Введение в 3-многообразия - Introduction to 3-Manifolds

Введение в 3-многообразия это книга по математике низкоразмерная топология. Это было написано Дженнифер Шультенс и опубликовано Американское математическое общество в 2014 году как 151 том их книжной серии Аспирантура по математике.

Темы

А многообразие - пространство, топология которого вблизи любой из его точек совпадает с топологией около точки Евклидово пространство; однако его глобальная структура может быть неевклидовой. Знакомые примеры двумерных многообразий включают сфера, тор, и Бутылка Клейна; в этой книге основное внимание уделяется трехмерным многообразиям и двумерным поверхностям внутри них. Особое внимание уделяется Расщепление Хегора, двумерная поверхность, разделяющая трехмерное многообразие на два рули. Он нацелен на представление основных идей в этой области, но не включает подробных доказательств многих утвержденных результатов, во многих случаях из-за того, что эти доказательства длинные и технические.[1]

В книге семь глав. Первые два являются вводными и содержат материал о коллекторах в целом, Hauptvermutung доказывая существование и эквивалентность триангуляции для низкоразмерных многообразий классификация двумерных поверхностей, покрытия пространства, а группа классов отображения. Третья глава начинает материал книги о трехмерных многообразиях и о разложении многообразий на более мелкие пространства путем разрезания их вдоль поверхностей. Например, трехмерный Теорема Шенфлиса утверждает, что разрезание евклидова пространства сферой может дать только два топологических шара; аналогичная теорема Дж. В. Александер утверждает, что по крайней мере одна сторона любого тора в евклидовом пространстве должна быть полноторие. Однако для более сложных коллекторов сокращение несжимаемые поверхности можно использовать для построения Разложение JSJ многообразия. В эту главу также включены материалы по Расслоения Зейферта. Глава четвертая. теория узлов, инварианты узлов, тонкое положение, а связь узлов и их инвариантов с многообразиями через узел дополняет, подпространства евклидова пространства по разные стороны торов.[1][2]

Рецензент Бруно Циммерманн называет главы 5 и 6 «сердцем книги»,[1] хотя рецензент Майкл Берг с этим не согласен, считая главу 4 о теории узлов более важной.[3] Глава 5 обсуждает нормальные поверхности, поверхности, контролируемым образом пересекающие тетраэдры триангуляции многообразия. Параметризуя эти поверхности тем, сколько частей каждого возможного типа они могут иметь в каждом тетраэдре триангуляции, можно свести многие вопросы о многообразиях, такие как распознавание тривиальных узлов и тривиальных многообразий, к вопросам в теория чисел, о существовании решений некоторых Диофантовы уравнения. В книге этот инструмент используется для доказательства существования и уникальности простые разложения многообразий. Глава 6 проблемы Расколы Heegaard, поверхности, которые разбивают данное многообразие на два рули. Он включает в себя теорему Райдемейстера и Зингера об общих уточнениях («стабилизациях») расщеплений Хегора, сводимости расщеплений, уникальности расщеплений данного рода для евклидова пространства, а также график Рубинштейна – Шарлемана, инструмент для изучения расщеплений Хегора. .[1][2]

В последней главе рассматриваются более сложные темы, включая гипотеза геометризации, Хирургия Дена, слоения, расслоения, и кривые комплексы.[1][2]Есть два приложения на общая позиция и Теория Морса.[4]

Аудитория и прием

Несмотря на то, что эта книга написана в виде учебника для выпускников вводного уровня, в ней представлены многие последние разработки, что делает ее также интересной для специалистов в этой области.[1][2] Небольшой фон в общая топология необходимо, и дополнительное знакомство с алгебраическая топология и дифференциальная геометрия может быть полезно при чтении книги.[2][4] Включено множество иллюстраций и упражнений.[4]

Рецензент Бруно Циммерманн утверждает, что книга «написана красиво и интуитивно понятно, поэтому ее приятно читать».[1] Рецензент Майкл Берг называет ее «отличной книгой, которая богато иллюстрирует объем выбранной ею темы ... очень хорошо написана, ясна и ясна в изложении».[3]

Связанное чтение

Другие связанные книги по математике 3-многообразий включают 3-х коллектор Дж. Хемпелем (1976), Узлы, звенья, косы и 3-многообразия Прасолова и Сосинского (1997), Алгоритмическая топология и классификация трехмерных многообразий С.В.Матвеева (2-е изд., 2007 г.), а также сборник неопубликованных конспектов лекций о трехмерных многообразиях. Аллен Хэтчер.[2]

Рекомендации

  1. ^ а б c d е ж грамм Циммерманн, Бруно, "Обзор Введение в 3-многообразия", zbMATH, Zbl  1295.57001
  2. ^ а б c d е ж Перселл, Джессика С., "Обзор Введение в 3-многообразия", Математические обзоры, МИСТЕР  3203728
  3. ^ а б Берг, Майкл (июль 2014 г.), "Обзор Введение в 3-многообразия", Обзоры MAA, Математическая ассоциация Америки
  4. ^ а б c Кэп, А. (сентябрь 2016 г.), "Обзор Введение в 3-многообразия", Monatshefte für Mathematik, 181 (3): 751–752, Дои:10.1007 / s00605-016-0971-4