Другой идеал - Different ideal

В алгебраическая теория чисел, то другой идеал (иногда просто разные) определяется для измерения (возможного) отсутствия двойственности в кольцо целых чисел из поле алгебраических чисел K, с уважением к полевой след. Затем он кодирует разветвление данные для главные идеалы кольца целых чисел. Он был представлен Ричард Дедекинд в 1882 г.^[1][2]

Определение

Если О_K кольцо целых чисел K, и tr обозначает след поля от K к поле рациональных чисел Q, тогда

${\displaystyle x\mapsto \mathrm {tr} ~x^{2}}$

является интегральная квадратичная форма на О_K. Его дискриминант поскольку квадратичная форма не обязательно должна быть +1 (на самом деле это происходит только для случая K = Q). Определить инвертировать разные или же различный^[3][4] или же Дополнительный модуль Дедекинда^[5] как набор я из Икс ∈ K такой, что tr (ху) является целым числом для всех у в О_K, тогда я это дробный идеал из K содержащий О_K. По определению другой идеал δ_K обратный дробный идеал я⁻¹: это идеал О_K.

В идеальная норма из δ_K равен идеалу Z генерируется дискриминант поля D_K изK.

В отличается от элемента α из K с минимальным полиномом ж определяется как δ (α) = ж′ (Α), если α порождает поле K (и ноль в противном случае):^[6] мы можем написать

${\displaystyle \delta (\alpha )=\prod \left({\alpha -\alpha ^{(i)}}\right)\ }$

где α^(я) пробегают все корни характеристического многочлена α, кроме самого α.^[7] Другой идеал порождается разностями всех целых чисел α в О_K.^[6][8] Это первоначальное определение Дедекинда.^[9]

Другое также определено для расширение конечной степени из местные поля. Он играет основную роль в Понтрягинская двойственность за p-адические поля.

Относительно разные

В относительно разные δ_L / K аналогичным образом определяется для расширения числовых полей L / K. В относительная норма относительной разности тогда равна относительному дискриминанту Δ_L / K.^[10] В башня полей L / K / F относительные разности связаны соотношением δ_L / F = δ_L / Kδ_K / F.^[5][11]

Относительное различное равно аннигилятору относительного Кэлер дифференциал модуль ${\displaystyle \Omega _{O_{L}/O_{K}}^{1}}$:^[10][12]

${\displaystyle \delta _{L/K}=\{x\in O_{L}:x\mathrm {d} y=0{\text{ for all }}y\in O_{L}\}.}$

В идеальный класс относительных различных δ_L / K всегда квадрат в классная группа из О_L, кольцо целых чисел L.^[13] Поскольку относительный дискриминант является нормой относительного различия, он представляет собой квадрат класса в группе классов О_K:^[14] действительно, это квадрат Класс Стейница за О_L как О_K-модуль.^[15]

Разветвление

Относительное различное кодирует разветвление данные расширения поля L / K. Главный идеал п из K разветвляется в L если факторизация п в L содержит штрих из L в степень выше 1: это происходит тогда и только тогда, когда п делит относительный дискриминант Δ_L / K. Точнее, если

п = п₁^е(1) ... п_k^е(k)

это факторизация п в главные идеалы L тогда п_я делит относительные различные δ_L / K если и только если п_я разветвлен, то есть тогда и только тогда, когда индекс ветвления е(я) больше 1.^[11][16] Точная экспонента, до которой разветвленное простое число п делит δ, называется дифференциальный показатель из п и равен е - 1 если п является аккуратно разветвленный: то есть когда п не разделяет е.^[17] В случае, когда п является дико разветвленный дифференциальный показатель лежит в диапазоне е к е + еν_п(д) - 1.^[16][18][19] Дифференциальный показатель может быть вычислен из порядков высшие группы ветвления для расширений Галуа:^[20]

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }(|G_{i}|-1).}$

Локальное вычисление

Другое может быть определено для расширения локальных полей L / K. В этом случае мы можем принять расширение как просто, порожденный примитивным элементом α, который также порождает интегральная основа мощности. Если ж является минимальным многочленом для α, то разное порождаетсяf '(α).

Примечания

1. Дедекинд 1882
2. Бурбаки 1994, п. 102
3. Серр 1979, п. 50
4. Фрёлих и Тейлор 1991, п. 125
5. Нойкирх 1999, п. 195
6. Наркевич 1990, п. 160
7. Гекке 1981, п. 116
8. Гекке 1981, п. 121
9. Нойкирх 1999, стр. 197–198
10. Нойкирх 1999, п. 201
11. Фрёлих и Тейлор 1991, п. 126
12. Серр 1979, п. 59
13. Гекке 1981, стр. 234–236
14. Наркевич 1990, п. 304
15. Наркевич 1990, п. 401
16. Нойкирх 1999, стр.199
17. Наркевич 1990, п. 166
18. Вайс 1976, п. 114
19. Наркевич 1990, стр. 194, 270
20. Вайс 1976, п. 115

Рекомендации

• Бурбаки, Николас (1994). Элементы истории математики. Перевод Мелдрам, Джон. Берлин: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-64767-6. МИСТЕР  1290116.
• Дедекинд, Ричард (1882), "Über die Discriminanten endlicher Körper", Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 29 (2): 1–56. Проверено 5 августа 2009 г.
• Фрёлих, Альбрехт; Тейлор, Мартин (1991), Алгебраическая теория чисел, Кембриджские исследования по высшей математике, 27, Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-36664-X, Zbl  0744.11001
• Гекке, Эрих (1981), Лекции по теории алгебраических чисел, Тексты для выпускников по математике, 77, переведенный Джорджем Брауэром; Джей Р. Голдман; при содействии Р. Котцена, Нью-Йорк – Гейдельберг – Берлин: Springer-Verlag, ISBN  3-540-90595-2, Zbl  0504.12001
• Наркевич, Владислав (1990), Элементарная и аналитическая теория алгебраических чисел (2-е, существенно переработанное и дополненное изд.), Springer-Verlag; PWN-Польские научные издательства, ISBN  3-540-51250-0, Zbl  0717.11045
• Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 322. Берлин: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-65399-8. МИСТЕР  1697859. Zbl  0956.11021.
• Серр, Жан-Пьер (1979), Местные поля, Тексты для выпускников по математике, 67, переведено Гринберг, Марвин Джей, Springer-Verlag, ISBN  0-387-90424-7, Zbl  0423.12016
• Вайс, Эдвин (1976), Алгебраическая теория чисел (2-е изд. Без изменений), Chelsea Publishing, ISBN  0-8284-0293-0, Zbl  0348.12101