Объединенная собственность - Amalgamation property

А коммутативная диаграмма имущества слияния.

В математической области теория моделей, то имущество слияния является свойством коллекций структуры что гарантирует при определенных условиях, что две структуры в коллекции могут рассматриваться как подструктуры более крупной.

Это свойство играет решающую роль в Теорема Фраиссе, который характеризует классы конечных структур, возникающих каквозраст счетных однородных структур.

В диаграмма собственности слияния появляется во многих областях математическая логика. Примеры включают в себя модальная логика как отношение инцестуальной доступности,^{[требуется разъяснение ]} И в лямбда-исчисление как способ снижение имея Церковь – Россер собственность.

Определение

An амальгама можно формально определить как набор из пяти (А, е, В, ж, С) такие, что А, Б, В структуры, имеющие одинаковые подпись, и f: A → B, г: А → C находятся вложения. Напомним, что f: A → B является встраивание если ж является инъективным морфизмом, который индуцирует изоморфизм из А к основанию f (А) из B.^[1]

Класс K структур имеет свойство слияния, если для каждого слияния с А, Б, В ∈ K и А ≠ Ø существует как структура D ∈ K и вложения f ': B → D, g ': C → D такой, что

${\displaystyle f'\circ f=g'\circ g.\,}$

Теория первого порядка ${\displaystyle T}$ обладает свойством слияния, если класс моделей ${\displaystyle T}$ имеет свойство слияния. Свойство амальгамирования имеет определенные связи с исключение квантора.

В общем, свойство объединения можно рассматривать для категории с заданным выбором класса морфизмов (вместо вложений). Это понятие связано с категоричным понятием откат, в частности, в связи со свойством сильного амальгамирования (см. ниже).^[2]

Примеры

• Класс множеств, в котором вложения являются инъективными функциями, и если они предполагаются включениями, то амальгама - это просто объединение двух множеств.
• Класс бесплатные группы где вложения являются инъективными гомоморфизмами, а (в предположении, что они являются включениями) амальгама - это факторгруппа ${\displaystyle B*C/A}$, где бесплатный продукт.
• Класс конечных линейные порядки.

Подобное, но отличающееся от свойства слияния понятие - это совместное вложение собственности. Чтобы увидеть разницу, сначала рассмотрим класс K (или просто набор), содержащий три модели с линейными порядками, L₁ первого размера, L₂ размера два, и L₃ размера три. Этот класс K обладает свойством совместного вложения, потому что все три модели могут быть вложены в L₃. Тем не мение, K не имеет свойства слияния. Контрпример для этого начинается с L₁ содержащий единственный элемент е и распространяется двумя разными способами на L₃, тот, в котором е самый маленький, а другой, в котором е самый большой. Теперь любая общая модель с встраиванием из этих двух расширений должна быть как минимум пяти размеров, чтобы по обе стороны от нее было по два элемента. е.

Теперь рассмотрим класс алгебраически замкнутые поля. Этот класс обладает свойством объединения, так как любые два расширения поля простого поля могут быть встроены в общее поле. Однако два произвольных поля не могут быть встроены в общее поле, когда характеристика полей различаются.

Сильная способность к слиянию

Класс K структур имеет сильное свойство слияния (SAP), также называемый свойство непересекающейся слияния (DAP), если для каждой амальгамы с А, Б, В ∈ K существует как структура D ∈ K и вложения f ': B → D, g ': C → D такой, что

${\displaystyle f'\circ f=g'\circ g\,}$

и

${\displaystyle f'[B]\cap g'[C]=(f'\circ f)[A]=(g'\circ g)[A]\,}$

где для любого набора Икс и функция час на ИКС,

${\displaystyle h\lbrack X\rbrack =\lbrace h(x)\mid x\in X\rbrace .\,}$

Рекомендации

1. Ходжес, раздел 1.2 и упражнение 4 в нем. Когда нет отношения, как в случае групп, понятия вложения и инъективного морфизма совпадают, см. Стр. 6.
2. Kiss, Márki, Pröhle, Tholen, Section 6

Смотрите также

• Span (теория категорий)
• Выталкивание (теория категорий)
• Совместное свойство вложения
• Теорема Фраиссе

Рекомендации

• Ходжес, Уилфрид (1997). Более короткая теория модели. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-58713-1.
• Записи на имущество слияния и сильное свойство слияния в онлайн-база данных классов алгебраических структур (Департамент математики и информатики, Университет Чепмена).
• Э. В. Кисс, Л. Марки, П. Прёле, В. Толен, Категорные алгебраические свойства. Сборник по слиянию, расширению конгруэнции, эпиморфизмам, остаточной малости и инъективности, Studia Sci. Математика. Hungar 18 (1), 79-141, 1983 г. весь выпуск журнала.