Теорема Капланского о плотности - Kaplansky density theorem

В теории алгебры фон Неймана, то Теорема Капланского о плотности, из-за Ирвинг Каплански, является основной аппроксимационной теоремой. Важность и повсеместность этого технического инструмента привели к Герт Педерсен комментировать в одной из его книг^[1] который,

Теорема плотности - великий дар Капланского человечеству. Его можно использовать каждый день и дважды по воскресеньям.

Официальное заявление

Позволять K⁻ обозначить замыкание с сильным оператором набора K в B (H), множество ограниченных операторов в гильбертовом пространстве ЧАС, и разреши (K)₁ обозначим пересечение K с единичным шаром B (H).

Теорема Капланского о плотности.^[2] Если ${\displaystyle A}$ является самосопряженной алгеброй операторов в ${\displaystyle B(H)}$, то каждый элемент ${\displaystyle a}$ в единичном шаре сильно-операторного замыкания ${\displaystyle A}$ находится в сильно операторном замыкании единичного шара ${\displaystyle A}$. Другими словами, ${\displaystyle (A)_{1}^{-}=(A^{-})_{1}}$. Если ${\displaystyle h}$ является самосопряженным оператором в ${\displaystyle (A^{-})_{1}}$, тогда ${\displaystyle h}$ находится в сильно-операторном замыкании множества самосопряженных операторов в ${\displaystyle (A)_{1}}$.

Теорема Капланского о плотности может быть использована для формулировки некоторых приближений относительно сильная операторная топология.

1) Если час положительный оператор в (А⁻)₁, тогда час находится в сильно-операторном замыкании множества самосопряженных операторов в (А⁺)₁, куда А⁺ обозначает множество положительных операторов в А.

2) Если А это C * -алгебра действующий в гильбертовом пространстве ЧАС и ты - унитарный оператор в A⁻, тогда ты находится в сильно-операторном замыкании множества унитарных операторов в А.

В теореме плотности и 1) выше результаты также верны, если рассматривать шар радиуса р > 0, вместо единичного шара.

Доказательство

Стандартное доказательство использует тот факт, что ограниченная непрерывная вещественнозначная функция ж сильно операторно непрерывно. Другими словами, для сети {а_α} из самосопряженные операторы в А, то непрерывное функциональное исчисление а → ж(а) удовлетворяет,

${\displaystyle \lim f(a_{\alpha })=f(\lim a_{\alpha })}$

в сильная операторная топология. Это показывает, что самосопряженная часть единичного шара в А⁻ сильно аппроксимируется самосопряженными элементами в А. Матричное вычисление в M₂(А) с учетом самосопряженного оператора с элементами 0 по диагонали и а и а^* в остальных позициях, снимает ограничение самосопряженности и доказывает теорему.

Смотрите также

• Теорема плотности Джекобсона

Примечания

1. Стр. 25; Педерсен, Г.К., C * -алгебры и их группы автоморфизмов, Монографии Лондонского математического общества, ISBN  978-0125494502.
2. Теорема 5.3.5; Ричард Кэдисон, Основы теории операторных алгебр. I: Элементарная теория, Американское математическое общество. ISBN  978-0821808191.

Рекомендации

• Кадисон, Ричард, Основы теории операторных алгебр. I: Элементарная теория, Американское математическое общество. ISBN  978-0821808191.
• В.Ф.Р. Джонс алгебры фон Неймана; неполные заметки из курса.
• М. Такесаки Теория операторных алгебр I ISBN  3-540-42248-X