Теорема Хассе – Арфа - Hasse–Arf theorem

В математика особенно в теория поля локальных классов, то Теорема Хассе – Арфа является результатом скачков верхняя нумерация фильтрация Группа Галуа конечного Расширение Галуа. Частный случай, когда поля вычетов конечны, был первоначально доказан Хельмут Хассе,^[1]^[2] и общий результат был доказан Cahit Arf.^[3]^[4]

Заявление

Высшие группы ветвления

Теорема имеет дело с пронумерованными старшими группами ветвления конечного абелево расширение L/K. Так что предположим L/K является конечным расширением Галуа, и что v_K это дискретная нормализованная оценка из K, поле вычетов которого имеет характеристику п > 0, который допускает единственное продолжение на L, сказать ш. Обозначим через v_L связанная нормализованная оценка фу из L и разреши ${ displaystyle scriptstyle { mathcal {O}}}$ быть оценочное кольцо из L под v_L. Позволять L/K имеют Группа Галуа грамм и определить s-я группа ветвления L/K для любого реального s ≥ −1 по

{ Displaystyle G_ {s} (L / K) = { sigma in G ,: , v_ {L} ( sigma aa) geq s + 1 { text {для всех}} a in { mathcal {O}} }.}

Так, например, грамм₋₁ группа Галуа грамм. Для перехода к верхней нумерации необходимо определить функцию ψ_L/K что, в свою очередь, является обратной функцией η_L/K определяется

{ displaystyle eta _ {L / K} (s) = int _ {0} ^ {s} { frac {dx} {| G_ {0}: G_ {x} |}}.}

Верхняя нумерация группы ветвления тогда определяется как грамм^т(L/K) = грамм_s(L/K) куда s = ψ_L/K(т).

Эти высшие группы ветвления грамм^т(L/K) определены для любых реальных т ≥ −1, но поскольку v_L - дискретная оценка, группы будут меняться дискретными скачками, а не непрерывно. Таким образом мы говорим, что т является скачком фильтрации {грамм^т(L/K) : т ≥ −1}, если грамм^т(L/K) ≠ грамм^ты(L/K) для любого ты > т. Теорема Хассе – Арфа говорит нам об арифметической природе этих скачков.

Формулировка теоремы

С учетом изложенного выше теорема утверждает, что скачки фильтрации {грамм^т(L/K) : т ≥ −1} все рациональные целые числа.^[4]^[5]

Пример

Предполагать грамм цикличен по порядку ${ displaystyle p ^ {n}}$ , ${ displaystyle p}$ остаточная характеристика и ${ Displaystyle G (я)}$ быть подгруппой ${ displaystyle G}$ порядка ${ displaystyle p ^ {n-i}}$ . Теорема утверждает, что существуют натуральные числа ${ displaystyle i_ {0}, i_ {1}, ..., i_ {n-1}}$ такой, что

{ Displaystyle G_ {0} = cdots = G_ {i_ {0}} = G = G ^ {0} = cdots = G ^ {i_ {0}}}

{ Displaystyle G_ {i_ {0} +1} = cdots = G_ {i_ {0} + pi_ {1}} = G (1) = G ^ {i_ {0} +1} = cdots = G ^ {i_ {0} + i_ {1}}}

{ displaystyle G_ {i_ {0} + pi_ {1} +1} = cdots = G_ {i_ {0} + pi_ {1} + p ^ {2} i_ {2}} = G (2) = G ^ {i_ {0} + i_ {1} +1}}

...

{ displaystyle G_ {i_ {0} + pi_ {1} + cdots + p ^ {n-1} i_ {n-1} +1} = 1 = G ^ {i_ {0} + cdots + i_ { п-1} +1}.}

^[4]

Неабелевы расширения

Для неабелевых расширений скачки верхней фильтрации не обязательно должны быть целыми. Серр привел пример полностью разветвленного расширения с группой Галуа группу кватернионов Q₈ порядка 8 с

грамм₀ = Q₈
грамм₁ = Q₈
грамм₂ = Z/2Z
грамм₃ = Z/2Z
грамм₄ = 1

Тогда верхняя нумерация удовлетворяет

грамм^п = Q₈ за п≤1
грамм^п = Z/2Z для 1 <п≤3/2
грамм^п = 1 для 3/2 <п

так есть скачок на нецелое значение п=3/2.

Примечания

^ Х. Хассе, Führer, Diskriminante und Verzweigunsgskörper relativ Abelscher Zahlkörper, J. Reine Angew. Математика. 162 (1930), стр. 169–184.
^ Х. Хассе, Normenresttheorie galoisscher Zahlkörper mit Anwendungen auf Führer und Diskriminante abelscher Zahlkörper, J. Fac. Sci. Токио 2 (1934), стр. 477–498.
^ Арф, К. (1939). "Untersuchungen über reinverzweigte Erweiterungen diskret bewerteter perfekter Körper". J. Reine Angew. Математика. (на немецком). 181: 1–44. Zbl 0021.20201.
^ ^а ^б ^c Серр (1979) IV.3, стр.76
^ Нойкирх (1999), теорема 8.9, стр.68