиях, 15 (3): 355–357, Дои:10.1080/0020739840150312, ISSN  1464-5211
• Стойка, H.-J. (2013), «Повторный пример оптимальных узлов для интерполяции», Успехи прикладной математики и теории приближений, Springer Proceedings по математике и статистике, 41: 117–120, Дои:10.1007/978-1-4614-6393-1_7, ISSN  2194-1009
• Стойка, H.-J .; Вайда, Р. (2014), «Об оптимальной квадратичной интерполяции Лагранжа: системы экстремальных узлов с минимальной константой Лебега посредством символьных вычислений», Сердика Журнал вычислительной техники, 8: 71–96, ISSN  1312-6555
• Стойка, H.-J .; Вайда, Р. (2015), «Об оптимальной кубической интерполяции Лагранжа: экстремальные системы узлов с минимальной константой Лебега» (PDF), Studia Universitatis Babeş-Bolyai Mathematica, 60 (2): 151–171, ISSN  0252-1938
• Schurer, F. (1974), "Замечание об экстремальных множествах в теории полиномиальной интерполяции", Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica, 9: 77–79, ISSN  0081-6906
• Хоанг, Н. С., О распределении узлов для интерполяционных и спектральных методов., arXiv:1305.6104, Bibcode:2013arXiv1305.6104H
• Константы Лебега на MathWorld.