Функция Дирихле - Dirichlet function

В математика, то Функция Дирихле^[1][2] это индикаторная функция 1_ℚ из набора рациональное число ℚ, т.е. 1_ℚ(Икс) = 1, если Икс является рациональным числом и 1_ℚ(Икс) = 0, если Икс не является рациональным числом (т.е. иррациональный номер ).

Назван в честь математика. Питер Густав Лежен Дирихле.^[3] Это пример патологическая функция что дает контрпримеры для многих ситуаций.

Топологические свойства

• Функция Дирихле есть нигде непрерывный.

Доказательство —

• Если у рационально, то ж(у) = 1. Чтобы показать, что функция не является непрерывной при у, нам нужно найти ε так что независимо от того, насколько малы мы выбираем δ, будут очки z в пределах δ из у такой, что ж(z) не в пределах ε из ж(у) = 1. Фактически, 1/2 - это такой ε. Поскольку иррациональные числа находятся плотный в реалах, несмотря ни на что δ мы выбираем, мы всегда можем найти иррациональное z в пределах δ из у, и ж(z) = 0 как минимум на 1/2 от 1.
• Если у иррационально, то ж(у) = 0. Опять же, мы можем взять ε = 1/2, и на этот раз, поскольку рациональные числа плотны в действительных числах, мы можем выбрать z быть рациональным числом как можно ближе к у как требуется. Очередной раз, ж(z) = 1 более чем на 1/2 от ж(у) = 0.

Его ограничения на множество рациональных чисел и на множество иррациональных чисел следующие: константы и, следовательно, непрерывный. Функция Дирихле - это архетипический пример Теорема Блюмберга.

• Функцию Дирихле можно построить как двойной поточечный предел последовательности непрерывных функций следующим образом:

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\quad \mathbf {1} _{\mathbb {Q} }(x)=\lim _{k\to \infty }\left(\lim _{j\to \infty }\left(\cos(k!\pi x)\right)^{2j}\right)}$

для целого числа j и k. Это показывает, что функция Дирихле является Класс Бэра 2 функции. Она не может быть функцией Бэра класса 1, потому что функция Бэра класса 1 может быть разрывной только на скудный набор.^[4]

Периодичность

Для любого реального числа Икс и любое положительное рациональное число Т, 1_ℚ(Икс + Т) = 1_ℚ(Икс). Таким образом, функция Дирихле является примером реального периодическая функция который не постоянный но чей набор периодов, набор рациональных чисел, является плотное подмножество из ℝ.

Свойства интеграции

• Функция Дирихле не является Интегрируемый по Риману на любом отрезке, тогда как он ограничен, поскольку множество его точек разрыва не незначительный (для Мера Лебега ).
• Функция Дирихле дает контрпример, показывающий, что теорема о монотонной сходимости неверно в контексте интеграла Римана.

Доказательство —

Используя перечисление рациональных чисел от 0 до 1, определим функцию ж_п(для всех неотрицательных целых п) как индикаторную функцию множества первых п члены этой последовательности рациональных чисел. Возрастающая последовательность функций ж_п (которые неотрицательны, интегрируемы по Риману с исчезающим интегралом) поточечно сходится к функции Дирихле, которая не является интегрируемой по Риману.

• Функция Дирихле есть Интегрируемый по Лебегу на и его интеграл по равен нулю, потому что он равен нулю, за исключением множества рациональных чисел, которым можно пренебречь (для меры Лебега).

использованная литература

1. «Дирихле-функция», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
2. Функция Дирихле - из MathWorld
3. Лежен Дирихле, Питер Густав (1829). "Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction artemar entre des limites données". Журнал für die reine und angewandte Mathematik. 4: 157–169.
4. Данэм, Уильям (2005). Галерея исчислений. Princeton University Press. п. 197. ISBN  0-691-09565-5.