Условие Хермандерса - Hörmanders condition

В математика, Состояние Хёрмандера является собственностью векторные поля это, если выполнено, имеет много полезных следствий в теории частичный и стохастические дифференциальные уравнения. Состояние названо в честь Шведский математик Ларс Хёрмандер.

Определение

Учитывая два C¹ векторные поля V и W на d-размерный Евклидово пространство р^d, позволять [V, W] обозначают их Кронштейн лжи, другое векторное поле, определяемое

${\displaystyle [V,W](x)=\mathrm {D} V(x)W(x)-\mathrm {D} W(x)V(x),}$

где DV(Икс) обозначает Производная Фреше из V в Икс ∈ р^d, который можно рассматривать как матрица который применяется к вектору W(Икс), и наоборот.

Позволять А₀, А₁, ... А_п быть векторными полями на р^d. Говорят, они удовлетворяют Состояние Хёрмандера если за каждую точку Икс ∈ р^d, векторы

${\displaystyle {\begin{aligned}&A_{j_{0}}(x)~,\\&[A_{j_{0}}(x),A_{j_{1}}(x)]~,\\&[[A_{j_{0}}(x),A_{j_{1}}(x)],A_{j_{2}}(x)]~,\\&\quad \vdots \quad \end{aligned}}\qquad 0\leq j_{0},j_{1},\ldots ,j_{n}\leq n}$

охватывать р^d. Говорят, что они удовлетворяют параболическое условие Хёрмандера если то же самое, но с индексом ${\displaystyle j_{0}}$ принимая только значения в 1, ...,п.

Приложение к стохастическим дифференциальным уравнениям

Рассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение (SDE)

${\displaystyle \operatorname {d} x=A_{0}(x)\operatorname {d} t+\sum _{i=1}^{n}A_{i}(x)\circ \operatorname {d} W_{i}}$

где векторные поля ${\displaystyle A_{0},\dotsc ,A_{n}}$ предполагаются с ограниченной производной, ${\displaystyle (W_{1},\dotsc ,W_{n})}$ нормализованный п-мерное броуновское движение и ${\displaystyle \circ \operatorname {d} }$ стоит за Интеграл Стратоновича Интерпретация СДУ. Теорема Хёрмандера утверждает, что если СДУ удовлетворяет параболическому условию Хёрмандера, то его решения допускают гладкую плотность относительно меры Лебега.

Приложение к проблеме Коши

Используя те же обозначения, что и выше, определите второй порядок дифференциальный оператор F к

${\displaystyle F={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}A_{i}^{2}+A_{0}.}$

Важной задачей теории дифференциальных уравнений в частных производных является определение достаточных условий на векторные поля А_я для задачи Коши

${\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {\partial u}{\partial t}}(t,x)=Fu(t,x),&t>0,x\in \mathbf {R} ^{d};\\u(t,\cdot )\to f,&{\text{as }}t\to 0;\end{cases}}}$

иметь гладкий фундаментальное решение, т. е. вещественная функция п (0, +∞) × р^2d → р такой, что п(т, ·, ·) Гладко на р^2d для каждого т и

${\displaystyle u(t,x)=\int _{\mathbf {R} ^{d}}p(t,x,y)f(y)\,\mathrm {d} y}$

удовлетворяет поставленной выше задаче Коши. Некоторое время было известно, что гладкое решение существует в эллиптический случае, в котором

${\displaystyle A_{i}=\sum _{j=1}^{d}a_{ji}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}},}$

и матрица А = (а_джи), 1 ≤ j ≤ d, 1 ≤ я ≤ п таково, что AA^∗ везде обратимая матрица.

Большим достижением работы Хёрмандера 1967 года было показать, что гладкое фундаментальное решение существует при значительно более слабом предположении: параболической версии условия, которое теперь носит его имя.

Приложение к системам управления

Позволять M - гладкое многообразие и ${\displaystyle A_{0},\dotsc ,A_{n}}$ быть гладкими векторными полями на M. Если предположить, что эти векторные поля удовлетворяют условию Хермандера, то система управления

${\displaystyle {\dot {x}}=\sum _{i=1}^{n}u_{i}A_{i}(x)}$

является локально управляемый в любое время в любой точке M. Это известно как Теорема Чоу – Рашевского.. Видеть Орбита (теория управления).

Смотрите также

• Исчисление Маллявэна
• Алгебра Ли

Рекомендации

• Белл, Денис Р. (2006). Исчисление Маллявэна. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications Inc., стр. X + 113. ISBN  0-486-44994-7. МИСТЕР2250060 (См. Введение)
• Хёрмандер, Ларс (1967). «Гипоэллиптические дифференциальные уравнения второго порядка». Acta Math. 119: 147–171. Дои:10.1007 / BF02392081. ISSN  0001-5962. МИСТЕР0222474