Ряд Гильберта и многочлен Гильберта - Hilbert series and Hilbert polynomial

В коммутативная алгебра, то Функция Гильберта, то Полином Гильберта, а Ряд Гильберта из градуированная коммутативная алгебра конечно порожден над поле - три тесно связанных понятия, которые измеряют рост размерности однородных компонентов алгебры.

Эти понятия были распространены на фильтрованные алгебры, и оцененные или отфильтрованные модули над этими алгебрами, а также когерентные пучки над проективные схемы.

Типичные ситуации, в которых используются эти понятия, следующие:

• Фактор по однородной идеальный из многомерный полином звенеть, оцененные по общей степени.
• Фактор по идеалу многомерного кольца многочленов, отфильтрованный по полной степени.
• Фильтрация местное кольцо полномочиями своего максимальный идеал. В этом случае многочлен Гильберта называется Многочлен Гильберта – Самуэля.

В Гильберта серия алгебры или модуля является частным случаем Ряд Гильберта – Пуанкаре из градуированное векторное пространство.

Многочлен Гильберта и ряды Гильберта важны в вычислительной алгебраическая геометрия, поскольку они представляют собой самый простой из известных способов вычисления размерности и степени алгебраического многообразия, определяемого явными полиномиальными уравнениями. Кроме того, они предоставляют полезные инварианты для семейств алгебраических многообразий, поскольку плоское семейство ${displaystyle pi :X o S}$ имеет тот же многочлен Гильберта над любой замкнутой точкой ${displaystyle sin S}$. Это используется при построении Схема гильберта и Схема котировки.

Определения и основные свойства

Рассмотрим конечно порожденный градуированная коммутативная алгебра S через поле K, который конечно порожден элементами положительной степени. Это означает, что

${displaystyle S=igoplus _{igeq 0}S_{i}}$

и это ${displaystyle S_{0}=K}$.

Функция Гильберта

${displaystyle HF_{S}:nlongmapsto dim _{K}S_{n}}$

отображает целое число п на измерение K-векторное пространство S_п. Ряд Гильберта, который называется Ряд Гильберта – Пуанкаре в более общем контексте градуированных векторных пространств формальная серия

${displaystyle HS_{S}(t)=sum _{n=0}^{infty }HF_{S}(n)t^{n}.}$

Если S генерируется час однородные элементы положительных степеней ${displaystyle d_{1},ldots ,d_{h}}$, то сумма ряда Гильберта является рациональной дробью

${displaystyle HS_{S}(t)={frac {Q(t)}{prod _{i=1}^{h}left(1-t^{d_{i}}ight)}},}$

куда Q - многочлен с целыми коэффициентами.

Если S порождается элементами степени 1, то сумму ряда Гильберта можно переписать в виде

${displaystyle HS_{S}(t)={frac {P(t)}{(1-t)^{delta }}},}$

куда п - многочлен с целыми коэффициентами, а ${displaystyle delta }$ это Измерение Крулля из S.

В этом случае разложение этой рациональной дроби в ряд будет

${displaystyle HS_{S}(t)=P(t)left(1+delta t+cdots +{inom {n+delta -1}{delta -1}}t^{n}+cdots ight)}$

куда

${displaystyle {inom {n+delta -1}{delta -1}}={frac {(n+delta -1)(n+delta -2)cdots (n+1)}{(delta -1)!}}}$

это биномиальный коэффициент за ${displaystyle n>-delta ,}$ и 0 в противном случае.

Если

${displaystyle P(t)=sum _{i=0}^{d}a_{i}t^{i},}$

коэффициент ${displaystyle t^{n}}$ в ${displaystyle HS_{S}(t)}$ таким образом

${displaystyle HF_{S}(n)=sum _{i=0}^{d}a_{i}{inom {n-i+delta -1}{delta -1}}.}$

За ${displaystyle ngeq i-delta +1,}$ срок индекса я в этой сумме есть многочлен от п степени ${displaystyle delta -1}$ с ведущим коэффициентом ${displaystyle a_{i}/(delta -1)!.}$ Это показывает, что существует единственный многочлен ${displaystyle HP_{S}(n)}$ с рациональными коэффициентами, равными ${displaystyle HF_{S}(n)}$ за п достаточно большой. Этот полином является Полином Гильберта, и имеет вид

${displaystyle HP_{S}(n)={frac {P(1)}{(delta -1)!}}n^{delta -1}+{ ext{ terms of lower degree in }}n.}$

В мере п₀ такой, что ${displaystyle HP_{S}(n)=HF_{S}(n)}$ за п ≥ п₀ называется Гильбертова регулярность. Это может быть меньше чем ${displaystyle deg P-delta +1}$.

Многочлен Гильберта - это числовой полином, поскольку размерности целые, но многочлен почти никогда не имеет целочисленных коэффициентов (Шенк 2003, стр.41).

Все эти определения можно распространить на конечно порожденные градуированные модули над S, с той лишь разницей, что фактор т^м входит в серию Гильберта, где м - минимальная степень образующих модуля, которая может быть отрицательной.

В Функция Гильберта, то Ряд Гильберта и Полином Гильберта из фильтрованная алгебра принадлежат связанной градуированной алгебре.

Многочлен Гильберта проективное разнообразие V в п^п определяется как полином Гильберта однородное координатное кольцо из V.

Градуированная алгебра и кольца многочленов

Кольца многочленов и их факторы по однородным идеалам являются типичными градуированными алгебрами. Наоборот, если S является градуированной алгеброй, порожденной над полем K к п однородные элементы грамм₁, ..., грамм_п степени 1, то карта, отправляющая Икс_я на грамм_я определяет гомоморфизм градуированных колец из ${displaystyle R_{n}=K[X_{1},ldots ,X_{n}]}$ на S. Его ядро однородный идеал я и это определяет изоморфизм градуированной алгебры между ${displaystyle R_{n}/I}$ и S.

Таким образом, градуированные алгебры, порожденные элементами степени 1, являются с точностью до изоморфизма факторами колец полиномов по однородным идеалам. Поэтому в оставшейся части статьи мы ограничимся факторами колец многочленов по идеалам.

Свойства ряда Гильберта

Аддитивность

Ряды Гильберта и полином Гильберта аддитивны относительно точные последовательности. Точнее, если

${displaystyle 0;ightarrow ;A;ightarrow ;B;ightarrow ;C;ightarrow ;0}$

является точной последовательностью градуированных или отфильтрованных модулей, то мы имеем

${displaystyle HS_{B}=HS_{A}+HS_{C}}$

и

${displaystyle HP_{B}=HP_{A}+HP_{C}.}$

Это сразу следует из того же свойства размерности векторных пространств.

Фактор по ненулевому делителю

Позволять А быть градуированной алгеброй и ж однородный элемент степени d в А что не делитель нуля. Тогда у нас есть

${displaystyle HS_{A/(f)}(t)=(1-t^{d}),HS_{A}(t),.}$

Из аддитивности на точной последовательности

${displaystyle 0;ightarrow ;A^{[d]};{xrightarrow {f}};A;ightarrow ;A/fightarrow ;0,,}$

где стрелка с надписью ж это умножение на ж, и ${displaystyle A^{[d]}}$ это градуированный модуль, который получается из А сдвигая градусы на d, чтобы умножение на ж имеет степень 0. Отсюда следует, что ${displaystyle HS_{A^{[d]}}(t)=t^{d},HS_{A}(t),.}$

Ряды Гильберта и многочлен Гильберта кольца многочленов

Ряд Гильберта кольца многочленов ${displaystyle R_{n}=K[x_{1},ldots ,x_{n}]}$ в ${displaystyle n}$ неопределенный

${displaystyle HS_{R_{n}}(t)={frac {1}{(1-t)^{n}}},.}$

Отсюда следует, что многочлен Гильберта равен

${displaystyle HP_{R_{n}}(k)={{k+n-1} choose {n-1}}={frac {(k+1)cdots (k+n-1)}{(n-1)!}},.}$

Доказательство того, что ряд Гильберта имеет такой простой вид, получается путем рекурсивного применения предыдущей формулы для отношения по ненулевому делителю (здесь ${displaystyle x_{n}}$) и отмечая, что ${displaystyle HS_{K}(t)=1,.}$

Форма ряда Гильберта и размерность

Градуированная алгебра А порожденная однородными элементами степени 1 имеет Измерение Крулля нулю, если максимальный однородный идеал, то есть идеал, порожденный однородными элементами степени 1, равен нильпотентный. Это означает, что размерность А как K-векторное пространство конечно и ряд Гильберта А это многочлен п(т) такой, что п(1) равен размерности А как K-векторное пространство.

Если размерность Крулля А положительна, имеется однородный элемент ж степени один, который не является делителем нуля (фактически почти все элементы степени один обладают этим свойством). Измерение Крулля А/(е) размерность Крулля А минус один.

Аддитивность рядов Гильберта показывает, что ${displaystyle HS_{A/(f)}(t)=(1-t),HS_{A}(t)}$. Повторяя это количество раз, равное размерности Крулля А, в конечном итоге мы получим алгебру размерности 0, ряд Гильберта которой является полиномом п(т). Это показывает, что ряд Гильберта А является

${displaystyle HS_{A}(t)={frac {P(t)}{(1-t)^{d}}}}$

где многочлен п(т) таково, что п(1) ≠ 0 и d размерность Крулля А.

Из этой формулы для ряда Гильберта следует, что степень полинома Гильберта равна d, и что его старший коэффициент равен ${displaystyle {frac {P(1)}{d!}}}$.

Степень проективного многообразия и теорема Безу

Ряд Гильберта позволяет вычислить степень алгебраического многообразия как значение в числителе ряда Гильберта. Это также дает довольно простое доказательство того, что Теорема Безу.

Для демонстрации взаимосвязи между степенью проективное алгебраическое множество и ряд Гильберта рассмотрим проективное алгебраическое множество V, определяемый как множество нулей однородный идеал ${displaystyle Isubset k[x_{0},x_{1},ldots ,x_{n}]}$, куда k поле, и пусть ${displaystyle R=k[x_{0},ldots ,x_{n}]/I}$ быть кольцом регулярные функции на алгебраическом множестве.

В этом разделе не требуется ни неприводимости алгебраических множеств, ни простоты идеалов. Кроме того, поскольку ряды Гильберта не изменяются за счет расширения поля коэффициентов, поле k предполагается, без ограничения общности, алгебраически замкнутым.

Измерение d из V равно Измерение Крулля минус один из р, а степень V - количество точек пересечения, считаемое с кратностями, V с пересечением ${displaystyle d}$ гиперплоскости в общая позиция. Это подразумевает существование в р, из регулярная последовательность ${displaystyle h_{0},ldots ,h_{d}}$ из d + 1 однородные полиномы первой степени. Из определения регулярной последовательности следует существование точных последовательностей

${displaystyle 0longrightarrow left(R/langle h_{0},ldots ,h_{k-1}angle ight)^{[1]}{stackrel {h_{k}}{longrightarrow }}R/langle h_{1},ldots ,h_{k-1}angle longrightarrow R/langle h_{1},ldots ,h_{k}angle longrightarrow 0,}$

за ${displaystyle k=0,ldots ,d.}$ Отсюда следует, что

${displaystyle HS_{R/langle h_{0},ldots ,h_{d-1}angle }(t)=(1-t)^{d},HS_{R}(t)={frac {P(t)}{1-t}},}$

куда ${displaystyle P(t)}$ является числителем ряда Гильберта р.

Кольцо ${displaystyle R_{1}=R/langle h_{0},ldots ,h_{d-1}angle }$ имеет размерность Крулля один и является кольцом регулярных функций проективного алгебраического множества ${displaystyle V_{0}}$ размерности 0, состоящий из конечного числа точек, которые могут быть кратными. В качестве ${displaystyle h_{d}}$ принадлежит регулярной последовательности, ни одна из этих точек не принадлежит гиперплоскости уравнения ${displaystyle h_{d}=0.}$ Дополнением к этой гиперплоскости является аффинное пространство который содержит ${displaystyle V_{0}.}$ Это делает ${displaystyle V_{0}}$ ан аффинное алгебраическое множество, у которого есть ${displaystyle R_{0}=R_{1}/langle h_{d}-1angle }$ как кольцо регулярных функций. Линейный полином ${displaystyle h_{d}-1}$ не является делителем нуля в ${displaystyle R_{1},}$ и, таким образом, получается точная последовательность

${displaystyle 0longrightarrow R_{1}{stackrel {h_{d}-1}{longrightarrow }}R_{1}longrightarrow R_{0}longrightarrow 0,}$

откуда следует, что

${displaystyle HS_{R_{0}}(t)=(1-t)HS_{R_{1}}(t)=P(t).}$

Здесь мы используем Ряды Гильберта фильтрованных алгебр, и тот факт, что ряд Гильберта градуированной алгебры также является ее рядом Гильберта как фильтрованной алгебры.

Таким образом ${displaystyle R_{0}}$ является Артинианское кольцо, что является k-векторное пространство измерения п(1), и Теорема Жордана – Гёльдера может использоваться для доказательства того, что п(1) - степень алгебраического множества V. Фактически, кратность точки - это количество вхождений соответствующего максимального идеала в серия композиций.

Для доказательства теоремы Безу можно поступить аналогично. Если ${displaystyle f}$ является однородным многочленом степени ${displaystyle delta }$, который не является делителем нуля в р, точная последовательность

${displaystyle 0longrightarrow R^{[delta ]}{stackrel {f}{longrightarrow }}Rlongrightarrow R/langle fangle longrightarrow 0,}$

показывает, что

${displaystyle HS_{R/langle fangle }(t)=left(1-t^{delta }ight)HS_{R}(t).}$

Если посмотреть на числители, это доказывает следующее обобщение теоремы Безу:

Теорема - Если ж является однородным многочленом степени ${displaystyle delta }$, который не является делителем нуля в р, то степень пересечения V с гиперповерхностью, определяемой ${displaystyle f}$ это произведение степени V к ${displaystyle delta .}$

В более геометрической форме это можно переформулировать так:

Теорема - Если проективная гиперповерхность степени d не содержит неприводимая составляющая алгебраического множества степени δ, то степень их пересечения равна dδ.

Обычная теорема Безу легко выводится, если начать с гиперповерхности и пересечь ее с п − 1 другие гиперповерхности, одна за другой.

Полное пересечение

Проективное алгебраическое множество - это полное пересечение если его определяющий идеал порождается регулярная последовательность. В этом случае существует простая явная формула для ряда Гильберта.

Позволять ${displaystyle f_{1},ldots ,f_{k}}$ быть k однородные многочлены от ${displaystyle R=K[x_{1},ldots ,x_{n}]}$, соответствующих степеней ${displaystyle delta _{1},ldots ,delta _{k}.}$ Параметр ${displaystyle R_{i}=R/langle f_{1},ldots ,f_{i}angle ,}$ есть следующие точные последовательности

${displaystyle 0;ightarrow ;R_{i-1}^{[delta _{i}]};{xrightarrow {f_{i}}};R_{i-1};ightarrow ;R_{i};ightarrow ;0,.}$

Из аддитивности рядов Гильберта следует, таким образом,

${displaystyle HS_{R_{i}}(t)=(1-t^{delta _{i}})HS_{R_{i-1}}(t),.}$

Простая рекурсия дает

${displaystyle HS_{R_{k}}(t)={frac {(1-t^{delta _{1}})cdots (1-t^{delta _{k}})}{(1-t)^{n}}}={frac {(1+t+cdots +t^{delta _{1}})cdots (1+t+cdots +t^{delta _{k}})}{(1-t)^{n-k}}},.}$

Это показывает, что полное пересечение, определяемое регулярной последовательностью k многочлены имеет коразмерность k, и что его степень является произведением степеней многочленов в последовательности.

Связь со свободными разрешениями

Каждый оцениваемый модуль M более оцененный обычное кольцо р имеет оценку бесплатное разрешение, то есть существует точная последовательность

${displaystyle 0 o L_{k} o cdots o L_{1} o M o 0,}$

где ${displaystyle L_{i}}$ оцениваются бесплатные модули, а стрелки градуированные линейные карты нулевой степени.

Из аддитивности рядов Гильберта следует, что

${displaystyle HS_{M}(t)=sum _{i=1}^{k}(-1)^{i-1}HS_{L_{i}}(t).}$

Если ${displaystyle R=k[x_{1},ldots ,x_{n}]}$ является полиномиальным кольцом, и если известны степени базисных элементов ${displaystyle L_{i},}$ то формулы предыдущих разделов позволяют вывести ${displaystyle HS_{M}(t)}$ из ${displaystyle HS_{R}(t)=1/(1-t)^{n}.}$ Фактически из этих формул следует, что если градуированный свободный модуль L имеет основу час однородные элементы степеней ${displaystyle delta _{1},ldots ,delta _{h},}$ то его ряд Гильберта равен

${displaystyle HS_{L}(t)={frac {t^{delta _{1}}+cdots +t^{delta _{h}}}{(1-t)^{n}}}.}$

Эти формулы можно рассматривать как способ вычисления рядов Гильберта. Это бывает редко, поскольку в известных алгоритмах вычисление ряда Гильберта и вычисление свободного разрешения начинаются с одного и того же Основа Грёбнера, из которого ряд Гильберта может быть непосредственно вычислен с вычислительная сложность что не выше, чем сложность вычисления свободного разрешения.

Вычисление рядов Гильберта и полиномов Гильберта

Многочлен Гильберта легко выводится из ряда Гильберта (см. над ). В этом разделе описывается, как можно вычислить ряд Гильберта в случае частного кольца многочленов, отфильтрованного или градуированного по общей степени.

Итак, пусть K поле, ${displaystyle R=K[x_{1},ldots ,x_{n}]}$ кольцо многочленов и я быть идеалом в р. Позволять ЧАС - однородный идеал, порожденный однородными частями высшей степени элементов я. Если я однородна, то ЧАС=я. Наконец позвольте B быть Основа Грёбнера из я для мономиальный порядок уточнение общая степень частичный заказ и грамм (однородный) идеал, порожденный старшими одночленами элементов B.

Вычисление ряда Гильберта основано на том факте, что фильтрованная алгебра R / I и градуированные алгебры R / H и R / G имеют один и тот же ряд Гильберта.

Таким образом, вычисление ряда Гильберта сводится посредством вычисления базиса Грёбнера к той же задаче для идеала, порожденного мономами, что обычно намного проще, чем вычисление базиса Грёбнера. В вычислительная сложность всего вычисления зависит в основном от регулярности, которая является степенью числителя ряда Гильберта. Фактически базис Грёбнера может быть вычислен линейной алгеброй над многочленами степени, ограниченной регулярностью.

Вычисление рядов Гильберта и многочленов Гильберта доступно в большинстве системы компьютерной алгебры. Например, в обоих Клен и Магма эти функции названы HilbertSeries и ГильбертПолином.

Обобщение на когерентные пучки

В алгебраическая геометрия, градуированные кольца, порожденные элементами степени 1, дают проективные схемы к Строительство проекта а конечно порожденные градуированные модули соответствуют когерентным пучкам. Если ${displaystyle {mathcal {F}}}$ это связный пучок по проективной схеме Икс, определим полином Гильберта ${displaystyle {mathcal {F}}}$ как функция ${displaystyle p_{mathcal {F}}(m)=chi (X,{mathcal {F}}(m))}$, куда χ это Эйлерова характеристика связного пучка и ${displaystyle {mathcal {F}}(m)}$ а Серр твист. Эйлерова характеристика в этом случае является точно определенным числом по формуле Теорема Гротендика о конечности.

Эта функция действительно является полиномом.^[1] Для больших м это согласуется с тусклым ${displaystyle H^{0}(X,{mathcal {F}}(m))}$ к Теорема об исчезновении Серра. Если M - конечно порожденный градуированный модуль и ${displaystyle { ilde {M}}}$ связанного когерентного пучка два определения полинома Гильберта совпадают.

Градуированные бесплатные разрешения

Поскольку категория когерентных пучков на проективном многообразии ${displaystyle X}$ эквивалентно категории градуированных модулей по модулю конечного числа градуированных частей, мы можем использовать результаты предыдущего раздела для построения многочленов Гильберта когерентных пучков. Например, полное пересечение ${displaystyle X}$ многоступенчатого ${displaystyle (d_{1},d_{2})}$ имеет разрешение

${displaystyle 0 o {mathcal {O}}_{mathbb {P} ^{n}}(-d_{1}-d_{2}){xrightarrow {egin{bmatrix}f_{2}-f_{1}end{bmatrix}}}{mathcal {O}}_{mathbb {P} ^{n}}(-d_{1})oplus {mathcal {O}}_{mathbb {P} ^{n}}(-d_{2}){xrightarrow {egin{bmatrix}f_{1}&f_{2}end{bmatrix}}}{mathcal {O}}_{mathbb {P} ^{n}} o {mathcal {O}}_{X} o 0}$

Смотрите также

• Регулярность Кастельнуово – Мамфорда.
• Схема гильберта
• Схема котировки

Рекомендации

1. Рави Вакил (2015). Основы алгебраической геометрии (PDF)., Теорема 18.6.1

• Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра. С точки зрения алгебраической геометрии, Тексты для выпускников по математике, 150, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-1-4612-5350-1, ISBN  0-387-94268-8, МИСТЕР  1322960.
• Шенк, Хэл (2003), Вычислительная алгебраическая геометрия, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, CiteSeerX  10.1.1.57.7472, ISBN  978-0-521-53650-9, МИСТЕР  0011360
• Стэнли, Ричард (1978), "Функции Гильберта градуированных алгебр", Успехи в математике, 28 (1), стр. 57–83, Дои:10.1016/0001-8708(78)90045-2, МИСТЕР  0485835.