Предел Фраисе - Fraïssé limit

В математическая логика, особенно в дисциплине теория моделей, то Предел Фраисе (также называемый Строительство Fraïssé или же Слияние Fraïssé) - это метод, используемый для построения (бесконечного) математические структуры из их (конечных) подконструкции. Это частный пример более общей концепции прямой предел в категория.^[1] Этот метод был разработан в 1950-х годах его тезкой, французским логиком. Роланд Фраиссе.^[2]

Суть конструкции Фраиссе - показать, как можно аппроксимировать (счетный ) структуру своими конечно порожденными подструктурами. Учитывая учебный класс ${\displaystyle \mathbf {K} }$ конечных реляционные структуры, если ${\displaystyle \mathbf {K} }$ удовлетворяет определенным свойствам (описанным ниже), то существует единственное счетный структура ${\displaystyle \operatorname {Flim} (\mathbf {K} )}$, называемый пределом Фраиссе ${\displaystyle \mathbf {K} }$, который содержит все элементы ${\displaystyle \mathbf {K} }$ в качестве подконструкции.

Общее изучение пределов Фраиссе и связанных с ними понятий иногда называют Теория Фраиссе. Эта область нашла широкое применение в других областях математики, включая топологическая динамика, функциональный анализ, и Теория Рамсея.^[3]

Конечно генерируемые подструктуры и возраст

Исправить язык ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$. Автор ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$-структура, мы имеем в виду логическая структура имея подпись ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$.

Учитывая ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$-структура ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ с домен ${\displaystyle M}$, и подмножество ${\displaystyle A\subseteq M}$, мы используем ${\displaystyle \langle A\rangle ^{\mathcal {M}}}$ для обозначения наименьшего основание из ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ чей домен содержит ${\displaystyle A}$ (т.е. закрытие ${\displaystyle A}$ под всеми символами функций и констант в ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$).

Подструктура ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ из ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ тогда говорят, что это конечно порожденный если ${\displaystyle {\mathcal {N}}=\langle A\rangle ^{\mathcal {M}}}$ для некоторых конечный подмножество ${\displaystyle A\subseteq M}$.^[4] В в возрасте ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$, обозначенный ${\displaystyle \operatorname {Age} ({\mathcal {M}})}$, - класс всех конечно порожденных подструктур ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$.

Можно доказать, что любой класс ${\displaystyle \mathbf {K} }$ то есть возраст некоторой конструкции удовлетворяет следующим двум условиям:

Наследственная собственность (HP)

Если ${\displaystyle A\in \mathbf {K} }$ и ${\displaystyle B}$ конечно порожденная подструктура ${\displaystyle A}$, тогда ${\displaystyle B}$ изоморфна некоторой структуре в ${\displaystyle \mathbf {K} }$.

Совместное свойство вложения (JEP)

Если ${\displaystyle A,B\in \mathbf {K} }$, то существует ${\displaystyle C\in \mathbf {K} }$ так что оба ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ встраиваются в ${\displaystyle C}$.

Теорема Фраиссе

А коммутативная диаграмма иллюстрирующие свойство слияния.

Как и выше, мы отметили, что для любого ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$-структура ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$, ${\displaystyle \operatorname {Age} ({\mathcal {M}})}$ удовлетворяет требованиям HP и JEP. Фраиссе доказал обратный результат: когда ${\displaystyle \mathbf {K} }$ - любое непустое счетное множество конечно порожденных ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$-структуры, обладающие двумя указанными выше свойствами, то это возраст некоторой счетной структуры.

Кроме того, предположим, что ${\displaystyle \mathbf {K} }$ удовлетворяет следующим дополнительным свойствам.

Объединенная собственность (AP)

Для любых конструкций ${\displaystyle A,B,C\in \mathbf {K} }$, такие, что существуют вложения ${\displaystyle f:A\to B}$, ${\displaystyle g:A\to C}$, существует структура ${\displaystyle D\in \mathbf {K} }$ и вложения ${\displaystyle f':B\to D}$, ${\displaystyle g':C\to D}$ такой, что ${\displaystyle f'\circ f=g'\circ g}$ (т.е. они совпадают на образе A в обеих структурах).

Существенная счетность (EC)

С точностью до изоморфизма структур в ${\displaystyle \mathbf {K} }$.

В этом случае мы говорим, что K является Класс Fraïssé, и существует единственная (с точностью до изоморфизма) счетная однородная структура ${\displaystyle \operatorname {Flim} (\mathbf {K} )}$ чей возраст точно ${\displaystyle \mathbf {K} }$.^[5] Эта структура называется Предел Фраисе из ${\displaystyle \mathbf {K} }$.

Здесь, однородный означает, что любой изоморфизм ${\displaystyle \pi :A\to B}$ между двумя конечно порожденными подструктурами ${\displaystyle A,B\in \mathbf {K} }$ можно расширить до автоморфизм всей конструкции.

Примеры

Типичный пример - класс ${\displaystyle \mathbf {FCh} }$ всех конечных линейные порядки, для которой предел Фрассе является плотный линейный порядок без конечных точек (т.е. нет наименьший или наибольший элемент ). С точностью до изоморфизма это всегда эквивалентно структуре ${\displaystyle \langle \mathbb {Q} ,<\rangle }$, т.е. рациональное число при обычном заказе.

В качестве примера обратите внимание, что ни ${\displaystyle \langle \mathbb {N} ,<\rangle }$ ни ${\displaystyle \langle \mathbb {Z} ,<\rangle }$ являются пределом Фраиссе ${\displaystyle \mathbf {FCh} }$. Это потому, что, хотя оба они исчисляемы и имеют ${\displaystyle \mathbf {FCh} }$ по возрасту ни один из них не является однородным. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим подструктуры ${\displaystyle {\big \langle }\{1,3\},<{\big \rangle }}$ и ${\displaystyle {\big \langle }\{5,6\},<{\big \rangle }}$, а изоморфизм ${\displaystyle 1\mapsto 5,\ 3\mapsto 6}$ между ними. Это не может быть продолжено до автоморфизма ${\displaystyle \langle \mathbb {N} ,<\rangle }$ или же ${\displaystyle \langle \mathbb {Z} ,<\rangle }$, поскольку нет элемента, которому мы могли бы сопоставить ${\displaystyle 2}$, при этом сохраняя порядок.

Другой пример - класс ${\displaystyle \mathbf {Gph} }$ всех конечных графики, предел Фраиссе - График Rado.^[1]

ω-категоричность

Предположим, наш класс ${\displaystyle \mathbf {K} }$ рассматриваемое удовлетворяет дополнительному свойству быть равномерно локально конечный, что означает, что для каждого ${\displaystyle n}$, существует единообразная оценка размера ${\displaystyle n}$-генерированная подконструкция. Это условие эквивалентно пределу Фрассе для ${\displaystyle \mathbf {K} }$ существование ω-категоричный.

Например, класс конечномерный векторные пространства за фиксированный поле всегда является классом Фраиссе, но он равномерно локально конечен, только если конечно поле.

Смотрите также

• Структурная теория Рамсея

Рекомендации

1. "Кафе n-категории". golem.ph.utexas.edu. Получено 2020-01-08.
2. Ходжес, Уилфрид. (1997). Более короткая теория модели. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-58713-1. OCLC  468298248.
3. Лупини, Мартино (ноябрь 2018 г.). «Пределы Фраиссе в функциональном анализе» (PDF). Успехи в математике. 338: 93–174. Дои:10.1016 / j.aim.2018.08.012. ISSN  0001-8708.
4. Шлихт, Филипп (7 января 2018 г.). «Введение в теорию моделей (конспект лекций), Defn 2.2.1» (PDF). Математический институт Боннского университета.
5. Замечания о бесконечных группах перестановок. Бхаттачарджи, М. (Минакси), 1965–. Берлин: Springer. 1998 г. ISBN  3-540-64965-4. OCLC  39700621.