Производная лисы - Fox derivative

В математика, то Производная лисы является алгебраический строительство в теории бесплатные группы который имеет много общего с обычным производная из исчисление. Производные от Fox и связанные с ними концепции часто называют Исчисление Фокса, или (оригинальный термин Фокса) бесплатное дифференциальное исчисление. Производная Фокса была разработана математиком в серии из пяти работ. Ральф Фокс, опубликовано в Анналы математики начиная с 1953 г.

Определение

Если г свободная группа с элементом идентичности е и генераторы грамм_я, то производная Фокса по грамм_я это функция от г в целое групповое кольцо Zг который обозначается ${displaystyle {frac {partial }{partial g_{i}}}}$, и подчиняется следующему аксиомы:

• ${displaystyle {frac {partial }{partial g_{i}}}(g_{j})=delta _{ij}}$, где ${displaystyle delta _{ij}}$ это Дельта Кронекера
• ${displaystyle {frac {partial }{partial g_{i}}}(e)=0}$
• ${displaystyle {frac {partial }{partial g_{i}}}(uv)={frac {partial }{partial g_{i}}}(u)+u{frac {partial }{partial g_{i}}}(v)}$ для любых элементов ты и v из г.

Первые две аксиомы идентичны аналогичным свойствам частной производной исчисления, а третья представляет собой модифицированную версию правило продукта. Как следствие аксиом, мы имеем следующую формулу для обратных

• ${displaystyle {frac {partial }{partial g_{i}}}(u^{-1})=-u^{-1}{frac {partial }{partial g_{i}}}(u)}$ для любого элемента ты из г.

Приложения

Производная Fox имеет приложения в групповые когомологии, теория узлов и покрывающее пространство теория, среди других областей математики.

Смотрите также

• Полином александра
• Бесплатная группа
• Кольцо (математика)
• Интегральный домен

Рекомендации

• Браун, Кеннет С. (1972). Когомологии групп. Тексты для выпускников по математике. 87. Springer Verlag. ISBN  0-387-90688-6. Г-Н  0672956.
• Фокс, Ральф (Май 1953 г.). "Свободное дифференциальное исчисление, I: вывод в свободном групповом кольце". Анналы математики. 57 (3): 547–560. Дои:10.2307/1969736. JSTOR  1969736. Г-Н  0053938.
• Фокс, Ральф (март 1954 г.). "Свободное дифференциальное исчисление, II: проблема изоморфизма групп". Анналы математики. 59 (2): 196–210. Дои:10.2307/1969686. JSTOR  1969686. Г-Н  0062125.
• Фокс, Ральф (ноябрь 1956). "Свободное дифференциальное исчисление, III: Подгруппы". Анналы математики. 64 (2): 407–419. Дои:10.2307/1969592. JSTOR  1969592. Г-Н  0095876.
• Чен, Куо-Цай; Ральф Фокс; Роджер Линдон (Июль 1958 г.). "Свободное дифференциальное исчисление, IV: Факторные группы нижнего центрального ряда". Анналы математики. 68 (1): 81–95. Дои:10.2307/1970044. JSTOR  1970044. Г-Н  0102539.
• Фокс, Ральф (май 1960). "Свободное дифференциальное исчисление, V: Матрицы Александера пересмотрены". Анналы математики. 71 (3): 408–422. Дои:10.2307/1969936. JSTOR  1969936. Г-Н  0111781.