Теорема обращения Фурье - Fourier inversion theorem

В математика, то Теорема обращения Фурье говорит, что для многих типов функций можно восстановить функцию из ее преобразование Фурье. Интуитивно это можно рассматривать как утверждение, что если мы знаем все частота и фаза информации о волне, тогда мы можем точно восстановить исходную волну.

Теорема гласит, что если у нас есть функция ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} }$ удовлетворяющие определенным условиям, и мы используем соглашение о преобразовании Фурье который

${\displaystyle ({\mathcal {F}}f)(\xi ):=\int _{\mathbb {R} }e^{-2\pi iy\cdot \xi }\,f(y)\,dy,}$

тогда

${\displaystyle f(x)=\int _{\mathbb {R} }e^{2\pi ix\cdot \xi }\,({\mathcal {F}}f)(\xi )\,d\xi .}$

Другими словами, теорема говорит, что

${\displaystyle f(x)=\int \int _{\mathbb {R} ^{2}}e^{2\pi i(x-y)\cdot \xi }\,f(y)\,dy\,d\xi .}$

Это последнее уравнение называется Интегральная теорема Фурье.

Другой способ сформулировать теорему: если ${\displaystyle R}$ это оператор переворота, т.е. ${\displaystyle (Rf)(x):=f(-x)}$, тогда

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}={\mathcal {F}}R=R{\mathcal {F}}.}$

Теорема верна, если оба ${\displaystyle f}$ и его преобразование Фурье равны абсолютно интегрируемый (в Чувство Лебега ) и ${\displaystyle f}$ непрерывна в точке ${\displaystyle x}$. Однако даже при более общих условиях верны версии теоремы обращения Фурье. В этих случаях указанные выше интегралы могут не сходиться в обычном смысле.

Заявление

В этом разделе мы предполагаем, что ${\displaystyle f}$ - интегрируемая непрерывная функция. Использовать соглашение о преобразовании Фурье который

${\displaystyle ({\mathcal {F}}f)(\xi ):=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-2\pi iy\cdot \xi }\,f(y)\,dy.}$

Кроме того, мы предполагаем, что преобразование Фурье также интегрируемо.

Обратное преобразование Фурье как интеграл

Наиболее распространенное утверждение теоремы об обращении Фурье состоит в том, чтобы представить обратное преобразование как интеграл. Для любой интегрируемой функции ${\displaystyle g}$ и все ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ набор

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}g(x):=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{2\pi ix\cdot \xi }\,g(\xi )\,d\xi .}$

Тогда для всех ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ у нас есть

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x).}$

Интегральная теорема Фурье

Теорема может быть переформулирована как

${\displaystyle f(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{2\pi i(x-y)\cdot \xi }\,f(y)\,dy\,d\xi .}$

Если ж является действительным значением, то, взяв действительную часть каждой стороны указанного выше, мы получаем

${\displaystyle f(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\cos(2\pi (x-y)\cdot \xi )\,f(y)\,dy\,d\xi .}$

Обратное преобразование в терминах оператора переворота

Для любой функции ${\displaystyle g}$ определить оператор переворота^{[примечание 1]} ${\displaystyle R}$ к

${\displaystyle Rg(x):=g(-x).}$

Тогда мы можем вместо этого определить

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}f:=R{\mathcal {F}}f={\mathcal {F}}Rf.}$

Непосредственно из определения преобразования Фурье и оператора переворота следует, что оба ${\displaystyle R{\mathcal {F}}f}$ и ${\displaystyle {\mathcal {F}}Rf}$ соответствовать интегральному определению ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}f}$, и, в частности, равны друг другу и удовлетворяют ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x)}$.

С ${\displaystyle Rf=R{\mathcal {F}}^{-1}{\mathcal {F}}f=RR{\mathcal {FF}}f}$ у нас есть ${\displaystyle R={\mathcal {F}}^{2}}$ и

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}={\mathcal {F}}^{3}.}$

Двусторонний инверсный

Форма сформулированной выше теоремы об обращении Фурье, как правило, такова:

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x).}$

Другими словами, ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}}$ является левым обратным преобразованию Фурье. Однако это также право обратное преобразованию Фурье, т.е.

${\displaystyle {\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}f)(\xi )=f(\xi ).}$

С ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}}$ так похоже на ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, это очень легко следует из теоремы обращения Фурье (замена переменных ${\displaystyle \zeta :=-\zeta }$):

${\displaystyle {\begin{aligned}f&={\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)\\[6pt]&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{2\pi ix\cdot \xi }\,e^{-2\pi iy\cdot \xi }\,f(y)\,dy\,d\xi \\[6pt]&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-2\pi ix\cdot \zeta }\,e^{2\pi iy\cdot \zeta }\,f(y)\,dy\,d\zeta \\[6pt]&={\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}f)(x).\end{aligned}}}$

Как вариант, это можно увидеть из соотношения между ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}f}$ и оператор переворота и ассоциативность из функциональная композиция, поскольку

${\displaystyle f={\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)={\mathcal {F}}R{\mathcal {F}}f={\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}f).}$

Условия на функцию

При использовании в физике и технике теорема обращения Фурье часто используется в предположении, что все «ведет себя хорошо». В математике такие эвристические аргументы недопустимы, и теорема обращения Фурье включает явное указание того, какой класс функций разрешен. Однако не существует «лучшего» класса функций для рассмотрения, поэтому существует несколько вариантов теоремы обращения Фурье, хотя и с совместимыми выводами.

Функции Шварца

Теорема обращения Фурье верна для всех Функции Шварца (грубо говоря, гладкие функции, которые быстро убывают и все производные которых быстро убывают). Это условие имеет то преимущество, что оно представляет собой элементарное прямое утверждение о функции (в отличие от наложения условия на ее преобразование Фурье), а интеграл, определяющий преобразование Фурье, и его обратное преобразование являются абсолютно интегрируемыми. Эта версия теоремы используется при доказательстве теоремы обращения Фурье для умеренных распределений (см. Ниже).

Интегрируемые функции с интегрируемым преобразованием Фурье

Теорема обращения Фурье верна для всех непрерывных функций, которые абсолютно интегрируемы (т. Е. ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$) с абсолютно интегрируемым преобразованием Фурье. Сюда входят все функции Шварца, так что это строго более сильная форма теоремы, чем предыдущая. Это условие используется выше в раздел выписки.

Небольшой вариант - отказаться от условия, что функция ${\displaystyle f}$ быть непрерывным, но при этом требовать, чтобы он и его преобразование Фурье были абсолютно интегрируемыми. потом ${\displaystyle f=g}$ почти всюду куда грамм - непрерывная функция, а ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=g(x)}$ для каждого ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$.

Интегрируемые функции в одном измерении

Кусочно-гладкая; одно измерение

Если функция абсолютно интегрируема в одном измерении (т. Е. ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} )}$) и является кусочно гладким, то справедлива версия теоремы обращения Фурье. В этом случае мы определяем

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}g(x):=\lim _{R\to \infty }\int _{-R}^{R}e^{2\pi ix\xi }\,g(\xi )\,d\xi .}$

Тогда для всех ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)={\frac {1}{2}}(f(x_{-})+f(x_{+})),}$

т.е. ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)}$ равно среднему значению левого и правого пределов ${\displaystyle f}$ в ${\displaystyle x}$. В точках, где ${\displaystyle f}$ непрерывно это просто равно ${\displaystyle f(x)}$.

Имеет место и многомерный аналог этой формы теоремы, но, согласно Folland (1992), он «довольно тонкий и не очень полезный».

Кусочно-непрерывный; одно измерение

Если функция абсолютно интегрируема в одном измерении (т. Е. ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} )}$), но просто кусочно-непрерывный, то версия теоремы об обращении Фурье все еще верна. В этом случае интеграл в обратном преобразовании Фурье определяется с помощью гладкой, а не точной отсекающей функции; конкретно мы определяем

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}g(x):=\lim _{R\to \infty }\int _{\mathbb {R} }\varphi (\xi /R)\,e^{2\pi ix\xi }\,g(\xi )\,d\xi ,\qquad \varphi (\xi ):=e^{-\xi ^{2}}.}$

Заключение теоремы тогда такое же, как и для рассмотренного выше кусочно-гладкого случая.

Непрерывный; любое количество измерений

Если ${\displaystyle f}$ непрерывна и абсолютно интегрируема на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ то теорема об обращении Фурье все еще остается в силе, пока мы снова определяем обратное преобразование с гладкой функцией отсечения, т.е.

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}g(x):=\lim _{R\to \infty }\int _{\mathbb {R} ^{n}}\varphi (\xi /R)\,e^{2\pi ix\cdot \xi }\,g(\xi )\,d\xi ,\qquad \varphi (\xi ):=e^{-\vert \xi \vert ^{2}}.}$

Вывод просто таков, что для всех ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x).}$

Нет условия регулярности; любое количество измерений

Если отбросить все предположения о (кусочной) непрерывности ${\displaystyle f}$ и предположим просто, что она абсолютно интегрируема, тогда версия теоремы все еще верна. Обратное преобразование снова определяется с помощью гладкого обрезания, но с заключением, что

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x)}$

за почти каждый ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}.}$ ^[1]

Квадратные интегрируемые функции

В этом случае преобразование Фурье не может быть определено напрямую как интеграл, поскольку оно может не быть абсолютно сходящимся, поэтому вместо этого оно определяется аргументом плотности (см. Статья о преобразовании Фурье ). Например, положив

${\displaystyle g_{k}(\xi ):=\int _{\{y\in \mathbb {R} ^{n}:\left\vert y\right\vert \leq k\}}e^{-2\pi iy\cdot \xi }\,f(y)\,dy,\qquad k\in \mathbb {N} ,}$

мы можем установить ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {F}}f:=\lim _{k\to \infty }g_{k}}$ где предел взят в ${\displaystyle L^{2}}$-норма. Обратное преобразование может быть определено посредством плотности таким же образом или путем определения его в терминах преобразования Фурье и оператора переворота. Тогда у нас есть

${\displaystyle f(x)={\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}f)(x)={\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)}$

в среднеквадратичная норма. В одном измерении (и только в одном измерении) можно также показать, что оно сходится для почти каждый Икс∈ℝ- это Теорема Карлесона, но доказать гораздо труднее, чем сходимость в среднеквадратичной норме.

Закаленные дистрибутивы

Преобразование Фурье может быть определено в пространстве умеренных распределений ${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$ двойственностью преобразования Фурье на пространстве функций Шварца. Специально для ${\displaystyle f\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$ и для всех тестовых функций ${\displaystyle \varphi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ мы установили

${\displaystyle \langle {\mathcal {F}}f,\varphi \rangle :=\langle f,{\mathcal {F}}\varphi \rangle ,}$

куда ${\displaystyle {\mathcal {F}}\varphi }$ определяется с помощью интегральной формулы. Если ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})\cap L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ тогда это согласуется с обычным определением. Мы можем определить обратное преобразование ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}\colon {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$либо путем двойственности из обратного преобразования функций Шварца таким же образом, либо путем определения его в терминах оператора переворота (где оператор переворота определяется двойственностью). Тогда у нас есть

${\displaystyle {\mathcal {F}}{\mathcal {F}}^{-1}={\mathcal {F}}^{-1}{\mathcal {F}}=\operatorname {Id} _{{\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}.}$

Связь с рядами Фурье

При рассмотрении ряда Фурье функции принято масштабировать ее так, чтобы она действовала на ${\displaystyle [0,2\pi ]}$ (или есть ${\displaystyle 2\pi }$-периодический). В этом разделе мы вместо этого используем несколько необычное соглашение: ${\displaystyle f}$ действовать на ${\displaystyle [0,1]}$, поскольку это соответствует соглашению о преобразовании Фурье, используемом здесь.

Теорема обращения Фурье аналогична теореме сходимость ряда Фурье. В случае преобразования Фурье имеем

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} ,\quad {\hat {f}}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} ,}$

${\displaystyle {\hat {f}}(\xi ):=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-2\pi iy\cdot \xi }\,f(y)\,dy,}$

${\displaystyle f(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{2\pi ix\cdot \xi }\,{\hat {f}}(\xi )\,d\xi .}$

Вместо этого в случае рядов Фурье имеем

${\displaystyle f\colon [0,1]^{n}\to \mathbb {C} ,\quad {\hat {f}}\colon \mathbb {Z} ^{n}\to \mathbb {C} ,}$

${\displaystyle {\hat {f}}(k):=\int _{[0,1]^{n}}e^{-2\pi iy\cdot k}\,f(y)\,dy,}$

${\displaystyle f(x)=\sum _{k\in \mathbb {Z} ^{n}}e^{2\pi ix\cdot k}\,{\hat {f}}(k).}$

В частности, в одном измерении ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ и сумма исчисляется от ${\displaystyle -\infty }$ к ${\displaystyle \infty }$.

Приложения

Некоторые проблемы, такие как определенные дифференциальные уравнения, становится легче решать, когда применяется преобразование Фурье. В этом случае решение исходной задачи восстанавливается с помощью обратного преобразования Фурье.

В применения преобразования Фурье теорема обращения Фурье часто играет решающую роль. Во многих ситуациях основная стратегия заключается в применении преобразования Фурье, выполнении некоторых операций или упрощений, а затем применении обратного преобразования Фурье.

Говоря более абстрактно, теорема обращения Фурье - это утверждение о преобразовании Фурье как о оператор (видеть Преобразование Фурье на функциональных пространствах ). Например, теорема обращения Фурье о ${\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ показывает, что преобразование Фурье является унитарным оператором на ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$.

Свойства обратного преобразования

Обратное преобразование Фурье очень похоже на исходное преобразование Фурье: как обсуждалось выше, оно отличается только применением оператора переворота. По этой причине свойства преобразования Фурье справедливы для обратного преобразования Фурье, такого как Теорема свертки и Лемма Римана – Лебега..

Таблицы преобразований Фурье можно легко использовать для обратного преобразования Фурье, составив функцию поиска с помощью оператора переворота. Например, просматривая преобразование Фурье функции rect, мы видим, что

${\displaystyle f(x)=\operatorname {rect} (ax)\quad \Rightarrow \quad ({\mathcal {F}}f)(\xi )={\frac {1}{|a|}}\operatorname {sinc} \left({\frac {\xi }{a}}\right)\!,}$

поэтому соответствующий факт для обратного преобразования равен

${\displaystyle g(\xi )=\operatorname {rect} (a\xi )\quad \Rightarrow \quad ({\mathcal {F}}^{-1}g)(x)={\frac {1}{|a|}}\operatorname {sinc} \left(-{\frac {x}{a}}\right)\!.}$

Доказательство

Доказательство использует несколько фактов, учитывая ${\displaystyle f(y)}$ и ${\displaystyle {\mathcal {F}}f(\xi )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-2\pi iy\cdot \xi }f(y)\,dy}$.

1. Если ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ и ${\displaystyle g(\xi )=e^{2\pi \mathrm {i} x\cdot \xi }\psi (\xi )}$, тогда ${\displaystyle ({\mathcal {F}}g)(y)=({\mathcal {F}}\psi )(y-x)}$.
2. Если ${\displaystyle \varepsilon \in \mathbb {R} }$ и ${\displaystyle \psi (\xi )=\varphi (\varepsilon \xi )}$, тогда ${\displaystyle ({\mathcal {F}}\psi )(y)=({\mathcal {F}}\varphi )(y/\varepsilon )/|\varepsilon |}$.
3. За ${\displaystyle f,g\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$, Теорема Фубини подразумевает, что ${\displaystyle \textstyle \int g(\xi )\cdot ({\mathcal {F}}f)(\xi )\,d\xi =\int ({\mathcal {F}}g)(y)\cdot f(y)\,dy}$.
4. Определять ${\displaystyle \varphi (\xi )=e^{-\pi \vert \xi \vert ^{2}}}$; тогда ${\displaystyle ({\mathcal {F}}\varphi )(y)=\varphi (y)}$.
5. Определять ${\displaystyle \varphi _{\varepsilon }(y)=\varphi (y/\varepsilon )/\varepsilon ^{n}}$. Затем с ${\displaystyle \ast }$ обозначающий свертка, ${\displaystyle \varphi _{\varepsilon }}$ является приближение к тождеству: для любого непрерывного ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ и указать ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}(\varphi _{\varepsilon }\ast f)(x)=f(x)}$ (где сходимость поточечная).

Поскольку по предположению ${\displaystyle {\mathcal {F}}f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$, то следует теорема о доминируемой сходимости который

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{2\pi ix\cdot \xi }({\mathcal {F}}f)(\xi )\,d\xi =\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-\pi \varepsilon ^{2}|\xi |^{2}+2\pi ix\cdot \xi }({\mathcal {F}}f)(\xi )\,d\xi .}$

Определять ${\displaystyle g_{x}(\xi )=e^{-\pi \varepsilon ^{2}\vert \xi \vert ^{2}+2\pi \mathrm {i} x\cdot \xi }}$. Применяя факты 1, 2 и 4, если необходимо, многократно для кратных интегралов, получаем

${\displaystyle ({\mathcal {F}}g_{x})(y)={\frac {1}{\varepsilon ^{n}}}e^{-{\frac {\pi }{\varepsilon ^{2}}}|x-y|^{2}}=\varphi _{\varepsilon }(x-y).}$

Используя факт 3 о ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g_{x}}$, для каждого ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$, у нас есть

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-\pi \varepsilon ^{2}|\xi |^{2}+2\pi ix\cdot \xi }({\mathcal {F}}f)(\xi )\,d\xi =\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\frac {1}{\varepsilon ^{n}}}e^{-{\frac {\pi }{\varepsilon ^{2}}}|x-y|^{2}}f(y)\,dy=(\varphi _{\varepsilon }*f)(x),}$

свертка ${\displaystyle f}$ с примерной тож. Но с тех пор ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$, факт 5 говорит, что

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}(\varphi _{\varepsilon }*f)(x)=f(x).}$

Объединив все вышесказанное, мы показали, что

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{2\pi ix\cdot \xi }({\mathcal {F}}f)(\xi )\,d\xi =f(x).\qquad \square }$

Примечания

1. An оператор это преобразование, которое отображает функции в функции. Оператор переворота, преобразование Фурье, обратное преобразование Фурье и тождественное преобразование - все это примеры операторов.

Рекомендации

• Фолланд, Г.Б. (1992). Фурье-анализ и его приложения. Белмонт, Калифорния, США: Уодсворт. ISBN  0-534-17094-3.
• Фолланд, Г.Б. (1995). Введение в уравнения с частными производными (2-е изд.). Принстон, США: Princeton Univ. Нажмите. ISBN  978-0-691-04361-6.

1. "DMat0101, Примечания 3: Преобразование Фурье на L ^ 1". Я проснулся в странном месте. 2011-03-10. Получено 2018-02-12.