Волновая функция Лафлина - Laughlin wavefunction

В физика конденсированного состояния, то Волновая функция Лафлина^[1][2] является анзац, предложено Роберт Лафлин для основное состояние из двумерный электронный газ размещены на едином фоне магнитное поле при наличии униформы желе фон, когда коэффициент заполнения (квантовый эффект Холла) из самый низкий уровень Ландау является ${\displaystyle \nu =1/n}$ куда ${\displaystyle n}$ - нечетное положительное целое число. Он был построен, чтобы объяснить наблюдение ${\displaystyle \nu =1/3}$ дробный квантовый эффект Холла, и предсказал существование дополнительных ${\displaystyle \nu =1/n}$ состояний, а также квазичастичных возбуждений с дробным электрическим зарядом ${\displaystyle e/n}$, оба из которых были позже экспериментально обнаружены. Лафлин получил треть Нобелевская премия по физике в 1998 г. за это открытие. Будучи пробной волновой функцией, она не точна, но качественно воспроизводит многие особенности точного решения и количественно имеет очень высокие перекрытия с точным основным состоянием для небольших систем.

Если не обращать внимания на желе и взаимное Кулоновское отталкивание Между электронами в качестве нулевого приближения у нас есть бесконечно вырожденный нижний уровень Ландау (НУЛ), и с коэффициентом заполнения 1 / п можно ожидать, что все электроны будут находиться в НУЛ. Включив взаимодействия, мы можем сделать приближение, что все электроны лежат в НУЛ. Если ${\displaystyle \psi _{0}}$ - одночастичная волновая функция состояния LLL с самым низким орбитальный угловой момент, то анзац Лафлина для многочастичной волновой функции имеет вид

${\displaystyle \langle z_{1},z_{2},z_{3},\ldots ,z_{N}\mid n,N\rangle =\psi _{n,N}(z_{1},z_{2},z_{3},\ldots ,z_{N})=D\left[\prod _{N\geqslant i>j\geqslant 1}\left(z_{i}-z_{j}\right)^{n}\right]\prod _{k=1}^{N}\exp \left(-\mid z_{k}\mid ^{2}\right)}$

где позиция обозначается

${\displaystyle z={1 \over 2{\mathit {l}}_{B}}\left(x+iy\right)}$

в (Гауссовы единицы )

${\displaystyle {\mathit {l}}_{B}={\sqrt {\hbar c \over eB}}}$

и ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ - координаты в плоскости xy. Здесь ${\displaystyle \hbar }$ является Постоянная Планка, ${\displaystyle e}$ это заряд электрона, ${\displaystyle N}$ - общее количество частиц, а ${\displaystyle B}$ это магнитное поле, которая перпендикулярна плоскости xy. Индексы на z обозначают частицу. Чтобы волновая функция описывала фермионы, n должно быть нечетным целым числом. Это заставляет волновую функцию быть антисимметричной по отношению к обмену частицами. Угловой момент для этого состояния равен ${\displaystyle n\hbar }$.

Энергия взаимодействия двух частиц

Рисунок 1. Энергия взаимодействия в зависимости от ${\displaystyle {\mathit {l}}}$ за ${\displaystyle n=7}$ и ${\displaystyle k_{B}r_{B}=20}$. Энергия выражается в единицах ${\displaystyle {e^{2} \over L_{B}}}$. Обратите внимание, что минимумы возникают при ${\displaystyle {\mathit {l}}=3}$ и ${\displaystyle {\mathit {l}}=4}$. Обычно минимумы возникают при ${\displaystyle {{\mathit {l}} \over n}={1 \over 2}\pm {1 \over 2n}}$.

Волновая функция Лафлина - это многочастичная волновая функция для квазичастицы. В ожидаемое значение энергии взаимодействия пары квазичастиц равна

${\displaystyle \langle V\rangle =\langle n,N\mid V\mid n,N\rangle ,\;\;\;N=2}$

где экранированный потенциал (см. Кулоновский потенциал между двумя токовыми петлями, заключенными в магнитное поле )

${\displaystyle V\left(r_{12}\right)=\left({2e^{2} \over L_{B}}\right)\int _{0}^{\infty }{{k\;dk\;} \over k^{2}+k_{B}^{2}r_{B}^{2}}\;M\left({\mathit {l}}+1,1,-{k^{2} \over 4}\right)\;M\left({\mathit {l}}^{\prime }+1,1,-{k^{2} \over 4}\right)\;{\mathcal {J}}_{0}\left(k{r_{12} \over r_{B}}\right)}$

куда ${\displaystyle M}$ это конфлюэнтная гипергеометрическая функция и ${\displaystyle {\mathcal {J}}_{0}}$ это Функция Бесселя первого вида. Здесь, ${\displaystyle r_{12}}$ расстояние между центрами двух токовых петель, ${\displaystyle e}$ это величина заряд электрона, ${\displaystyle r_{B}={\sqrt {2}}{\mathit {l}}_{B}}$ квантовая версия Ларморовский радиус, и ${\displaystyle L_{B}}$ - толщина электронного газа в направлении магнитного поля. В угловые моменты двух отдельных токовых петель ${\displaystyle {\mathit {l}}\hbar }$ и ${\displaystyle {\mathit {l}}^{\prime }\hbar }$ куда ${\displaystyle {\mathit {l}}+{\mathit {l}}^{\prime }=n}$. Обратная длина экранирования определяется выражением (Гауссовы единицы )

${\displaystyle k_{B}^{2}={4\pi e^{2} \over \hbar \omega _{c}AL_{B}}}$

куда ${\displaystyle \omega _{c}}$ это циклотронная частота, и ${\displaystyle A}$ - площадь электронного газа в плоскости xy.

Энергия взаимодействия оценивается как:

${\displaystyle E=\left({2e^{2} \over L_{B}}\right)\int _{0}^{\infty }{{k\;dk\;} \over k^{2}+k_{B}^{2}r_{B}^{2}}\;M\left({\mathit {l}}+1,1,-{k^{2} \over 4}\right)\;M\left({\mathit {l}}^{\prime }+1,1,-{k^{2} \over 4}\right)\;M\left(n+1,1,-{k^{2} \over 2}\right)}$

Рисунок 2. Энергия взаимодействия в зависимости от ${\displaystyle {n}}$ за ${\displaystyle {{\mathit {l}} \over n}={1 \over 2}\pm {1 \over 2n}}$ и ${\displaystyle k_{B}r_{B}=0.1,1.0,10}$. Энергия выражается в единицах ${\displaystyle {e^{2} \over L_{B}}}$.

Чтобы получить этот результат, мы сделали замену переменных интегрирования

${\displaystyle u_{12}={z_{1}-z_{2} \over {\sqrt {2}}}}$

и

${\displaystyle v_{12}={z_{1}+z_{2} \over {\sqrt {2}}}}$

и отметил (см. Общие интегралы в квантовой теории поля )

${\displaystyle {1 \over \left(2\pi \right)^{2}\;2^{2n}\;n!}\int d^{2}z_{1}\;d^{2}z_{2}\;\mid z_{1}-z_{2}\mid ^{2n}\;\exp \left[-2\left(\mid z_{1}\mid ^{2}+\mid z_{2}\mid ^{2}\right)\right]\;{\mathcal {J}}_{0}\left({\sqrt {2}}\;{k\mid z_{1}-z_{2}\mid }\right)=}$

${\displaystyle {1 \over \left(2\pi \right)^{2}\;2^{n}\;n!}\int d^{2}u_{12}\;d^{2}v_{12}\;\mid u_{12}\mid ^{2n}\;\exp \left[-2\left(\mid u_{12}\mid ^{2}+\mid v_{12}\mid ^{2}\right)\right]\;{\mathcal {J}}_{0}\left({2}k\mid u_{12}\mid \right)=}$

${\displaystyle M\left(n+1,1,-{k^{2} \over 2}\right).}$

Энергия взаимодействия имеет минимумы при (рис. 1)

${\displaystyle {{\mathit {l}} \over n}={1 \over 3},{2 \over 5},{3 \over 7},{\mbox{etc.,}}}$

и

${\displaystyle {{\mathit {l}} \over n}={2 \over 3},{3 \over 5},{4 \over 7},{\mbox{etc.}}}$

Для этих значений отношения угловых моментов энергия представлена ​​на рисунке 2 как функция от ${\displaystyle n}$.

Рекомендации

1. Лафлин, Р. Б. (2 мая 1983 г.). «Аномальный квантовый эффект Холла: несжимаемая квантовая жидкость с фракционно заряженными возбуждениями». Письма с физическими проверками. Американское физическое общество (APS). 50 (18): 1395–1398. Дои:10.1103 / Physrevlett.50.1395. ISSN  0031-9007.
2. З. Ф. Эзева (2008). Квантовые эффекты Холла, второе издание. World Scientific. ISBN  978-981-270-032-2. стр. 210-213

Смотрите также

• Уровень Ландау
• Дробный квантовый эффект Холла
• Кулоновский потенциал между двумя токовыми петлями, заключенными в магнитное поле