Эллипсоид Джона - John ellipsoid

Воспроизвести медиа

Внешний эллипсоид Лёвнера-Джона, содержащий набор точек в р²

В математика, то Эллипсоид Джона или же Эллипсоид Лёвнера-Джона E(K) связанный с выпуклое тело K в п-размерный Евклидово пространство р^п можно сослаться на п-размерный эллипсоид максимального объем содержащиеся в K или эллипсоид минимального объема, содержащий K.

Часто эллипсоид минимального объема называют Löwner эллипсоидом, а эллипсоид максимального объема - как эллипсоид Джона (хотя Джон работал с эллипсоидом минимального объема в своей оригинальной статье).^[1] Описанный эллипсоид минимального объема также называют внешний Эллипсоид Лёвнера-Джона а максимальный объем вписанного эллипсоида как внутренний Эллипсоид Лёвнера-Джона.^[2]

Характеристики

Эллипсоид Джона назван в честь немецко-американского математик Фриц Джон, которые в 1948 г. доказали, что каждое выпуклое тело в р^п содержит единственный описанный эллипсоид минимального объема и что расширение этого эллипсоида в 1 /п содержится внутри выпуклого тела.^[3]

Внутренний эллипсоид Лёвнера-Джона E(K) выпуклого тела K ⊂ р^п это закрытый шар B в р^п если и только если B ⊆ K и существует целое число м ≥ п и для я = 1, ..., м, действительные числа c_я > 0 и единичные векторы ты_я ∈ S^п−1 ∩ ∂K такой, что^[4]

${displaystyle sum _{i=1}^{m}c_{i}u_{i}=0}$

и для всех Икс ∈ р^п

${displaystyle x=sum _{i=1}^{m}c_{i}(xcdot u_{i})u_{i}.}$

Приложения

Вычисление эллипсоидов Лёвнера-Джона находит применение в обнаружение столкновения с препятствием для роботизированных систем, где расстояние между роботом и окружающей средой оценивается с использованием наилучшего соответствия эллипсоида.^[5]

Он также имеет приложения в оптимизация портфеля с транзакционными издержками.^[6]

Смотрите также

• Штайнер инеллипс, частный случай внутреннего эллипсоида Лёвнера-Джона для треугольника.
• Жирный объект, относящийся к радиусу наибольшего шарика.

Рекомендации

1. Гюлер, Осман; Гюртуна, Филиз (2012). «Симметрия выпуклых множеств и ее приложения к экстремальным эллипсоидам выпуклых тел». Методы и программное обеспечение оптимизации. 27 (4–5): 735–759. Дои:10.1080/10556788.2011.626037. ISSN  1055-6788.
2. Бен-Тал, А. (2001). Лекции по современной выпуклой оптимизации: анализ, алгоритмы и инженерные приложения. Немировский, Аркадий Семенович. Филадельфия, Пенсильвания: Общество промышленной и прикладной математики. ISBN  0-89871-491-5. OCLC  46538510.
3. Джон, Фриц. «Экстремальные задачи с неравенствами как побочными условиями». Исследования и эссе, подаренные Р. Куранту на его 60-летие, 8 января 1948 г., стр. 187—204. Interscience Publishers, Inc., Нью-Йорк, Нью-Йорк, 1948. OCLC  1871554 МИСТЕР30135
4. Болл, Кейт М. (1992). «Эллипсоиды максимального объема в выпуклых телах». Геом. Dedicata. 41 (2): 241–250. arXiv:математика / 9201217. Дои:10.1007 / BF00182424. ISSN  0046-5755.
5. Римон, Илон; Бойд, Стивен (1997). «Обнаружение столкновений с препятствиями с использованием наилучшего соответствия эллипсоида». Журнал интеллектуальных и робототехнических систем. 18 (2): 105–126. Дои:10.1023 / А: 1007960531949.
6. Шэнь, Вэйвэй; Ван, июнь (2015). «Оптимизация портфеля с учетом транзакционных издержек с помощью быстрого приближения эллипсоида Лёвнера-Джона» (PDF). Материалы двадцать девятой конференции AAAI по искусственному интеллекту (AAAI2015): 1854–1860.

• Гарднер, Ричард Дж. (2002). «Неравенство Брунна-Минковского». Бык. Амер. Математика. Soc. (Н.С.). 39 (3): 355–405 (электронный). Дои:10.1090 / S0273-0979-02-00941-2. ISSN  0273-0979.