Гипотеза Фугледеса - Fugledes conjecture

Гипотеза Фугледе это открытая проблема в математика предложено Бент Фугледе в 1974 году. В нем говорится, что каждый домен ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ (т.е. подмножество ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ с положительным конечным Мера Лебега ) является спектральным множеством тогда и только тогда, когда оно мозаично ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ к перевод.^[1]

Спектральные наборы и трансляционные плитки

Спектральные наборы в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

Множество ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ с положительной конечной мерой Лебега называется спектральным множеством, если существует ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ такой, что ${\displaystyle \left\{e^{2\pi i\left\langle \lambda ,\cdot \right\rangle }\right\}_{\lambda \in \Lambda }}$является ортогональный базис из ${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$. Набор ${\displaystyle \Lambda }$ тогда говорят, что это спектр ${\displaystyle \Omega }$ и ${\displaystyle (\Omega ,\Lambda )}$ называется спектральной парой.

Переводные плитки ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

Множество ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{d}}$ говорят, что плитка ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ переводом (т.е. ${\displaystyle \Omega }$ является трансляционной плиткой), если существует дискретное множество ${\displaystyle \mathrm {T} }$ такой, что ${\displaystyle \bigcup _{t\in \mathrm {T} }(\Omega +t)=\mathbb {R} ^{d}}$ и мера Лебега ${\displaystyle (\Omega +t)\cap (\Omega +t')}$ равен нулю для всех ${\displaystyle t\neq t'}$в ${\displaystyle \mathrm {T} }$.^[2]

Частичные результаты

• Фугледе доказал в 1974 г., что гипотеза верна, если ${\displaystyle \Omega }$ это фундаментальная область из решетка.
• В 2003 году Алексей Иосевич, Нетс Кац и Теренс Тао доказал, что гипотеза верна, если ${\displaystyle \Omega }$ это выпуклый планарный домен.^[3]
• В 2004 году Теренс Тао показал, что это предположение неверно. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ за ${\displaystyle d\geq 5}$.^[4] Позже Балинт Фаркаш, Михаил Н. Колоунзакис, Мате Матолчи и Петер Мора показали, что эта гипотеза также неверна для ${\displaystyle d=3}$ и ${\displaystyle 4}$.^[5][6][7][8] Однако гипотеза остается неизвестной для ${\displaystyle d=1,2}$.
• Алекс Иосевич, Азита Майели и Джонатан Пакианатан показали, что гипотеза верна в ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}\times \mathbb {Z} _{p}}$, куда ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ конечная группа порядка p.^[9]
• В 2017 году Рэйчел Гринфельд и Нир Лев доказали гипотезу для выпуклых многогранников в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.^[10]
• В 2019 году Нир Лев и Мате Матолчи утвердили гипотезу о выпуклых областях во всех измерениях.^[11]

Рекомендации

1. Фугледе, Бент (1974). «Коммутирующие самосопряженные дифференциальные операторы в частных производных и теоретико-групповая проблема». J. Funct. Анальный. 16: 101–121. Дои:10.1016 / 0022-1236 (74) 90072-Х.
2. Дуткай, Дорин Эрвин; Лай, Чун – КИТ (2014). «Некоторые редукции гипотезы о спектральном множестве к целым числам». Математические труды Кембриджского философского общества. 156 (1): 123–135. arXiv:1301.0814. Bibcode:2014MPCPS.156..123D. Дои:10.1017 / S0305004113000558.
3. Иосевич, Алексей; Кац, Сети; Теренс, Тао (2003). «Спектральная гипотеза Фугледе верна для выпуклых плоских областей». Математика. Res. Латыш. 10 (5–6): 556–569. Дои:10.4310 / MRL.2003.v10.n5.a1.
4. Тао, Теренс (2004). «Гипотеза Фугледе неверна в пяти или более высоких измерениях». Математика. Res. Латыш. 11 (2–3): 251–258. arXiv:математика / 0306134. Дои:10.4310 / MRL.2004.v11.n2.a8.
5. Фаркаш, Балинт; Matolcsi, Máté; Мора, Петер (2006). «О гипотезе Фугледе и существовании универсальных спектров». J. Fourier Anal. Приложение. 12 (5): 483–494. arXiv:математика / 0612016. Bibcode:2006математика ..... 12016F. Дои:10.1007 / s00041-005-5069-7.
6. Колоунзакис, Михаил Н .; Матолчи, Матэ (2006). «Плитки без спектров». Форум по математике. 18 (3): 519–528. arXiv:математика / 0406127. Bibcode:2004математика ...... 6127K.
7. Matolcsi, Máté (2005). "Гипотеза Фугледе терпит неудачу в измерении 4". Proc. Амер. Математика. Soc. 133 (10): 3021–3026. Дои:10.1090 / S0002-9939-05-07874-3.
8. Колоунзакис, Михаил Н .; Matolcsi, Máté (2006). «Комплексные матрицы Адамара и гипотеза о спектральном множестве». Собирать. Математика. Экстра: 281–291. arXiv:математика / 0411512. Bibcode:2004математика ..... 11512K.
9. Иосевич, Алексей; Майели, Азита; Пакианатан, Джонатан (2015). «Гипотеза Фугледе верна в Zp × Zp». arXiv:1505.00883. Дои:10.2140 / apde.2017.10.757.
10. Гринфельд, Рэйчел; Лев, Нир (2017). "Гипотеза о спектральном множестве Фугледе для выпуклых многогранников". Анализ и PDE. 10 (6): 1497–1538. arXiv:1602.08854. Дои:10.2140 / apde.2017.10.1497.
11. Лев, Нир; Matolcsi, Máté (2019). «Гипотеза Фугледе для выпуклых областей верна во всех измерениях». arXiv:1904.12262 [math.CA ].