J-гомоморфизм - J-homomorphism

В математика, то J-гомоморфизм отображение из гомотопические группы из специальные ортогональные группы к гомотопические группы сфер. Это было определено Джордж Уайтхед  (1942 ), продолжая конструкцию Хайнц Хопф  (1935 ).

Определение

Исходный гомоморфизм Уайтхеда определяется геометрически и дает гомоморфизм

${\displaystyle J\colon \pi _{r}(\mathrm {SO} (q))\to \pi _{r+q}(S^{q})\,\!}$

абелевых групп для целых чисел q, и ${\displaystyle r\geq 2}$. (Хопф определил это для частного случая ${\displaystyle q=r+1}$.)

В J-гомоморфизм можно определить следующим образом. Элемент специальной ортогональной группы SO (q) можно рассматривать как карту

${\displaystyle S^{q-1}\rightarrow S^{q-1}}$

и гомотопическая группа ${\displaystyle \pi _{r}(\operatorname {SO} (q))}$) состоит из гомотопия классы карт из р-сфера в SO (qТаким образом, элемент ${\displaystyle \pi _{r}(\operatorname {SO} (q))}$ может быть представлена ​​картой

${\displaystyle S^{r}\times S^{q-1}\rightarrow S^{q-1}}$

Применяя Строительство Хопфа к этому дает карту

${\displaystyle S^{r+q}=S^{r}*S^{q-1}\rightarrow S(S^{q-1})=S^{q}}$

в ${\displaystyle \pi _{r+q}(S^{q})}$, который Уайтхед определил как изображение элемента ${\displaystyle \pi _{r}(\operatorname {SO} (q))}$ при J-гомоморфизме.

Принимая предел как q стремится к бесконечности дает стабильную J-гомоморфизм в теория стабильной гомотопии:

${\displaystyle J\colon \pi _{r}(\mathrm {SO} )\to \pi _{r}^{S},\,\!}$

где SO - бесконечное специальная ортогональная группа, а правая часть - это р-й стабильный стержень из стабильные гомотопические группы сфер.

Образ J-гомоморфизма

Образ J-гомоморфизм описан Фрэнк Адамс  (1966 ), предполагая Гипотеза Адамса из Адамс (1963) что было доказано Дэниел Квиллен  (1971 ), следующее. Группа ${\displaystyle \pi _{r}(\operatorname {SO} )}$ дан кем-то Периодичность Ботта. Это всегда циклично; и если р положительна, она имеет порядок 2, если р равно 0 или 1 по модулю 8, бесконечно, если р равно 3 по модулю 4, иначе порядок 1 (Switzer 1975, п. 488). В частности, имидж конюшни J-гомоморфизм циклический. Стабильные гомотопические группы ${\displaystyle \pi _{r}^{S}}$ являются прямой суммой (циклического) образа J-гомоморфизм, а ядро ​​е-инварианта Адамса (Адамс 1966 ) гомоморфизм стабильных гомотопических групп в ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$. Порядок изображения равен 2, если р равно 0 или 1 по модулю 8 и положительно (так что в этом случае J-гомоморфизм инъективен). Если ${\displaystyle r=4n-1}$ равно 3 по модулю 4 и положительно, изображение представляет собой циклическую группу порядка, равного знаменателю ${\displaystyle B_{2n}/4n}$, куда ${\displaystyle B_{2n}}$ это Число Бернулли. В остальных случаях, когда р 2, 4, 5 или 6 по модулю 8 изображение тривиально, потому что ${\displaystyle \pi _{r}(\operatorname {SO} )}$ тривиально.

р	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
πр(ТАК)	1	2	1	Z	1	1	1	Z	2	2	1	Z	1	1	1	Z	2	2
| им (J)|	1	2	1	24	1	1	1	240	2	2	1	504	1	1	1	480	2	2
πрS	Z	2	2	24	1	1	2	240	2^2	2^3	6	504	1	3	2^2	480×2	2^2	2^4
B2п				^1⁄6				−^1⁄30				^1⁄42				−^1⁄30

Приложения

Атья (1961) представил группу J(Икс) пространства Икс, который для Икс сфера - это изображение J-гомоморфизм в подходящей размерности.

В коядро из J-гомоморфизм появляется в группе экзотические сферы (Косинский (1992) Ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFKosinski1992 (помощь)).

Рекомендации

• Атья, Майкл Фрэнсис (1961), «Комплексы Тома», Труды Лондонского математического общества, Третья серия, 11: 291–310, Дои:10.1112 / плмс / с3-11.1.291, МИСТЕР  0131880
• Адамс, Дж. Ф. (1963), «О группах J (X) I», Топология, 2 (3): 181, Дои:10.1016/0040-9383(63)90001-6
• Адамс, Дж. Ф. (1965a), «О группах J (X) II», Топология, 3 (2): 137, Дои:10.1016/0040-9383(65)90040-6
• Адамс, Дж. Ф. (1965b), «О группах J (X) III», Топология, 3 (3): 193, Дои:10.1016/0040-9383(65)90054-6
• Адамс, Дж. Ф. (1966), «О группах J (X) IV», Топология, 5: 21, Дои:10.1016/0040-9383(66)90004-8. "Коррекция", Топология, 7 (3): 331, 1968, Дои:10.1016/0040-9383(68)90010-4
• Хопф, Хайнц (1935), "Über die Abbildungen von Sphären auf Sphäre niedrigerer Dimension", Fundamenta Mathematicae, 25: 427–440
• Косинский, Антони А. (1992), Дифференциальные многообразия, Сан-Диего, Калифорния: Академическая пресса, стр.195ff, ISBN  0-12-421850-4
• Милнор, Джон В. (2011), «Дифференциальная топология сорок шесть лет спустя» (PDF), Уведомления Американского математического общества, 58 (6): 804–809
• Квиллен, Дэниел (1971), «Гипотеза Адамса», Топология, 10: 67–80, Дои:10.1016/0040-9383(71)90018-8, МИСТЕР  0279804
• Свитцер, Роберт М. (1975), Алгебраическая топология - гомотопии и гомологии, Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-06758-2
• Уайтхед, Джордж У. (1942), «О гомотопических группах сфер и группах вращений», Анналы математики, Вторая серия, 43 (4): 634–640, Дои:10.2307/1968956, JSTOR  1968956, МИСТЕР  0007107
• Уайтхед, Джордж У. (1978), Элементы теории гомотопии, Берлин: Springer, ISBN  0-387-90336-4, МИСТЕР  0516508