Вейвлет Хаара - Haar wavelet

Вейвлет Хаара

В математике Вейвлет Хаара представляет собой последовательность масштабированных "квадратных" функций, которые вместе образуют вейвлет семья или основа. Вейвлет-анализ похож на Анализ Фурье в том, что он позволяет представить целевую функцию в интервале в виде ортонормированный базис. Последовательность Хаара теперь признана первой известной основой вейвлетов и широко используется в качестве обучающего примера.

В Последовательность Хаара был предложен в 1909 г. Альфред Хаар.^[1] Хаар использовал эти функции, чтобы дать пример ортонормированной системы для пространства квадратично интегрируемые функции на единичный интервал [0, 1]. Изучение вейвлетов и даже термина «вейвлет» появилось гораздо позже. Как частный случай Вейвлет Добеши, вейвлет Хаара также известен как Db1.

Вейвлет Хаара также является самым простым из возможных вейвлетов. Технический недостаток вейвлета Хаара заключается в том, что он не непрерывный, и поэтому не дифференцируемый. Однако это свойство может быть преимуществом для анализа сигналов с внезапными переходами, например, для контроля отказа инструмента в станках.^[2]

Материнская вейвлет-функция вейвлета Хаара ${\displaystyle \psi (t)}$ можно описать как

${\displaystyle \psi (t)={\begin{cases}1\quad &0\leq t<{\frac {1}{2}},\\-1&{\frac {1}{2}}\leq t<1,\\0&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

Его функция масштабирования ${\displaystyle \varphi (t)}$ можно описать как

${\displaystyle \varphi (t)={\begin{cases}1\quad &0\leq t<1,\\0&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

Функции Хаара и система Хаара

Для каждой пары п, k целых чисел в Z, то Функция Хаара ψ_п,k определяется на реальная линия р по формуле

${\displaystyle \psi _{n,k}(t)=2^{n/2}\psi (2^{n}t-k),\quad t\in \mathbf {R} .}$

Эта функция поддерживается на право-открытый интервал я_п,k = [ k2^−п, (k+1)2^−п), т.е., Это исчезает вне этого интервала. Он имеет интеграл 0 и норму 1 в Гильбертово пространство  L²(р),

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} }\psi _{n,k}(t)\,dt=0,\quad \|\psi _{n,k}\|_{L^{2}(\mathbf {R} )}^{2}=\int _{\mathbf {R} }\psi _{n,k}(t)^{2}\,dt=1.}$

Функции Хаара попарно ортогональный,

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} }\psi _{n_{1},k_{1}}(t)\psi _{n_{2},k_{2}}(t)\,dt=\delta _{n_{1},n_{2}}\delta _{k_{1},k_{2}},}$

куда δ_я,j представляет Дельта Кронекера. Вот причина ортогональности: когда два опорных интервала ${\displaystyle I_{n_{1},k_{1}}}$ и ${\displaystyle I_{n_{2},k_{2}}}$ не равны, то они либо не пересекаются, либо меньшая из двух опор, скажем ${\displaystyle I_{n_{1},k_{1}}}$, содержится в нижней или верхней половине другого интервала, на котором функция ${\displaystyle \psi _{n_{2},k_{2}}}$ остается постоянным. В этом случае следует, что произведение этих двух функций Хаара кратно первой функции Хаара, следовательно, произведение имеет интеграл 0.

В Система Хаара на реальной линии - набор функций

${\displaystyle \{\psi _{n,k}(t)\;;\;n\in \mathbf {Z} ,\;k\in \mathbf {Z} \}.}$

это полный в L²(р): Система Хаара на прямой является ортонормированным базисом в L²(р).

Свойства вейвлетов Хаара

Вейвлет Хаара имеет несколько примечательных свойств:

1. Любую непрерывную вещественную функцию с компактным носителем можно равномерно аппроксимировать формулой линейные комбинации из ${\displaystyle \varphi (t),\varphi (2t),\varphi (4t),\dots ,\varphi (2^{n}t),\dots }$ и их смещенные функции. Это распространяется на те функциональные пространства, где любую функцию в нем можно аппроксимировать непрерывными функциями.
2. Любую непрерывную действительную функцию на [0, 1] можно равномерно аппроксимировать на [0, 1] линейными комбинациями постоянной функции1, ${\displaystyle \psi (t),\psi (2t),\psi (4t),\dots ,\psi (2^{n}t),\dots }$ и их смещенные функции.^[3]
3. Ортогональность в виде

    ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }2^{(n+n_{1})/2}\psi (2^{n}t-k)\psi (2^{n_{1}}t-k_{1})\,dt=\delta _{n,n_{1}}\delta _{k,k_{1}}.}$

Здесь δ_я,j представляет Дельта Кронекера. В двойная функция из ψ (т) есть ψ (т) сам.

1. Функции вейвлета / масштабирования с различным масштабом п иметь функциональные отношения:^[4] поскольку

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (t)&=\varphi (2t)+\varphi (2t-1)\\[.2em]\psi (t)&=\varphi (2t)-\varphi (2t-1),\end{aligned}}}$

следует, что коэффициенты масштаба п можно рассчитать по коэффициентам масштаба п + 1:

Если ${\displaystyle \chi _{w}(k,n)=2^{n/2}\int _{-\infty }^{\infty }x(t)\varphi (2^{n}t-k)\,dt}$

и ${\displaystyle \mathrm {X} _{w}(k,n)=2^{n/2}\int _{-\infty }^{\infty }x(t)\psi (2^{n}t-k)\,dt}$

тогда

${\displaystyle \chi _{w}(k,n)=2^{-1/2}{\bigl (}\chi _{w}(2k,n+1)+\chi _{w}(2k+1,n+1){\bigr )}}$

${\displaystyle \mathrm {X} _{w}(k,n)=2^{-1/2}{\bigl (}\chi _{w}(2k,n+1)-\chi _{w}(2k+1,n+1){\bigr )}.}$

Система Хаара на единичном интервале и родственные системы

В этом разделе обсуждение ограничено единичный интервал [0, 1] и функциям Хаара, которые поддерживаются на [0, 1]. Система функций, рассмотренная Хааром в 1910 г.,^[5]называется Система Хаара на [0, 1] в этой статье, состоит из подмножества вейвлетов Хаара, определенных как

${\displaystyle \{t\in [0,1]\mapsto \psi _{n,k}(t)\;;\;n\in \mathbb {N} \cup \{0\},\;0\leq k<2^{n}\},}$

с добавлением постоянной функции 1 на [0, 1].

В Гильбертово пространство слагаемых, эта система Хаара на [0, 1] является полная ортонормированная система, т.е., ортонормированный базис, для пространства L²([0, 1]) суммируемых с квадратом функций на единичном интервале.

Система Хаара на [0, 1] - с постоянной функцией 1 в качестве первого элемента, за которым следуют функции Хаара, упорядоченные в соответствии с лексикографический заказ пар (п, k)- далее монотонный Основа Шаудера для космоса L^п([0, 1]) когда 1 ≤ п < ∞.^[6] Эта основа безусловный когда 1 < п < ∞.^[7]

Есть связанный Система Радемахера состоящий из сумм функций Хаара,

${\displaystyle r_{n}(t)=2^{-n/2}\sum _{k=0}^{2^{n}-1}\psi _{n,k}(t),\quad t\in [0,1],\ n\geq 0.}$

Обратите внимание, что |р_п(т) | = 1 на [0, 1). Это ортонормированная система, но не полная.^[8][9]На языке теория вероятности, последовательность Радемахера является экземпляром последовательности независимый Бернулли случайные переменные с иметь в виду 0. Неравенство Хинчина выражает тот факт, что во всех пространствах L^п([0, 1]), 1 ≤ п < ∞, последовательность Радемахера есть эквивалент к базису единичных векторов в ℓ².^[10] В частности, замкнутый линейный пролет последовательности Радемахера в L^п([0, 1]), 1 ≤ п < ∞, является изоморфный к ℓ².

Система Фабера – Шаудера

В Система Фабера – Шаудера^[11][12][13] - семейство непрерывных функций на [0, 1], состоящее из постоянной функции1, и кратных неопределенные интегралы функций системы Хаара на [0, 1], выбранных с нормой 1 в максимальная норма. Эта система начинается с s₀ = 1, тогда s₁(т) = т - исчезающий в 0 неопределенный интеграл функции1, первый элемент системы Хаара на [0, 1]. Далее для каждого целого числа п ≥ 0, функции s_п,k определяются формулой

${\displaystyle s_{n,k}(t)=2^{1+n/2}\int _{0}^{t}\psi _{n,k}(u)\,du,\quad t\in [0,1],\ 0\leq k<2^{n}.}$

Эти функции s_п,k непрерывны, кусочно-линейный, поддерживаемый интервалом я_п,k который также поддерживает ψ_п,k. Функция s_п,k равен 1 в средней точке Икс_п,k интервала я_п,k, линейная на обеих половинах этого интервала. Он везде принимает значения от 0 до 1.

Система Фабера – Шаудера - это Основа Шаудера для космоса C([0, 1]) непрерывных функций на [0, 1].^[6] Для каждогож в C([0, 1]) частичная сумма

${\displaystyle f_{n+1}=a_{0}s_{0}+a_{1}s_{1}+\sum _{m=0}^{n-1}{\Bigl (}\sum _{k=0}^{2^{m}-1}a_{m,k}s_{m,k}{\Bigr )}\in C([0,1])}$

из расширение серии из ж в системе Фабера – Шаудера - непрерывная кусочно-линейная функция, согласованная сж на 2^п + 1 точки k2^−п, куда 0 ≤ k ≤ 2^п. Далее формула

${\displaystyle f_{n+2}-f_{n+1}=\sum _{k=0}^{2^{n}-1}{\bigl (}f(x_{n,k})-f_{n+1}(x_{n,k}){\bigr )}s_{n,k}=\sum _{k=0}^{2^{n}-1}a_{n,k}s_{n,k}}$

дает возможность вычислить расширение ж шаг за шагом. С ж является равномерно непрерывный, последовательность {ж_п} равномерно сходится к ж. Отсюда следует, что разложение в ряд Фабера – Шаудера ж сходится в C([0, 1]), а сумма этого ряда равнаж.

Система Франклина

В Система Франклина получается из системы Фабера – Шаудера Процедура ортонормировки Грама – Шмидта.^[14][15]Поскольку система Франклина имеет ту же линейную оболочку, что и система Фабера – Шаудера, эта оболочка плотна в C([0, 1]), поэтому в L²([0, 1]). Таким образом, система Франклина является ортонормированной основой для L²([0, 1]), состоящий из непрерывных кусочно-линейных функций. П. Франклин доказал в 1928 г., что эта система является основой Шаудера для C([0, 1]).^[16] Система Франклина также является безусловным базисом Шаудера для пространства L^п([0, 1]) когда 1 < п < ∞.^[17]Система Франклина обеспечивает основу Шаудера в дисковая алгебра А(D).^[17]Это было доказано в 1974 г. Бочкаревым, после того как существование основы дисковой алгебры оставалось открытым более сорока лет.^[18]

Бочкаревым базиса Шаудера в А(D) выглядит следующим образом: пустьж быть комплексно оцененным Функция Липшица на [0, π]; тогдаж это сумма косинусный ряд с абсолютно суммируемый коэффициенты. ПозволятьТ(ж) быть элементом А(D), определяемые комплексом степенной ряд с такими же коэффициентами,

${\displaystyle \left\{f:x\in [0,\pi ]\rightarrow \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\cos(nx)\right\}\longrightarrow \left\{T(f):z\rightarrow \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n},\quad |z|\leq 1\right\}.}$

Бочкарева для А(D) формируется изображениями подТ функций системы Франклина на [0, π]. Эквивалентное описание Бочкарева для отображенияТ начинается с расширения ж для четное Функция Липшицаграмм₁ на [−π, π], отождествляемой с липшицевой функцией на единичный круг  Т. Далее пусть грамм₂ быть сопряженная функция изграмм₁, и определим Т(ж) быть функцией вА(D), значение которого на границе Т изD равнограмм₁ + яграмм₂.

Имея дело с 1-периодическими непрерывными функциями, а точнее с непрерывными функциями ж на [0, 1] такие, что ж(0) = ж(1), убирают функцию s₁(т) = т из системы Фабера – Шаудера, чтобы получить периодическая система Фабера – Шаудера. В периодическая система Франклина получается ортонормировкой из периодической системы Фабера – Шаудера.^[19]Результат Бочкарева можно доказать на А(D), доказав, что периодическая система Франклина на [0, 2π] является базисом для банахова пространства А_р изоморфен А(D).^[19] Космос А_р состоит из сложных непрерывных функций на единичной окружности Т чей сопряженная функция также непрерывно.

Матрица Хаара

Матрица Хаара 2 × 2, связанная с вейвлетом Хаара, имеет вид

${\displaystyle H_{2}={\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}.}$

С использованием дискретное вейвлет-преобразование, можно преобразовать любую последовательность ${\displaystyle (a_{0},a_{1},\dots ,a_{2n},a_{2n+1})}$ четной длины в последовательность двухкомпонентных векторов ${\displaystyle \left(\left(a_{0},a_{1}\right),\dots ,\left(a_{2n},a_{2n+1}\right)\right)}$. Если умножить каждый вектор вправо на матрицу ${\displaystyle H_{2}}$, получается результат ${\displaystyle \left(\left(s_{0},d_{0}\right),\dots ,\left(s_{n},d_{n}\right)\right)}$ одной стадии быстрого вейвлет-преобразования Хаара. Обычно последовательности разделяют s и d и продолжает преобразовывать последовательность s. Последовательность s часто называют средние часть, тогда как d известен как Детали часть.^[20]

Если у вас есть последовательность длиной, кратной четырем, можно построить блоки из 4 элементов и преобразовать их аналогичным образом с помощью матрицы Хаара 4 × 4

${\displaystyle H_{4}={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\1&-1&0&0\\0&0&1&-1\end{bmatrix}},}$

который объединяет две стадии быстрого вейвлет-преобразования Хаара.

Сравните с Матрица Уолша, которая является нелокализованной матрицей 1 / –1.

Как правило, матрица Хаара 2N × 2N может быть получена с помощью следующего уравнения.

${\displaystyle H_{2N}={\begin{bmatrix}H_{N}\otimes [1,1]\\I_{N}\otimes [1,-1]\end{bmatrix}}}$

куда ${\displaystyle I_{N}={\begin{bmatrix}1&0&\dots &0\\0&1&\dots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\dots &1\end{bmatrix}}}$ и ${\displaystyle \otimes }$ это Кронекер продукт.

В Кронекер продукт из ${\displaystyle A\otimes B}$, куда ${\displaystyle A}$ - матрица размера m × n и ${\displaystyle B}$ матрица размера p × q, выражается как

${\displaystyle A\otimes B={\begin{bmatrix}a_{11}B&\dots &a_{1n}B\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}B&\dots &a_{mn}B\end{bmatrix}}.}$

Ненормализованная 8-точечная матрица Хаара ${\displaystyle H_{8}}$ показано ниже

${\displaystyle H_{8}={\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&-1&-1&-1&-1\\1&1&-1&-1&0&0&0&0&\\0&0&0&0&1&1&-1&-1\\1&-1&0&0&0&0&0&0&\\0&0&1&-1&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&-1&0&0&\\0&0&0&0&0&0&1&-1\end{bmatrix}}.}$

Обратите внимание, что указанная выше матрица является ненормализованной матрицей Хаара. Матрица Хаара, требуемая преобразованием Хаара, должна быть нормализована.

Из определения матрицы Хаара ${\displaystyle H}$, можно заметить, что, в отличие от преобразования Фурье, ${\displaystyle H}$ имеет только действительные элементы (т.е. 1, -1 или 0) и не является симметричным.

Возьмем 8-точечную матрицу Хаара ${\displaystyle H_{8}}$ В качестве примера. Первый ряд ${\displaystyle H_{8}}$ измеряет среднее значение, а вторая строка ${\displaystyle H_{8}}$ измеряет низкочастотную составляющую входного вектора. Следующие две строки чувствительны к первой и второй половине входного вектора соответственно, что соответствует умеренным частотным компонентам. Остальные четыре строки чувствительны к четырем участкам входного вектора, которые соответствуют высокочастотным компонентам.^[21]

Преобразование Хаара

В Преобразование Хаара самый простой из вейвлет-преобразования. Это преобразование перекрестно умножает функцию на вейвлет Хаара с различными сдвигами и растяжениями, подобно тому, как преобразование Фурье перекрестно умножает функцию на синусоидальную волну с двумя фазами и многими отрезками.^{[22][требуется разъяснение ]}

Вступление

В Преобразование Хаара - одна из старейших функций преобразования, предложенная в 1910 году венгерским математиком Альфред Хаар. Он оказался эффективным в таких приложениях, как сжатие сигналов и изображений в электротехнике и вычислительной технике, поскольку обеспечивает простой и эффективный с вычислительной точки зрения подход к анализу локальных аспектов сигнала.

Преобразование Хаара выводится из матрицы Хаара. Пример матрицы преобразования Хаара 4x4 показан ниже.

${\displaystyle H_{4}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}&0&0\\0&0&{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}}$

Преобразование Хаара можно рассматривать как процесс выборки, в котором строки матрицы преобразования действуют как выборки все более и более высокого разрешения.

Сравните с Преобразование Уолша, который также равен 1 / –1, но не является локализованным.

Свойство

Преобразование Хаара обладает следующими свойствами

1. Нет необходимости в умножении. Для этого требуются только дополнения, а в матрице Хаара много элементов с нулевым значением, поэтому время вычислений невелико. Это быстрее чем Преобразование Уолша, матрица которого состоит из +1 и −1.

2. Длина входа и выхода одинакова. Однако длина должна быть степенью 2, т.е. ${\displaystyle N=2^{k},k\in \mathbb {N} }$.

3. Его можно использовать для анализа локализованных характеристик сигналов. Из-за ортогональный Свойство функции Хаара позволяет анализировать частотные составляющие входного сигнала.

Преобразование Хаара и обратное преобразование Хаара

Преобразование Хаара у_п функции n входов Икс_п является

${\displaystyle y_{n}=H_{n}x_{n}}$

Матрица преобразования Хаара является действительной и ортогональной. Таким образом, обратное преобразование Хаара может быть получено с помощью следующих уравнений.

${\displaystyle H=H^{*},H^{-1}=H^{T},{\text{ i.e. }}HH^{T}=I}$

куда ${\displaystyle I}$ - единичная матрица. Например, при n = 4

${\displaystyle H_{4}^{T}H_{4}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&{\sqrt {2}}&0\\1&1&-{\sqrt {2}}&0\\1&-1&0&{\sqrt {2}}\\1&-1&0&-{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}\cdot \;{\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}&0&0\\0&0&{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$

Таким образом, обратное преобразование Хаара имеет вид

${\displaystyle x_{n}=H^{T}y_{n}}$

Пример

Коэффициенты преобразования Хаара для n = 4-точечного сигнала ${\displaystyle x_{4}=[1,2,3,4]^{T}}$ можно найти как

${\displaystyle y_{4}=H_{4}x_{4}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}&0&0\\0&0&{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5\\-2\\-1/{\sqrt {2}}\\-1/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}}$

Входной сигнал может быть полностью восстановлен с помощью обратного преобразования Хаара

${\displaystyle {\hat {x_{4}}}=H_{4}^{T}y_{4}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&{\sqrt {2}}&0\\1&1&-{\sqrt {2}}&0\\1&-1&0&{\sqrt {2}}\\1&-1&0&-{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}5\\-2\\-1/{\sqrt {2}}\\-1/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\end{bmatrix}}}$

Заявление

Современные фотоаппараты способны создавать изображения с разрешением в несколько десятков мегапикселей. Эти изображения должны быть сжатый перед хранением и передачей. Преобразование Хаара можно использовать для сжатия изображений. Основная идея состоит в том, чтобы передать изображение в матрицу, в которой каждый элемент матрицы представляет пиксель изображения. Например, матрица 256 × 256 сохраняется для изображения 256 × 256. JPEG сжатие изображения включает в себя разрезание исходного изображения на фрагменты изображения 8 × 8. Каждое суб-изображение представляет собой матрицу 8 × 8.

Требуется двумерное преобразование Хаара. Уравнение преобразования Хаара: ${\displaystyle B_{n}=H_{n}A_{n}H_{n}^{T}}$, куда ${\displaystyle A_{n}}$ это п × п матрица и ${\displaystyle H_{n}}$ является n-точечным преобразованием Хаара. Обратное преобразование Хаара есть ${\displaystyle A_{n}=H_{n}^{T}B_{n}H_{n}}$

В оральной хирургии анализ структуры изображения на основе вейвлета Хаара используется для выявления потенциально опасных поражений, например лейкоплакии [DOI: 10.1155 / 2020/8831161; DOI: 10.3390 / ma13163614].

Смотрите также

• Уменьшение размеров
• Матрица Уолша
• Преобразование Уолша
• Вейвлет
• Чирплет
• Сигнал
• Хаароподобная особенность
• Вейвлет Стрёмберга
• Диадическая трансформация

Примечания

1. см. стр. 361 дюйм Хаар (1910).
2. Ли, Б .; Тарнг, Ю.С. (1999). «Применение дискретного вейвлет-преобразования для контроля отказа инструмента при концевом фрезеровании с использованием тока двигателя шпинделя». Международный журнал передовых производственных технологий. 15 (4): 238–243. Дои:10.1007 / s001700050062.
3. В отличие от предыдущего утверждения, этот факт не очевиден: см. С. 363 дюйм Хаар (1910).
4. Видакович, Брани (2010). Статистическое моделирование с помощью вейвлетов (2-е изд.). С. 60, 63. Дои:10.1002/9780470317020.
5. п. 361 дюйм Хаар (1910)
6. см. стр. 3 в Дж. Линденштраус, Л. Цафрири, (1977), "Классические банаховы пространства I, пространства последовательностей", Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете 92, Берлин: Springer-Verlag, ISBN  3-540-08072-4.
7. Результат обусловлен Р. Э. Пейли, Замечательная серия ортогональных функций (I), Proc. Лондонская математика. Soc. 34 (1931) стр. 241-264. Также стр. 155 в J. Lindenstrauss, L. Tzafriri, (1979), "Классические банаховы пространства II, Функциональные пространства". Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете 97, Берлин: Springer-Verlag, ISBN  3-540-08888-1.
8. «Ортогональная система». Энциклопедия математики.
9. Уолтер, Гилберт Дж .; Шен, Сяопин (2001). Вейвлеты и другие ортогональные системы. Бока-Ратон: Чепмен. ISBN  1-58488-227-1.
10. см. например стр. 66 дюйм Дж. Линденштраус, Л. Цафрири, (1977), "Классические банаховы пространства I, пространства последовательностей", Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете 92, Берлин: Springer-Verlag, ISBN  3-540-08072-4.
11. Фабер, Георг (1910), "Über die Orthogonalfunktionen des Herrn Haar", Deutsche Math.-Ver (на немецком) 19: 104–112. ISSN  0012-0456; http://www-gdz.sub.uni-goettingen.de/cgi-bin/digbib.cgi?PPN37721857X  ; http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002122553
12. Шаудер, Юлиуш (1928), "Eine Eigenschaft des Haarschen Orthogonalsystems", Mathematische Zeitschrift 28: 317–320.
13. Голубов, Б. (2001) [1994], «Система Фабера – Шаудера», Энциклопедия математики, EMS Press
14. см. Z. Ciesielski, Свойства ортонормированной системы Франклина. Studia Math. 23 1963 141–157.
15. Система Франклина. Б.И. Голубов (составитель), Математическая энциклопедия. URL: http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Franklin_system&oldid=16655
16. Филип Франклин, Набор непрерывных ортогональных функций, Математика. Анна. 100 (1928), 522-529.
17. С. В. Бочкарев, Существование базиса в пространстве аналитических в круге функций и некоторые свойства системы Франклина. Мат. Сб. 95 (1974), 3–18. Перевел в математике. СССР-Сб. 24 (1974), 1–16.
18. Возникает вопрос р. 238, § 3 в книге Банаха, Банах, Стефан (1932), Теория линейных операций, Monografie Matematyczne, 1, Варшава: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej, Zbl  0005.20901. Дисковая алгебра А(D) отображается как Пример 10, стр. 12 в книге Банаха.
19. См. Стр. 161, III.D.20 и стр. 192, III.E.17 в Войтащик, Пшемыслав (1991), Банаховы пространства для аналитиков, Кембриджские исследования по высшей математике, 25, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, стр. Xiv + 382, ISBN  0-521-35618-0
20. Рух, Дэвид К .; Ван Флит, Патрик Дж. (2009). Теория вейвлетов: элементарный подход к приложениям. Джон Вили и сыновья. ISBN  978-0-470-38840-2.
21. "хаар". Fourier.eng.hmc.edu. 30 октября 2013 г.. Получено 23 ноября 2013.
22. Преобразование Хаара

Рекомендации

• Хаар, Альфред (1910), "Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme", Mathematische Annalen, 69 (3): 331–371, Дои:10.1007 / BF01456326, HDL:2027 / uc1.b2619563
• Чарльз К. Чуй, Введение в вейвлеты(1992), Academic Press, Сан-Диего, ISBN  0-585-47090-1
• Английский перевод основополагающей статьи Хаара: https://www.uni-hohenheim.de/~gzim/Publications/haar.pdf^{[постоянная мертвая ссылка ]}

внешняя ссылка

• «Система Хаара», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Бесплатная реализация вейвлет-фильтрации Хаара и интерактивная демонстрация
• Свободное шумоподавление вейвлетов Хаара и сжатие сигналов с потерями

Преобразование Хаара

• [1]
• [2]
• [3]
• [4]
• [5]