Абсолютно интегрируемая функция - Absolutely integrable function

В математика, абсолютно интегрируемая функция это функция чей абсолютная величина является интегрируемый, означающее, что интеграл от абсолютного значения по всей домен конечно.

Для настоящий -значная функция, поскольку

${\displaystyle \int |f(x)|dx=\int f^{+}(x)dx+\int f^{-}(x)dx}$

куда

${\displaystyle f^{+}(x)=\max(f(x),0),\ \ \ f^{-}(x)=\max(-f(x),0),}$

обе ${\displaystyle \int f^{+}(x)dx}$ и ${\displaystyle \int f^{-}(x)dx}$ должно быть конечным. В Интеграция Лебега, это в точности требование для любого измеримая функция ж считаться интегрируемым, при этом интеграл равен ${\displaystyle \int f^{+}(x)dx-\int f^{-}(x)dx}$, так что фактически «абсолютно интегрируемый» означает то же самое, что «интегрируемый по Лебегу» для измеримых функций.

То же самое и с сложный -значная функция. Определим

${\displaystyle f^{+}(x)=\max(\Re f(x),0)}$

${\displaystyle f^{-}(x)=\max(-\Re f(x),0)}$

${\displaystyle f^{+i}(x)=\max(\Im f(x),0)}$

${\displaystyle f^{-i}(x)=\max(-\Im f(x),0)}$

куда ${\displaystyle \Re f(x)}$ и ${\displaystyle \Im f(x)}$ являются реальные и мнимые части из ${\displaystyle f(x)}$. потом

${\displaystyle |f(x)|\leq f^{+}(x)+f^{-}(x)+f^{+i}(x)+f^{-i}(x)\leq {\sqrt {2}}\,|f(x)|}$

так

${\displaystyle \int |f(x)|dx\leq \int f^{+}(x)dx+\int f^{-}(x)dx+\int f^{+i}(x)dx+\int f^{-i}(x)dx\leq {\sqrt {2}}\int |f(x)|dx}$

Это показывает, что сумма четырех интегралов (в середине) конечна тогда и только тогда, когда интеграл от модуля конечен, а функция является интегрируемой по Лебегу, только если все четыре интеграла конечны. Таким образом, наличие конечного интеграла от модуля эквивалентно условиям, при которых функция "интегрируема по Лебегу".

внешняя ссылка

• «Абсолютно интегрируемая функция - Математическая энциклопедия». Получено 9 октября 2015.