Инвариант Кервера - Kervaire invariant

В математике Инвариант Кервера инвариант обрамленный ${\displaystyle (4k+2)}$-размерный многообразие который измеряет, может ли многообразие быть хирургическим путем преобразован в сферу. Этот инвариант принимает значение 0, если многообразие можно преобразовать в сферу, и 1 в противном случае. Этот инвариант назван в честь Мишель Кервер кто построил на работе Cahit Arf.

Инвариант Кервера определяется как Инвариант Arf из косоквадратичная форма на среднем измерении группа гомологии. Его можно рассматривать как односвязный квадратичный L-группа ${\displaystyle L_{4k+2}}$, и, таким образом, аналогичен другим инвариантам из L-теории: подпись, а ${\displaystyle 4k}$-мерный инвариант (симметричный или квадратичный, ${\displaystyle L^{4k}\cong L_{4k}}$), а Инвариант де Рама, а ${\displaystyle (4k+1)}$-размерный симметричный инвариантный ${\displaystyle L^{4k+1}}$.

В любом заданном измерении есть только две возможности: либо все многообразия имеют инвариант Арфа – Кервера, равный 0, либо половина имеет инвариант Арфа – Кервера 0, а другая половина имеет инвариант Арфа – Кервера 1.

В Проблема инварианта Кервера - это проблема определения, в каких размерностях инвариант Кервера может быть отличным от нуля. За дифференцируемые многообразия это может произойти в измерениях 2, 6, 14, 30, 62 и, возможно, 126, и ни в каких других измерениях. Последний случай размерности 126 остается открытым.

Определение

Инвариант Кервера - это Инвариант Arf из квадратичная форма определяется обрамлением на средне-размерном ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$группа гомологий

${\displaystyle q\colon H_{2m+1}(M;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,}$

и поэтому иногда называют Инвариант Арфа – Кервера.. Квадратичная форма (собственно, косоквадратичная форма ) это квадратичное уточнение из обычных ε-симметричная форма на средне размерных гомологиях (не обрамленных) четномерного многообразия; оснащение дает квадратичное уточнение.

Квадратичная форма q может быть определена алгебраической топологией с использованием функциональных Квадраты Стинрода, а геометрически через самопересечения погружения ${\displaystyle S^{2m+1}}$${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle M^{4m+2}}$ определяется оснащением, или тривиальностью / нетривиальностью нормальных пучков вложений ${\displaystyle S^{2m+1}}$${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle M^{4m+2}}$ (за ${\displaystyle m\neq 0,1,3}$) и мод 2 Инвариант Хопфа карт ${\displaystyle S^{4m+2+k}\to S^{2m+1+k}}$(за ${\displaystyle m=0,1,3}$).

История

Инвариант Кервера является обобщением инварианта Арфа оснащенной поверхности (т. Е. Двумерного многообразия со стабильно тривиализованным касательным расслоением), который использовался Лев Понтрягин в 1950 г. для вычисления гомотопическая группа ${\displaystyle \pi _{n+2}(S^{n})=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ карт ${\displaystyle S^{n+2}}$ ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle S^{n}}$ (за ${\displaystyle n\geq 2}$), которая является группой кобордизмов поверхностей, вложенных в ${\displaystyle S^{n+2}}$ с тривиализированным нормальным расслоением.

Кервэр (1960) использовал свой инвариант для п = 10 для построения Многообразие Кервера, 10-мерный Коллектор PL без дифференцируемая структура, первый пример такого многообразия, показав, что его инвариант не обращается в нуль на этом PL-многообразии, но обращается в нуль на всех гладких многообразиях размерности 10.

Кервэр и Милнор (1963) вычисляет группу экзотические сферы (в размерности больше 4), с одним шагом в вычислении в зависимости от инвариантной задачи Кервера. В частности, они показывают, что множество экзотических сфер размерности п - конкретно моноид гладких структур на эталоне п-сфера - изоморфна группе ${\displaystyle \Theta _{n}}$ из час-кобордизм классы ориентированных гомотопия п-сферы. Они вычисляют это в терминах карты

${\displaystyle \Theta _{n}/bP_{n+1}\to \pi _{n}^{S}/J,\,}$

куда ${\displaystyle bP_{n+1}}$ циклическая подгруппа в п-сферы, ограничивающие параллелизируемое многообразие измерения ${\displaystyle n+1}$, ${\displaystyle \pi _{n}^{S}}$ это пth стабильная гомотопическая группа сфер, и J это образ J-гомоморфизм, которая также является циклической группой. Группы ${\displaystyle bP_{n+1}}$ и ${\displaystyle J}$ легко понять циклические факторы, которые тривиальны или второго порядка, за исключением размерности ${\displaystyle n=4k+3}$, в этом случае они большие, с порядком, связанным с Числа Бернулли. Факторы - это сложные части групп. Отображение между этими фактор-группами является либо изоморфизмом, либо инъективным и имеет образ индекса 2. Это последний, если и только если существует п-мерное оснащенное многообразие с ненулевым инвариантом Кервера, поэтому классификация экзотических сфер зависит с точностью до 2 раз от проблемы инварианта Кервера.

Примеры

Для стандартного встроенного тор, кососимметричная форма имеет вид ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}$ (относительно стандарта симплектический базис ), а косоквадратичное уточнение дается формулой ${\displaystyle xy}$ относительно этого основания: ${\displaystyle Q(1,0)=Q(0,1)=0}$: базовые кривые не связаны между собой; и ${\displaystyle Q(1,1)=1}$: a (1,1) ссылки на себя, как в Расслоение Хопфа. Таким образом, эта форма имеет Инвариант Arf 0 (большинство его элементов имеют норму 0; имеет индекс изотропии 1), а значит, стандартный вложенный тор имеет инвариант Кервера 0.

Проблема инварианта Кервера

Вопрос в каких размерах п Существуют п-мерные оснащенные многообразия с ненулевым инвариантом Кервера называются Проблема инварианта Кервера. Это возможно только если п 2 mod 4, и действительно, нужно иметь п имеет форму ${\displaystyle 2^{k}-2}$ (два меньше степени двойки). Вопрос почти полностью решен; по состоянию на 2019 год^{[Обновить]} открыт только случай размерности 126: существуют многообразия с ненулевым инвариантом Кервера в размерностях 2, 6, 14, 30, 62 и ни одного во всех других измерениях, кроме, возможно, 126.

Основные результаты получены из Уильям Браудер  (1969 ), который свел проблему с дифференциальной топологии к теория стабильной гомотопии и показал, что единственно возможные размеры ${\displaystyle 2^{k}-2}$и Майкла А. Хилла, Майкл Дж. Хопкинс, и Дуглас С. Равенел (2016 ), который показал, что таких многообразий для ${\displaystyle k\geq 8}$ (${\displaystyle n\geq 254}$). Вместе с явными конструкциями для более низких измерений (до 62) это оставляет открытым только размер 126.

Это было предположено Майкл Атья что существует такое многообразие в размерности 126, и что многомерные многообразия с ненулевым инвариантом Кервера связаны с хорошо известными экзотическими многообразиями на два измерения выше, в размерностях 16, 32, 64 и 128, а именно: Проективная плоскость Кэли ${\displaystyle \mathbf {O} P^{2}}$ (размерность 16, октонионная проективная плоскость) и аналогичный Проективные плоскости Розенфельда (биоктонионная проективная плоскость в размерности 32, кватероктонионная проективная плоскость в размерности 64 и окто-октонионной проективной плоскости в размерности 128), в частности, что существует конструкция, которая берет эти проективные плоскости и создает многообразие с ненулевым инвариантом Кервера в двух измерениях ниже.^[1]

История

• Кервэр (1960) доказал, что инвариант Кервера равен нулю для многообразий размерности 10, 18
• Кервэр и Милнор (1963) доказал, что инвариант Кервера может быть ненулевым для многообразий размерности 6, 14
• Андерсон, Браун и Петерсон (1966) Ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFAndersonBrownPeterson1966 (помощь) доказал, что инвариант Кервера равен нулю для многообразий размерности 8п+2 за п>1
• Маховальд и Тангора (1967) доказал, что инвариант Кервера может быть ненулевым для многообразий размерности 30
• Браудер (1969) доказал, что инвариант Кервера равен нулю для многообразий размерности п не в форме 2^k − 2.
• Барратт, Джонс и Маховальд (1984) показал, что инвариант Кервера отличен от нуля для некоторого многообразия размерности 62. Альтернативное доказательство было дано позже Сюй (2016).
• Хилл, Хопкинс и Равенел (2016) показал, что инвариант Кервера равен нулю при п-мерные оснащенные многообразия для п = 2^k- 2 с k ≥ 8. Они построили теорию когомологий Ω со следующими свойствами, из которых немедленно следует их результат:
  • Группы коэффициентов Ω^п(точка) имеют период 2⁸ = 256 дюймов п
  • Группы коэффициентов Ω^п(точка) имеют "пробел": они исчезают на п = -1, -2 и -3
  • Группы коэффициентов Ω^п(точка) может обнаружить отличные от нуля инварианты Кервера: точнее, если инвариант Кервера для многообразий размерности п отличен от нуля, то он имеет ненулевой образ в Ω^−п(точка)

Инвариант Кервера – Милнора

В Кервер-Милнор инвариант - это тесно связанный инвариант оснащенной перестройки 2-, 6- или 14-мерного оснащенного многообразия, который дает изоморфизмы из 2-го и 6-го стабильная гомотопическая группа сфер к ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$, и гомоморфизм из 14-й стабильной гомотопической группы сфер на ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$. За п = 2, 6, 14 есть экзотическое обрамление на ${\displaystyle S^{n/2}\times S^{n/2}}$ с инвариантом Кервера – Милнора 1.

Смотрите также

• Подпись, а 4k-мерный инвариант
• Инвариант де Рама, а (4k + 1) -мерный инвариант

Рекомендации

1. комментарий Андре Энрикес, 1 июля 2012 г., 19:26, "Инвариант Кервера: почему размерность 126 особенно сложна? ", MathOverflow

• Барратт, Майкл Дж .; Jones, J. D. S .; Маховальд, Марк Э. (1984). «Отношения между скобками Тоды и инвариантом Кервера в размерности 62». Журнал Лондонского математического общества. 2. 30 (3): 533–550. CiteSeerX  10.1.1.212.1163. Дои:10.1112 / jlms / s2-30.3.533. МИСТЕР  0810962.
• Браудер, Уильям (1969). «Инвариант Кервера оснащенных многообразий и его обобщение». Анналы математики. 90 (1): 157–186. Дои:10.2307/1970686. JSTOR  1970686.
• Браудер, Уильям (1972), Хирургия односвязных многообразий, Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете, 65, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer, стр. Ix + 132, ISBN  978-0-387-05629-6, МИСТЕР  0358813
• Чернавский, А. (2001) [1994], «Арф-инвариант», Энциклопедия математики, EMS Press
• Хилл, Майкл А .; Хопкинс, Майкл Дж.; Равенел, Дуглас С. (2016). «Об отсутствии элементов инвариантной единицы Кервера». Анналы математики. 184 (1): 1–262. arXiv:0908.3724. Дои:10.4007 / анналы.2016.184.1.1.
• Кервер, Мишель А. (1960). «Многообразие, не допускающее дифференцируемой структуры». Комментарии Mathematici Helvetici. 34: 257–270. Дои:10.1007 / bf02565940. МИСТЕР  0139172.
• Кервер, Мишель А.; Милнор, Джон В. (1963). «Группы гомотопических сфер: I» (PDF). Анналы математики. 77 (3): 504–537. Дои:10.2307/1970128. JSTOR  1970128. МИСТЕР  0148075.
• Маховальд, Марк; Тангора, Мартин (1967). «Некоторые дифференциалы в спектральной последовательности Адамса». Топология. 6 (3): 349–369. Дои:10.1016/0040-9383(67)90023-7. МИСТЕР  0214072.
• Миллер, Хейнс (2012) [2011], Один инвариант Кервера (по М. А. Хиллу, М. Дж. Хопкинсу и Д. К. Равенелу), Семинара Бурбаки, arXiv:1104.4523, Bibcode:2011arXiv1104.4523M
• Милнор, Джон В. (2011), «Дифференциальная топология сорок шесть лет спустя» (PDF), Уведомления Американского математического общества, 58 (6): 804–809
• Рурк, Колин П.; Салливан, Деннис П. (1971), «О препятствии Кервера», Анналы математики, (2), 94 (3): 397–413, Дои:10.2307/1970764, JSTOR  1970764
• Штанько, М.А. (2001) [1994], «Инвариант Кервера», Энциклопедия математики, EMS Press
• Штанько, М.А. (2001) [1994], «Инвариант Кервера-Милнора», Энциклопедия математики, EMS Press
• Снайт, Виктор П. (2009), Стабильная гомотопия вокруг инварианта Арфа-Кервера, Успехи в математике, 273, Birkhäuser Verlag, Дои:10.1007/978-3-7643-9904-7, ISBN  978-3-7643-9903-0, МИСТЕР  2498881
• Снайт, Виктор П. (2010), Инвариант Арфа-Кервера оснащенных многообразий, arXiv:1001.4751, Bibcode:2010arXiv1001.4751S
• Сюй, Чжоу (2016), "Проблема сильного инварианта Кервера в размерности 62", Геометрия и топология, 20, arXiv:1410.6199, Дои:10.2140 / gt.2016.20.1611, МИСТЕР  3523064

внешняя ссылка

• Слайды и видео лекции Хопкинса в Эдинбурге, 21 апреля 2009 г.
• Домашняя страница Arf-Kervaire Дуга Равенела
• Летний семинар Гарварда-Массачусетского технологического института по инварианту Кервера
• Решена проблема с одним инвариантом Кервера, 23 апреля 2009 г., сообщение в блоге Джона Баэза и обсуждение, Кафе n-Category
• Экзотические сферы в атласе многообразия

Популярные новости

• Гиперсферная экзотика: проблема инварианта Кервера имеет решение! Решена проблема 45-летней давности о сферах высокой размерности - вероятно, Давид Кастельвекки, август 2009 г. Scientific American
• Болл, Филипп (2009). «Скрытая загадка форм разгадана». Природа. Дои:10.1038 / новости.2009.427.
• Математики решили загадку с инвариантом Кервера 45-летней давности, Эрика Кларрайх, 20 июл 2009 г.