Haagerup свойство - Haagerup property

В математика, то Haagerup свойство, названный в честь Уффе Хаагеруп а также известный как Громов с А-Т-менабельность, является собственностью группы это сильное отрицание Имущество Каждан (Т). Свойство (T) считается теоретико-представительной формой жесткости, поэтому свойство Хаагерупа можно рассматривать как форму сильной нежесткости; подробности см. ниже.

Свойство Хаагерупа интересно во многих областях математики, в том числе гармонический анализ, теория представлений, операторная K-теория, и геометрическая теория групп.

Возможно, его наиболее впечатляющим следствием является то, что группы со свойством Haagerup удовлетворяют Гипотеза Баума – Конна и связанные Гипотеза новикова. Группы со свойством Haagerup также равномерно встраиваемый в Гильбертово пространство.

Определения

Позволять ${\displaystyle G}$ быть второй счетный локально компактный группа. Все следующие свойства эквивалентны, и любое из них может рассматриваться как определение свойства Haagerup:

1. Существует правильный непрерывный условно отрицательно определенный функция ${\displaystyle \Psi \colon G\to \mathbb {R} ^{+}}$.
2. ${\displaystyle G}$ имеет Свойство аппроксимации Хаагерупа, также известный как Свойство ${\displaystyle C_{0}}$: есть последовательность нормированных непрерывных положительно определенные функции ${\displaystyle \phi _{n}}$ которые исчезают в бесконечности на ${\displaystyle G}$ и сходятся к 1 равномерно на компактные подмножества из ${\displaystyle G}$.
3. Существует сильно непрерывный унитарное представительство из ${\displaystyle G}$ который слабо содержит в тривиальное представление матричные коэффициенты которой обращаются в нуль на бесконечности на ${\displaystyle G}$.
4. Имеется собственное непрерывное аффинно-изометрическое действие ${\displaystyle G}$ на Гильбертово пространство.

Примеры

Существует множество примеров групп со свойством Haagerup, большинство из которых имеют геометрическое происхождение. Список включает:

• Все компактные группы (тривиально). Обратите внимание, что все компактные группы также имеют свойство (T). Верно и обратное: если группа обладает как свойством (T), так и свойством Хаагерупа, то она компактна.
• SO (n, 1)
• СУ (п, 1)
• Группы, действующие должным образом на деревьях или на ${\displaystyle \mathbb {R} }$-деревья
• Группы Кокстера
• Аменабильные группы
• Группы, действующие должным образом КОШКА (0) кубические комплексы

Источники

• Шерикс, Пьер-Ален; Каулинг, Майкл; Жолиссен, Поль; Юльг, Пьер; Валетт, Ален (2001), Группы со свойством Haagerup. А-Т-манерность Громова., Успехи в математике, 197, Базель: Birkhäuser Verlag, Дои:10.1007/978-3-0348-8237-8, ISBN  3-7643-6598-6, МИСТЕР  1852148