Модель Дике - Dicke model

В Модель Дике фундаментальная модель квантовая оптика, который описывает взаимодействие между свет и иметь значение. В модели Дике свет компонент описывается как одиночная квантовая мода, а иметь значение описывается как набор двухуровневые системы. Когда связь между светом и веществом пересекает критическое значение, модель Дике показывает среднее поле фаза перехода к сверхизлучательная фаза. Этот переход принадлежит Класс универсальности Изинга и была реализована экспериментально в квантовая электродинамика резонатора эксперименты. Хотя сверхизлучательный переход имеет некоторую аналогию с генерация При нестабильности эти два перехода относятся к разным классам универсальности.

Описание

Модель Дике - это квантово-механический модель, описывающая связь между одномодовым резонатором и ${\displaystyle N}$ двухуровневые системы, или эквивалентно ${\displaystyle N}$ спин-½ степени свободы. Модель была впервые представлена ​​в 1973 году компанией К. Хепп и Э. Х. Либ.^[1] Их исследование было вдохновлено новаторской работой Р. Х. Дике на сверхизлучатель излучение света в свободном пространстве ^[2] и назван в его честь.

Как и любая другая модель в квантовой механике, модель Дике включает набор квантовых состояний ( Гильбертово пространство ) и полной энергии оператор (в Гамильтониан ). В Гильбертово пространство модели Дике задается (тензорным произведением) состояний полости и двухуровневых систем. Гильбертово пространство полости можно натянуть на Фока заявляет с ${\displaystyle n}$ фотоны, обозначаемый ${\displaystyle |n\rangle }$. Эти состояния могут быть построены из вакуумного состояния ${\displaystyle |n=0\rangle }$ используя канонический операторы лестницы, ${\displaystyle a^{\dagger }}$ и ${\displaystyle a}$, которые добавляют и вычитают фотон из резонатора соответственно. Состояния каждой двухуровневой системы называются вверх и вниз и определяются через вращение операторы ${\displaystyle {\vec {\sigma }}_{j}=(\sigma _{j}^{x},~\sigma _{j}^{y},~\sigma _{j}^{z})}$, удовлетворяя спиновая алгебра ${\displaystyle [\sigma _{j}^{x},~\sigma _{k}^{y}]=i\hbar \sigma _{j}^{z}\delta _{j,k}}$. Здесь ${\displaystyle \hbar }$ это Постоянная Планка и ${\displaystyle j=(0,1,2,...,N)}$ указывает на конкретную двухуровневую систему.^[3]

В Гамильтониан модели Дике

$${\displaystyle H=\hbar \omega _{c}a^{\dagger }a+\omega _{z}\sum _{j=1}^{N}\sigma _{j}^{z}+{\frac {2\lambda }{\sqrt {N}}}(a+a^{\dagger })\sum _{j}\sigma _{j}^{x}\;.}$$

(1)

Здесь первый член описывает энергию резонатора и равен произведению энергии одного фотона резонатора. ${\displaystyle \hbar \omega _{c}}$ (куда ${\displaystyle \omega _{c}}$ частота резонатора), умноженное на количество фотонов в резонаторе, ${\displaystyle n_{c}=a^{\dagger }a}$. Второй член описывает энергию двухуровневых систем, где ${\displaystyle \hbar \omega _{z}}$ - разность энергий между состояниями каждой двухуровневой системы. Последний член описывает связь между двухуровневыми системами и резонатором и предполагается, что он пропорционален константе: ${\displaystyle \lambda }$, умноженное на величину, обратную квадратному корню из числа двухуровневых систем. Это предположение позволяет получить фазовый переход в пределе ${\displaystyle N\to \infty }$ (видеть ниже ). Связь можно записать как сумму двух членов: совместное вращение член, сохраняющий число возбуждений и пропорциональный ${\displaystyle a\sigma ^{+}+a^{\dagger }\sigma ^{-}}$ и противовращающийся срок, пропорциональный ${\displaystyle a\sigma ^{-}+a^{\dagger }\sigma ^{+}}$, куда ${\displaystyle \sigma ^{\pm }=\sigma ^{x}\pm i\sigma ^{y}}$ - операторы спиновой лестницы.

В Гамильтониан в уравнении. 1 предполагает, что все спины идентичны (т.е. имеют одинаковую разность энергий и одинаково связаны с полостью). В этом предположении можно определить макроскопические спиновые операторы ${\displaystyle S^{\alpha }=\sum _{j=1}^{N}\sigma _{j}^{\alpha }}$, с ${\displaystyle \alpha =x,y,z}$, которые удовлетворяют спиновая алгебра, ${\displaystyle [S^{x},S^{y}]=i\hbar S^{z}}$. Используя эти операторы, можно переписать Гамильтониан в уравнении. 1 в качестве

$${\displaystyle H=\hbar \omega _{c}a^{\dagger }a+\omega _{z}S^{z}+{\frac {2\lambda }{\sqrt {N}}}(a+a^{\dagger })S^{x}.}$$

(2)

Это обозначение упрощает численное исследование модели, поскольку в ней используется один спин-S с ${\displaystyle S\leq N/2}$, гильбертово пространство которого имеет размер ${\displaystyle 2S+1}$, скорее, чем ${\displaystyle N}$ спин-1/2, гильбертово пространство которого имеет размер ${\displaystyle 2^{N}}$.

В модели Дике есть один глобальная симметрия,

$${\displaystyle {\mathcal {P}}:(a,\sigma ^{\pm })\to (-a,-\sigma ^{\pm })\;.}$$

(3)

Потому что ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ квадратов к единице (т.е. если применить дважды, он возвращает каждое состояние в исходное состояние), он имеет два собственных значения, ${\displaystyle 1}$ и ${\displaystyle -1}$. Эта симметрия связана с сохраненное количество: четность общего числа возбуждений, ${\displaystyle P=(-1)^{N_{ex}}}$, куда

$${\displaystyle N_{ex}=a^{\dagger }a+\sum _{j=1}^{N}\sigma _{j}^{z}\;.}$$

(4)

Это сохранение четности можно увидеть из того факта, что каждый член в гамильтониане сохраняет число возбуждения, за исключением членов, вращающихся в противоположных направлениях, которые могут изменить число возбуждения только на ${\displaystyle \pm 2}$. Состояние модели Дике называется нормальный когда эта симметрия сохраняется, и сверхизлучатель когда эта симметрия спонтанно нарушается.

Связанные модели

Модель Дике тесно связана с другими моделями квантовой оптики. В частности, модель Дике с единой двухуровневой системой, ${\displaystyle N=1}$, называется моделью Раби. При отсутствии членов, вращающихся в противоположных направлениях, модель называется Джейнс-Каммингс за ${\displaystyle N=1}$ и Тэвис-Каммингс за ${\displaystyle N>1}$. Эти две модели сохраняют количество возбуждений ${\displaystyle N_{ex}}$ и характеризуются ${\displaystyle U(1)}$ симметрия. Спонтанное нарушение этой симметрии приводит к генерации состояния (см. ниже ).

Связь между моделью Дике и другими моделями резюмирована в таблице ниже. ^[4]

Название модели	Условия встречного вращения?	симметрия	Количество двухуровневых систем
Джейнс-Каммингс	нет	${\displaystyle U(1)}$	${\displaystyle N=1}$
Тэвис-Каммингс	нет	${\displaystyle U(1)}$	${\displaystyle N>1}$
Модель Раби	да	${\displaystyle {\mathcal {P}}}$	${\displaystyle N=1}$
Дике	да	${\displaystyle {\mathcal {P}}}$	${\displaystyle N>1}$

Сверхизлучательный фазовый переход

Фигура 1. Схематическое изображение параметра порядка перехода Дике, равного нулю в нормальной фазе и конечному в сверхизлучательной фазе. На вставке показана свободная энергия в нормальной и сверхизлучательной фазах, см. Уравнение. 5.

Ранние исследования модели Дике рассматривали ее равновесные свойства.^[1] Эти работы считались пределом ${\displaystyle N\to \infty }$ (также известный как термодинамический предел) и предположил тепловой функция распределения, ${\displaystyle Z=\exp(-H/k_{B}T)}$, куда ${\displaystyle k_{B}}$ это Постоянная Больцмана и ${\displaystyle T}$ это температура. Было обнаружено, что когда муфта ${\displaystyle \lambda }$ пересекает критическое значение ${\displaystyle \lambda _{c}}$модель Дике претерпевает фазовый переход второго рода, известный как сверхизлучательный фазовый переход В их исходном происхождении Хепп и Либ^[1] пренебрегали эффектами встречного вращения членов и, таким образом, фактически рассматривали модель Тэвиса-Каммингса (см. выше). Дальнейшие исследования полной модели Дике показали, что фазовый переход все еще происходит в присутствии вращающихся в противоположных направлениях членов, хотя и при другой критической связи.^[5]

Сверхизлучательный переход спонтанно нарушает симметрию четности, ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$, определенный в формуле. 3. В параметр порядка этого фазового перехода составляет ${\displaystyle \langle {a}\rangle /{\sqrt {N}}}$. В термодинамическом пределе эта величина стремится к нулю, если система нормальная, или к одному из двух возможных значений, если система сверхизлучательная. Эти два значения соответствуют физическим состояниям поля резонатора с противофазами (см. 3 и, соответственно, к состояниям спина с противоположными ${\displaystyle x}$ составные части). Вблизи сверхизлучательного фазового перехода параметр порядка зависит от ${\displaystyle \lambda }$ в качестве ${\displaystyle \langle {a}\rangle /{\sqrt {N}}\sim (\lambda _{c}-\lambda )^{-1/2}}$ (см. рис. 1). Эта зависимость соответствует среднему полю критический показатель ${\displaystyle \beta =1/2}$.

Среднее поле описания перехода

Самый простой способ описать сверхизлучательный переход - использовать среднее поле приближение, в котором операторы поля резонатора заменяются их математическими ожиданиями. В этом приближении, которое является точным в термодинамическом пределе, гамильтониан Дикке уравнения 1 становится суммой независимых членов, каждый из которых действует на другую двухуровневую систему, которую можно диагонализировать независимо. При тепловом равновесии (см. Выше), свободная энергия на двухуровневую систему равна^[6]

$${\displaystyle F\left({\frac {\langle a\rangle }{\sqrt {N}}}=\alpha \right)=\omega _{c}\alpha ^{2}-k_{B}T\ln \left(2\cosh \left({\frac {\sqrt {\omega _{z}^{2}+16\lambda ^{2}\alpha ^{2}}}{2k_{B}T}}\right)\right).}$$

(5)

Критическая связь перехода находится из условия ${\displaystyle dF/d\alpha (\alpha =0)=0}$, что приводит к

$${\displaystyle \lambda _{c}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\omega _{c}\omega _{z}\coth \left({\frac {\hbar \omega _{z}}{2k_{B}T}}\right)}}.}$$

(6)

За ${\displaystyle \lambda <\lambda _{c}}$, ${\displaystyle F}$ имеет один минимум, а для ${\displaystyle \lambda >\lambda _{c}}$, имеет два минимума (см. вставку к рис. 1). В пределах ${\displaystyle T\to 0}$ получаем выражение для критической связи фазового перехода сверхизлучения при нулевой температуре: ${\displaystyle \lambda _{c}={\sqrt {\omega _{c}\omega _{z}}}/2}$.

Открытая модель Дике

Модель Дикке уравнения. 1 предполагает, что мода резонатора и двухуровневые системы полностью изолированы от внешней среды. В реальных экспериментах это предположение неверно: связь со свободными модами света может вызвать потерю фотонов резонатора и распад двухуровневых системы уровней (т.е. каналы рассеяния). Стоит отметить, что в этих экспериментах используются управляющие поля (например, лазерные поля ) для реализации связи между модой резонатора и двухуровневыми системами. Различные каналы диссипации можно описать, добавив связь с дополнительными степенями свободы окружающей среды. Усредняя по динамике этих внешних степеней свободы, получаем уравнения движения описывая открытая квантовая система В соответствии с обычным приближением Борна-Маркова динамику системы можно описать с помощью квантовое главное уравнение в Линдблад форма ^[7]

$${\displaystyle {\frac {d\rho }{dt}}=-{i \over \hbar }[H,\rho ]+\sum _{\alpha }\gamma _{\alpha }\left(L_{\alpha }\rho L_{\alpha }^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\left\{L_{\alpha }^{\dagger }L_{\alpha },\rho \right\}\right).}$$

(7)

Здесь, ${\displaystyle \rho }$ - матрица плотности системы, ${\displaystyle L_{\alpha }}$ - оператор Линдблада канала распада ${\displaystyle \alpha }$, и ${\displaystyle \gamma _{\alpha }}$ соответствующая скорость распада. Когда гамильтониан ${\displaystyle H}$ дается формулой. 1, модель называется открытой моделью Дике.

Некоторые общие процессы распада, имеющие отношение к экспериментам, приведены в следующей таблице:

-	Кариес	Атомный распад	Атомная дефазировка	Коллективный распад
Линдбладиан	${\displaystyle L=a}$	${\displaystyle L=\sigma _{i}^{-}}$	${\displaystyle L=\sigma _{i}^{z}}$	${\displaystyle L=\sum _{i}\sigma _{i}^{-}}$
Скорость распада	${\displaystyle \kappa }$	${\displaystyle \gamma _{\downarrow }}$	${\displaystyle \gamma _{\phi }}$	${\displaystyle \Gamma _{\downarrow }}$

При теоретическом описании модели часто рассматривается стационарное состояние, когда ${\displaystyle d\rho /dt=0}$. В пределах ${\displaystyle N\to \infty }$, стационарное состояние открытой модели Дике демонстрирует непрерывный фазовый переход, часто называемый неравновесный сверхизлучательный переход. Критические показатели этого перехода такие же, как и у равновесного сверхизлучательного перехода при конечной температуре (и отличаются от сверхизлучательного перехода при нулевой температуре).

Сверхизлучательный переход и сверхизлучение Дике

Фигура 2. Схематическое изображение разницы между сверхизлучением Дике и сверхизлучательным переходом открытой модели Дике.

Сверхизлучательный переход открытой модели Дикке связан с, но отличается от Dicke superradiance (см. рис. 2).

Сверхизлучение Дике - это коллективное явление, при котором многие двухуровневые системы когерентно излучают фотоны в свободном пространстве.^[2][8] Это происходит, если двухуровневые системы изначально подготовлены в возбужденном состоянии и размещены на расстоянии, намного меньшем, чем соответствующая длина волны фотона. В этих условиях спонтанный распад двухуровневых систем становится намного быстрее: двухуровневые системы излучают короткий импульс света с большой амплитудой. В идеальных условиях длительность импульса обратно пропорциональна количеству двухуровневых систем, ${\displaystyle N}$, а максимальная интенсивность излучаемого света масштабируется как ${\displaystyle N^{2}}$. Это контрастирует со спонтанным излучением ${\displaystyle N}$ независимые двухуровневые системы, время распада которых не зависит от ${\displaystyle N}$ и где интенсивность импульса масштабируется как ${\displaystyle N}$.

Как объяснялось выше, открытая модель Дике скорее моделирует двухуровневые системы, связанные с квантованным резонатором и управляемые внешним насосом (см.рис. 2). В нормальной фазе интенсивность поля резонатора не зависит от количества атомов. ${\displaystyle N}$, а в фазе сверхизлучения напряженность поля резонатора пропорциональна ${\displaystyle \langle a^{\dagger }a\rangle \sim N}$.

Законы масштабирования сверхизлучения Дике и сверхизлучательного перехода модели Дикке суммированы в следующей таблице:

	Dicke superradiance[2]	Сверхизлучательный переход модели Дике[1]
Среда	Свободное место	Полость
Продолжительность	Переходный	Устойчивое состояние
Интенсивность поля (нормальная)	${\displaystyle N}$	${\displaystyle 1}$
Напряженность поля (сверхизлучение)	${\displaystyle N^{2}}$	${\displaystyle N}$

Экспериментальные реализации

Фигура 3. Схематическое изображение двух схем экспериментальной реализации модели Дике: слева - равновесный подход, основанный на дипольной связи между двумя уровнями, и справа - неравновесный подход, основанный на двухфотонных процессах, а именно, вынужденное комбинационное рассеяние света. Только последняя схема используется для реализации модели Дике.

Простейшая реализация модели Дике связана с дипольной связью двухуровневых атомов в резонаторе (см. Рис. 2, правая панель). В этой системе наблюдению сверхизлучательного перехода препятствуют две возможные проблемы: (1) голая связь между атомами и полостями обычно слабая и недостаточна для достижения критического значения ${\displaystyle \lambda _{c}}$, см. уравнение. 6.^[9] (2) Для точного моделирования физической системы необходимо учитывать ${\displaystyle A^{2}}$ условия, которые, согласно непроходимая теорема, может помешать переходу. Оба ограничения можно обойти, применив к атомам внешние насосы и создав эффективную модель Дике в подходящей вращающаяся рама.^[10][11]

В 2010 г. сверхизлучательный переход открытой модели Дике наблюдался экспериментально с использованием нейтральных атомов рубидия, захваченных в оптическом резонаторе.^[12]В этих экспериментах связь между атомами и полостью достигается не за счет прямой дипольной связи между двумя системами. Вместо этого атомы освещаются внешним насосом, который приводит в движение стимулированный Рамановский переход Этот двухфотонный процесс заставляет двухуровневую систему менять свое состояние с вниз к вверх, или же наоборот, и испускать или поглощать фотон в резонатор (см. рис. 3Эксперименты показали, что количество фотонов в резонаторе резко возрастает при переходе интенсивности накачки через критический порог, связанный с критическим взаимодействием модели Дикке.

В экспериментах использовались два разных набора физических состояний в качестве вниз и вверх состояния. В некоторых экспериментах^[13][12],^[14] два состояния соответствуют атомам с разными скоростями или импульсами: вниз состояние имело нулевой импульс и принадлежало Конденсат Бозе-Эйнштейна, в то время как вверх Состояние имело импульс, равный сумме импульса фотона резонатора и импульса фотона накачки.^[15] Напротив, более поздние эксперименты^[16][17] использовали два разных сверхтонкие уровни атомов рубидия в магнитном поле. Последняя реализация позволила исследователям изучить обобщенную модель Дике (см. ниже ). В обоих экспериментах система зависит от времени, и (обобщенный) гамильтониан Дике реализуется в виде рамка, которая вращается на частоте насоса.

Обобщенная модель и генерация

Модель Дике может быть обобщена путем рассмотрения эффектов дополнительных членов в гамильтониане уравнения (2). 1.^[6] Например, недавний эксперимент^[17] реализовал открытую модель Дике с независимо настраиваемыми вращающимися и противовращающимися членами. Помимо сверхизлучательного перехода, это обобщенный Модель Дике может пройти генерация нестабильность, которую назвали инвертированная генерация или же контр-лазер.^[6] Этот переход вызван встречно вращающимися членами модели Дике и наиболее заметен, когда эти члены больше вращающихся.

Неравновесный сверхизлучательный переход и неустойчивость генерации имеют ряд общих черт и различий. Оба перехода относятся к типу среднего поля и могут быть поняты в терминах динамики одной степени свободы. Сверхизлучательный переход соответствует сверхкритическому вилы раздвоение, а неустойчивость генерации соответствует Нестабильность Хопфа. Ключевое различие между этими двумя типами бифуркаций состоит в том, что первый приводит к двум устойчивым решениям, а второй - к периодическим решениям (предельные циклы ). Соответственно, в фазе сверхизлучения поле резонатора статично (в рамках поля накачки), а в фазе генерации оно периодически осциллирует.^[6]

Смотрите также

• Модель Джейнса – Каммингса
• Сверхсветимость
• Сверхизлучательный фазовый переход
• Квантовая электродинамика резонатора
• Открытая квантовая система
• Лазерная

Рекомендации

Ранняя версия этой страницы была опубликована в Ref.^[18] Пожалуйста, цитируйте эту ссылку в ваших рецензируемых статьях.

Список всех ссылок, используемых в этой статье, с разбивкой по тематике ^[19]

• Оригинальные статьи Дике^[2] и Хепп и Либ^[1]

• Теория ^[10][11] и эксперименты^{[13][12][14][16][17]} открытой модели Дике.

• Обзор книг и статей^{[8][7][5][15][4][6][9]}

-

1. Хепп, Клаус; Либ, Эллиотт H (1973). «О сверхизлучательном фазовом переходе для молекул в квантованном поле излучения: мазерная модель Дике». Анналы физики. 76 (2): 360–404. Дои:10.1016/0003-4916(73)90039-0. ISSN  0003-4916.
2. Дике, Р. Х. (1954). «Когерентность в спонтанных радиационных процессах». Физический обзор. 93 (1): 99–110. Дои:10.1103 / PhysRev.93.99. ISSN  0031-899X.
3. Обратите внимание, что операторы спина часто представлены как Матрицы Паули ${\displaystyle {\tilde {\sigma }}^{\alpha }}$, через отношение ${\displaystyle \sigma ^{\alpha }=\hbar {\tilde {\sigma }}^{\alpha }/2}$. В некоторых источниках гамильтониан модели Дике представлен в терминах матриц Паули, а не спиновых операторов.
4. Ларсон, Джонас; Ирландский, Элинор К. (2017). «Некоторые замечания о« сверхизлучательных »фазовых переходах в системах легкое вещество». Журнал физики A: математический и теоретический. 50 (17): 174002. Дои:10.1088 / 1751-8121 / aa65dc. ISSN  1751-8113.
5. Видеть Гарравей, Б. М. (2011). "Модель Дике в квантовой оптике: новый взгляд на модель Дике". Философские труды Королевского общества A: математические, физические и инженерные науки. 369 (1939): 1137–1155. Дои:10.1098 / rsta.2010.0333. ISSN  1364-503X. и ссылки в нем.
6. Видеть Киртон, Питер; Roses, Mor M .; Килинг, Джонатан; Далла Торре, Эмануэле Г. (2018). «Введение в модель Дике: от равновесия к неравновесию и наоборот». Передовые квантовые технологии: 1800043. Дои:10.1002 / qute.201800043. HDL:10023/18678. ISSN  2511-9044. и ссылки в нем.
7. Скалли, Марлан О .; Зубайри, М. Сухайль (1997). Квантовая оптика. Издательство Кембриджского университета. Дои:10.1017 / CBO9780511813993.
8. Гросс, М .; Гарош, С. (1982). «Сверхизлучение: очерк теории коллективного спонтанного излучения». Отчеты по физике. 93 (5): 301–396. Дои:10.1016/0370-1573(82)90102-8. ISSN  0370-1573.
9. Фриск Кокум, Антон; Миранович, Адам; Де Либерато, Симоне; Саваста, Сальваторе; Нори, Франко (2019). «Сверхсильная связь света и материи». Природа Обзоры Физика. 1 (1): 19–40. Дои:10.1038 / с42254-018-0006-2. ISSN  2522-5820.
10. Dimer, F .; Estienne, B .; Паркинс, А. С .; Кармайкл, Х. Дж. (2007). «Предлагаемая реализация квантового фазового перехода модели Дике в системе КЭД с оптическим резонатором». Физический обзор A. 75 (1). arXiv:Quant-ph / 0607115. Дои:10.1103 / PhysRevA.75.013804. ISSN  1050-2947.
11. Nagy, D .; Kónya, G .; Szirmai, G .; Домокос, П. (2010). "Фазовый переход модели Дике в квантовом движении конденсата Бозе-Эйнштейна в оптическом резонаторе". Письма с физическими проверками. 104 (13). arXiv:0912.3260. Дои:10.1103 / PhysRevLett.104.130401. ISSN  0031-9007.
12. Бауманн, Кристиан; Герлин, Кристина; Бреннеке, Фердинанд; Эсслингер, Тилман (2010). «Квантовый фазовый переход Дике со сверхтекучим газом в оптическом резонаторе». Природа. 464 (7293): 1301–1306. arXiv:0912.3261. Дои:10.1038 / природа09009. ISSN  0028-0836.
13. Блэк, Адам Т .; Чан, Хилтон В .; Вулетич, Владан (2003). «Наблюдение коллективных сил трения за счет пространственной самоорганизации атомов: от рэлеевского до брэгговского рассеяния». Письма с физическими проверками. 91 (20). Дои:10.1103 / PhysRevLett.91.203001. ISSN  0031-9007.
14. Клиндер, Йенс; Кесслер, Ганс; Вольке, Матиас; Мэти, Людвиг; Хеммерих, Андреас (2015). «Динамический фазовый переход в открытой модели Дике». Труды Национальной академии наук. 112 (11): 3290–3295. Дои:10.1073 / pnas.1417132112. ISSN  0027-8424.
15. Ритч, Гельмут; Домокос, Питер; Бреннеке, Фердинанд; Эсслингер, Тилман (2013). «Холодные атомы в динамических оптических потенциалах, порождаемых полостью». Обзоры современной физики. 85 (2): 553–601. arXiv:1210.0013. Дои:10.1103 / RevModPhys.85.553. ISSN  0034-6861.
16. Чжицян, Чжан; Ли, Черн Хуэй; Кумар, Рави; Арнольд, К. Дж .; Массон, Стюарт Дж .; Паркинс, А. С .; Барретт, М. Д. (2017). «Неравновесный фазовый переход в модели Дикке со спином 1». Optica. 4 (4): 424. arXiv:1612.06534. Дои:10.1364 / OPTICA.4.000424. ISSN  2334-2536.
17. Чжан, Чжицян; Ли, Черн Хуэй; Кумар, Рави; Арнольд, К. Дж .; Массон, Стюарт Дж .; Grimsmo, A. L .; Паркинс, А. С .; Барретт, М. Д. (2018). "Моделирование модели Дике посредством рамановских переходов с помощью резонатора". Физический обзор A. 97 (4). arXiv:1801.07888. Дои:10.1103 / PhysRevA.97.043858. ISSN  2469-9926.
18. Roses, Mor M .; Далла Торре, Эмануэле Г. (2020). «Модель Дике». PLOS ONE. 15 (9): e0235197. Дои:10.1371 / journal.pone.0235197. ISSN  1932-6203.
19. Все ссылки были созданы с использованием Генератор ссылок DOI Wikipedia