Гипотеза Герцога – Шёнхейма - Herzog–Schönheim conjecture

В математика, то Гипотеза Герцога – Шёнхейма комбинаторная задача в области теория групп, поставленная Марселем Херцогом и Йохананом Шёнхаймом в 1974 году.^[1]

Позволять ${\displaystyle G}$ быть группа, и разреши

${\displaystyle A=\{a_{1}G_{1},\ \ldots ,\ a_{k}G_{k}\}}$

конечная система левых смежные классы из подгруппы${\displaystyle G_{1},\ldots ,G_{k}}$ из ${\displaystyle G}$.

Герцог и Шёнхайм предположили, что если ${\displaystyle A}$ образует раздел из ${\displaystyle G}$ с ${\displaystyle k>1}$, то (конечные) индексы ${\displaystyle [G:G_{1}],\ldots ,[G:G_{k}]}$ не может быть отличным. Напротив, если разрешены повторяющиеся индексы, тогда разбить группу на смежные классы легко: если ${\displaystyle H}$ любая подгруппа ${\displaystyle G}$с индекс ${\displaystyle k=[G:H]<\infty }$ тогда ${\displaystyle G}$ можно разделить на ${\displaystyle k}$ левые классы ${\displaystyle H}$.

Субнормальные подгруппы

В 2004 г. Чжи-Вэй Сунь доказал расширенную версию гипотезы Герцога – Шёнхейма в случае, когда ${\displaystyle G_{1},\ldots ,G_{k}}$ находятся субнормальный в ${\displaystyle G}$.^[2] Основная лемма в доказательстве Сана утверждает, что если ${\displaystyle G_{1},\ldots ,G_{k}}$ субнормальны и имеют конечный индекс в ${\displaystyle G}$, тогда

${\displaystyle {\bigg [}G:\bigcap _{i=1}^{k}G_{i}{\bigg ]}\ {\bigg |}\ \prod _{i=1}^{k}[G:G_{i}]}$

и поэтому

${\displaystyle P{\bigg (}{\bigg [}G:\bigcap _{i=1}^{k}G_{i}{\bigg ]}\ {\bigg )}=\bigcup _{i=1}^{k}P([G:G_{i}]),}$

куда ${\displaystyle P(n)}$ обозначает набор основнойделители из ${\displaystyle n}$.

Теорема Мирского – Ньюмана

Когда ${\displaystyle G}$ аддитивная группа ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ целых чисел, смежные классы ${\displaystyle G}$ являются арифметические прогрессии В этом случае гипотеза Герцога – Шёнхейма утверждает, что каждое система покрытия, семейство арифметических прогрессий, которые вместе покрывают все целые числа, должны либо покрывать некоторые целые числа более одного раза, либо включать по крайней мере одну пару последовательностей, которые имеют одинаковую разницу между собой. Этот результат был предположен в 1950 г. Пол Эрдёш и вскоре после этого было доказано Леон Мирский и Дональд Дж. Ньюман. Однако Мирский и Ньюман так и не опубликовали свое доказательство. Это же доказательство было независимо найдено Гарольд Давенпорт и Ричард Радо.^[3]

В 1970 году на советской математической олимпиаде была поставлена ​​задача геометрической раскраски, эквивалентная теореме Мирского – Ньюмана: предположим, что вершины правильный многоугольник раскрашены таким образом, что каждый цветовой класс сам образует вершины правильного многоугольника. Затем существуют два цветовых класса, которые образуют конгруэнтные многоугольники.^[3]

Рекомендации

1. Herzog, M .; Schönheim, J. (1974), "Исследовательская проблема № 9", Канадский математический бюллетень, 17: 150. Как цитирует Солнце (2004).
2. Сунь, Чжи-Вэй (2004), «О гипотезе Герцога-Шёнхейма для равномерных покрытий групп», Журнал алгебры, 273 (1): 153–175, arXiv:математика / 0306099, Дои:10.1016 / S0021-8693 (03) 00526-X, МИСТЕР  2032455.
3. Сойфер Александр (2008), «Глава 1. История цветных многоугольников и арифметических прогрессий», Математическая книжка-раскраска: математика раскраски и красочная жизнь ее создателей, Нью-Йорк: Springer, стр. 1–9, ISBN  978-0-387-74640-1.