Теорема проекции Гильберта - Hilbert projection theorem

В математике Теорема проекции Гильберта это известный результат выпуклый анализ это говорит, что для каждого вектора ${\displaystyle x}$ в Гильбертово пространство ${\displaystyle H}$ и все непустые замкнутые выпуклые ${\displaystyle C\subset H}$, существует единственный вектор ${\displaystyle y\in C}$ для которого ${\displaystyle \lVert x-z\rVert }$ минимизируется по векторам ${\displaystyle z\in C}$.

Это, в частности, верно для любого замкнутого подпространства ${\displaystyle M}$ из ${\displaystyle H}$. В этом случае необходимо и достаточное условие для ${\displaystyle y}$ в том, что вектор ${\displaystyle x-y}$ быть ортогональным ${\displaystyle M}$.

Доказательство

• Покажем существование у:

Пусть δ - расстояние между Икс и C, (у_п) последовательность в C так что квадрат расстояния между Икс и у_п меньше или равно δ² + 1/п. Позволять п и м быть двумя целыми числами, то выполняются следующие равенства:

${\displaystyle \|y_{n}-y_{m}\|^{2}=\|y_{n}-x\|^{2}+\|y_{m}-x\|^{2}-2\langle y_{n}-x\,,\,y_{m}-x\rangle }$

и

${\displaystyle 4\left\|{\frac {y_{n}+y_{m}}{2}}-x\right\|^{2}=\|y_{n}-x\|^{2}+\|y_{m}-x\|^{2}+2\langle y_{n}-x\,,\,y_{m}-x\rangle }$

Таким образом, мы имеем:

${\displaystyle \|y_{n}-y_{m}\|^{2}=2\|y_{n}-x\|^{2}+2\|y_{m}-x\|^{2}-4\left\|{\frac {y_{n}+y_{m}}{2}}-x\right\|^{2}}$

(Напомним формулу для медианы в треугольнике - Median_ (geometry) # Formulas_involving_the_medians'_lengths ) Оценив сверху первые два члена равенства и заметив, что середина у_п и у_м принадлежать C и поэтому имеет расстояние больше или равно δ из Икс, получается:

${\displaystyle \|y_{n}-y_{m}\|^{2}\;\leq \;2\left(\delta ^{2}+{\frac {1}{n}}\right)+2\left(\delta ^{2}+{\frac {1}{m}}\right)-4\delta ^{2}=2\left({\frac {1}{n}}+{\frac {1}{m}}\right)}$

Последнее неравенство доказывает, что (у_п) это Последовательность Коши. С C полная, поэтому последовательность сходится к точке у в C, расстояние от которого Икс минимально.

• Покажем уникальность у :

Позволять у₁ и у₂ быть двумя минимизаторами. Потом:

${\displaystyle \|y_{2}-y_{1}\|^{2}=2\|y_{1}-x\|^{2}+2\|y_{2}-x\|^{2}-4\left\|{\frac {y_{1}+y_{2}}{2}}-x\right\|^{2}}$

С ${\displaystyle {\frac {y_{1}+y_{2}}{2}}}$ принадлежит C, у нас есть ${\displaystyle \left\|{\frac {y_{1}+y_{2}}{2}}-x\right\|^{2}\geq \delta ^{2}}$ и поэтому

${\displaystyle \|y_{2}-y_{1}\|^{2}\leq 2\delta ^{2}+2\delta ^{2}-4\delta ^{2}=0\,}$

Следовательно ${\displaystyle y_{1}=y_{2}}$, что доказывает уникальность.

• Покажем эквивалентное условие на у когда C = M - замкнутое подпространство.

Достаточно условия: пусть ${\displaystyle z\in M}$ такой, что ${\displaystyle \langle z-x,a\rangle =0}$ для всех ${\displaystyle a\in M}$.${\displaystyle \|x-a\|^{2}=\|z-x\|^{2}+\|a-z\|^{2}+2\langle z-x,a-z\rangle =\|z-x\|^{2}+\|a-z\|^{2}}$ что доказывает, что ${\displaystyle z}$ это минимизатор.

Необходимо условие: Пусть ${\displaystyle y\in M}$ быть минимизатором. Позволять ${\displaystyle a\in M}$ и ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$.

${\displaystyle \|(y+ta)-x\|^{2}-\|y-x\|^{2}=2t\langle y-x,a\rangle +t^{2}\|a\|^{2}=2t\langle y-x,a\rangle +O(t^{2})}$

всегда неотрицательно. Следовательно, ${\displaystyle \langle y-x,a\rangle =0.}$

QED

Рекомендации

• Вальтер Рудин, Реальный и комплексный анализ. Третье издание, 1987.

Смотрите также

• Принцип ортогональности