Теорема обращения Фурье - Fourier inversion theorem

В математика, то Теорема обращения Фурье говорит, что для многих типов функций можно восстановить функцию из ее преобразование Фурье. Интуитивно это можно рассматривать как утверждение, что если мы знаем все частота и фаза информации о волне, тогда мы можем точно восстановить исходную волну.

Теорема гласит, что если у нас есть функция удовлетворяющие определенным условиям, и мы используем соглашение о преобразовании Фурье который

тогда

Другими словами, теорема говорит, что

Это последнее уравнение называется Интегральная теорема Фурье.

Другой способ сформулировать теорему: если это оператор переворота, т.е. , тогда

Теорема верна, если оба и его преобразование Фурье равны абсолютно интегрируемыйЧувство Лебега ) и непрерывна в точке . Однако даже при более общих условиях верны версии теоремы обращения Фурье. В этих случаях указанные выше интегралы могут не сходиться в обычном смысле.

Заявление

В этом разделе мы предполагаем, что - интегрируемая непрерывная функция. Использовать соглашение о преобразовании Фурье который

Кроме того, мы предполагаем, что преобразование Фурье также интегрируемо.

Обратное преобразование Фурье как интеграл

Наиболее распространенное утверждение теоремы об обращении Фурье состоит в том, чтобы представить обратное преобразование как интеграл. Для любой интегрируемой функции и все набор

Тогда для всех у нас есть

Интегральная теорема Фурье

Теорема может быть переформулирована как

Если ж является действительным значением, то, взяв действительную часть каждой стороны указанного выше, мы получаем

Обратное преобразование в терминах оператора переворота

Для любой функции определить оператор переворота[примечание 1] к

Тогда мы можем вместо этого определить

Непосредственно из определения преобразования Фурье и оператора переворота следует, что оба и соответствовать интегральному определению , и, в частности, равны друг другу и удовлетворяют .

С у нас есть и

Двусторонний инверсный

Форма сформулированной выше теоремы об обращении Фурье, как правило, такова:

Другими словами, является левым обратным преобразованию Фурье. Однако это также право обратное преобразованию Фурье, т.е.

С так похоже на , это очень легко следует из теоремы обращения Фурье (замена переменных ):

Как вариант, это можно увидеть из соотношения между и оператор переворота и ассоциативность из функциональная композиция, поскольку

Условия на функцию

При использовании в физике и технике теорема обращения Фурье часто используется в предположении, что все «ведет себя хорошо». В математике такие эвристические аргументы недопустимы, и теорема обращения Фурье включает явное указание того, какой класс функций разрешен. Однако не существует «лучшего» класса функций для рассмотрения, поэтому существует несколько вариантов теоремы обращения Фурье, хотя и с совместимыми выводами.

Функции Шварца

Теорема обращения Фурье верна для всех Функции Шварца (грубо говоря, гладкие функции, которые быстро убывают и все производные которых быстро убывают). Это условие имеет то преимущество, что оно представляет собой элементарное прямое утверждение о функции (в отличие от наложения условия на ее преобразование Фурье), а интеграл, определяющий преобразование Фурье, и его обратное преобразование являются абсолютно интегрируемыми. Эта версия теоремы используется при доказательстве теоремы обращения Фурье для умеренных распределений (см. Ниже).

Интегрируемые функции с интегрируемым преобразованием Фурье

Теорема обращения Фурье верна для всех непрерывных функций, которые абсолютно интегрируемы (т. Е. ) с абсолютно интегрируемым преобразованием Фурье. Сюда входят все функции Шварца, так что это строго более сильная форма теоремы, чем предыдущая. Это условие используется выше в раздел выписки.

Небольшой вариант - отказаться от условия, что функция быть непрерывным, но при этом требовать, чтобы он и его преобразование Фурье были абсолютно интегрируемыми. потом почти всюду куда грамм - непрерывная функция, а для каждого .

Интегрируемые функции в одном измерении

Кусочно-гладкая; одно измерение

Если функция абсолютно интегрируема в одном измерении (т. Е. ) и является кусочно гладким, то справедлива версия теоремы обращения Фурье. В этом случае мы определяем

Тогда для всех

т.е. равно среднему значению левого и правого пределов в . В точках, где непрерывно это просто равно .

Имеет место и многомерный аналог этой формы теоремы, но, согласно Folland (1992), он «довольно тонкий и не очень полезный».

Кусочно-непрерывный; одно измерение

Если функция абсолютно интегрируема в одном измерении (т. Е. ), но просто кусочно-непрерывный, то версия теоремы об обращении Фурье все еще верна. В этом случае интеграл в обратном преобразовании Фурье определяется с помощью гладкой, а не точной отсекающей функции; конкретно мы определяем

Заключение теоремы тогда такое же, как и для рассмотренного выше кусочно-гладкого случая.

Непрерывный; любое количество измерений

Если непрерывна и абсолютно интегрируема на то теорема об обращении Фурье все еще остается в силе, пока мы снова определяем обратное преобразование с гладкой функцией отсечения, т.е.

Вывод просто таков, что для всех

Нет условия регулярности; любое количество измерений

Если отбросить все предположения о (кусочной) непрерывности и предположим просто, что она абсолютно интегрируема, тогда версия теоремы все еще верна. Обратное преобразование снова определяется с помощью гладкого обрезания, но с заключением, что

за почти каждый [1]

Квадратные интегрируемые функции

В этом случае преобразование Фурье не может быть определено напрямую как интеграл, поскольку оно может не быть абсолютно сходящимся, поэтому вместо этого оно определяется аргументом плотности (см. Статья о преобразовании Фурье ). Например, положив

мы можем установить где предел взят в -норма. Обратное преобразование может быть определено посредством плотности таким же образом или путем определения его в терминах преобразования Фурье и оператора переворота. Тогда у нас есть

в среднеквадратичная норма. В одном измерении (и только в одном измерении) можно также показать, что оно сходится для почти каждый Икс∈ℝ- это Теорема Карлесона, но доказать гораздо труднее, чем сходимость в среднеквадратичной норме.

Закаленные дистрибутивы

Преобразование Фурье может быть определено в пространстве умеренных распределений двойственностью преобразования Фурье на пространстве функций Шварца. Специально для и для всех тестовых функций мы установили

куда определяется с помощью интегральной формулы. Если тогда это согласуется с обычным определением. Мы можем определить обратное преобразование либо путем двойственности из обратного преобразования функций Шварца таким же образом, либо путем определения его в терминах оператора переворота (где оператор переворота определяется двойственностью). Тогда у нас есть

Связь с рядами Фурье

При рассмотрении ряда Фурье функции принято масштабировать ее так, чтобы она действовала на (или есть -периодический). В этом разделе мы вместо этого используем несколько необычное соглашение: действовать на , поскольку это соответствует соглашению о преобразовании Фурье, используемом здесь.

Теорема обращения Фурье аналогична теореме сходимость ряда Фурье. В случае преобразования Фурье имеем

Вместо этого в случае рядов Фурье имеем

В частности, в одном измерении и сумма исчисляется от к .

Приложения

Некоторые проблемы, такие как определенные дифференциальные уравнения, становится легче решать, когда применяется преобразование Фурье. В этом случае решение исходной задачи восстанавливается с помощью обратного преобразования Фурье.

В применения преобразования Фурье теорема обращения Фурье часто играет решающую роль. Во многих ситуациях основная стратегия заключается в применении преобразования Фурье, выполнении некоторых операций или упрощений, а затем применении обратного преобразования Фурье.

Говоря более абстрактно, теорема обращения Фурье - это утверждение о преобразовании Фурье как о оператор (видеть Преобразование Фурье на функциональных пространствах ). Например, теорема обращения Фурье о показывает, что преобразование Фурье является унитарным оператором на .

Свойства обратного преобразования

Обратное преобразование Фурье очень похоже на исходное преобразование Фурье: как обсуждалось выше, оно отличается только применением оператора переворота. По этой причине свойства преобразования Фурье справедливы для обратного преобразования Фурье, такого как Теорема свертки и Лемма Римана – Лебега..

Таблицы преобразований Фурье можно легко использовать для обратного преобразования Фурье, составив функцию поиска с помощью оператора переворота. Например, просматривая преобразование Фурье функции rect, мы видим, что

поэтому соответствующий факт для обратного преобразования равен

Доказательство

Доказательство использует несколько фактов, учитывая и .

  1. Если и , тогда .
  2. Если и , тогда .
  3. За , Теорема Фубини подразумевает, что .
  4. Определять ; тогда .
  5. Определять . Затем с обозначающий свертка, является приближение к тождеству: для любого непрерывного и указать , (где сходимость поточечная).

Поскольку по предположению , то следует теорема о доминируемой сходимости который

Определять . Применяя факты 1, 2 и 4, если необходимо, многократно для кратных интегралов, получаем

Используя факт 3 о и , для каждого , у нас есть

свертка с примерной тож. Но с тех пор , факт 5 говорит, что

Объединив все вышесказанное, мы показали, что

Примечания

  1. ^ An оператор это преобразование, которое отображает функции в функции. Оператор переворота, преобразование Фурье, обратное преобразование Фурье и тождественное преобразование - все это примеры операторов.

Рекомендации

  • Фолланд, Г.Б. (1992). Фурье-анализ и его приложения. Белмонт, Калифорния, США: Уодсворт. ISBN  0-534-17094-3.
  • Фолланд, Г.Б. (1995). Введение в уравнения с частными производными (2-е изд.). Принстон, США: Princeton Univ. Нажмите. ISBN  978-0-691-04361-6.
  1. ^ "DMat0101, Примечания 3: Преобразование Фурье на L ^ 1". Я проснулся в странном месте. 2011-03-10. Получено 2018-02-12.