Теорема Декарта - Descartes theorem

В геометрия, Теорема Декарта заявляет, что на каждые четыре поцелуя или взаимно касательная, круги, радиусы окружностей удовлетворяют некоторому квадратное уровненеие. Решая это уравнение, можно построить четвертую окружность, касательную к трем заданным, касательным друг к другу окружности. Теорема названа в честь Рене Декарт, который заявил об этом в 1643 году.

История

Геометрические проблемы, связанные с касательными окружностями, обсуждались на протяжении тысячелетий. В Древней Греции третьего века до нашей эры Аполлоний Пергский посвятил этой теме целую книгу.

Рене Декарт кратко обсудил проблему в 1643 году в письме к принцессе Элизабет Пфальц. Он пришел к тому же решению, что и в уравнение (1) ниже, и таким образом добавил свое имя к теореме.

Фредерик Содди заново открыл уравнение в 1936 году. Круги поцелуев в этой задаче иногда называют Дерзкие кругивозможно потому, что Содди решил опубликовать свою версию теоремы в форме стихотворения под названием Поцелуй Precise, который был напечатан в Природа (20 июня 1936 г.). Содди также распространил теорему на сферы; Торольд Госсет распространил теорему на произвольные размерности.

Определение кривизны

Целующиеся круги. Даны три касательные друг к другу окружности (чернить), какой радиус может иметь четвертая касательная окружность? В общем, есть два возможных ответа (красный).

Теорема Декарта легче всего формулируется в терминах кругов. искривления. В кривизна (или же сгибать) круга определяется как k = ±1/р, куда р это его радиус. Чем больше круг, тем меньше величина его кривизны, и наоборот.

Знак плюс k = ±1/р применяется к кругу, который внешне касательная к другим кругам, как три черных круга на изображении. Для внутри касательный круг, как большой красный круг, который ограничивает в остальных кружках применяется отрицательный знак.

Если прямая линия считается выродиться окружности с нулевой кривизной (и, следовательно, бесконечным радиусом), теорема Декарта также применима к прямой и двум окружностям, которые все три касаются друг друга, давая радиус третьей окружности, касающейся двух других окружностей и линии.

Если четыре круга касаются друг друга в шести различных точках, а круги имеют кривизну k_я (за я = 1, ..., 4), теорема Декарта гласит:

{ displaystyle (k_ {1} + k_ {2} + k_ {3} + k_ {4}) ^ {2} = 2 , (k_ {1} ^ {2} + k_ {2} ^ {2} + k_ {3} ^ {2} + k_ {4} ^ {2}).}

(1)

При попытке найти радиус четвертого круга, касательного к трем заданным кругам поцелуев, уравнение лучше всего переписать так:

{ Displaystyle k_ {4} = k_ {1} + k_ {2} + k_ {3} pm 2 { sqrt {k_ {1} k_ {2} + k_ {2} k_ {3} + k_ {3 } k_ {1}}}.}

(2)

Знак ± отражает тот факт, что в целом два решения. Если пренебречь вырожденным случаем прямой, одно решение положительно, а другое либо положительно, либо отрицательно; если отрицательный, он представляет собой круг, ограничивающий первые три (как показано на диаграмме выше).

Критерии, относящиеся к конкретной проблеме, могут отдавать предпочтение одному решению любой конкретной проблемы.

Особые случаи

Одна из окружностей заменена прямой нулевой кривизны. Теорема Декарта все еще применима.

Здесь, поскольку все три окружности касаются друг друга в одной точке, теорема Декарта неприменима.

Если один из трех кругов заменить прямой линией, то один k_я, сказать k₃, равна нулю и выпадает из уравнение (1). Уравнение (2) тогда становится намного проще:

{ displaystyle k_ {4} = k_ {1} + k_ {2} pm 2 { sqrt {k_ {1} k_ {2}}}.}

(3)

Если две окружности заменены прямыми, касание между двумя замененными окружностями становится параллелизмом между их двумя линиями замены. Чтобы все четыре кривые оставались касательными друг к другу, две другие окружности должны быть конгруэнтными. В этом случае с k₂ = k₃ = 0, уравнение (2) сводится к тривиальному

{ displaystyle displaystyle k_ {4} = k_ {1}.}

Невозможно заменить три окружности прямыми, так как три прямые и одна окружность не могут касаться друг друга. Теорема Декарта не применяется, когда все четыре окружности касаются друг друга в одной и той же точке.

Другой частный случай - когда k_я квадраты,

{ displaystyle (v ^ {2} + x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}) ^ {2} = 2 , (v ^ {4} + x ^ {4} + y ^ {4} + z ^ {4})}

Эйлер показал, что это эквивалентно одновременной тройке Пифагорейские тройки,

{ Displaystyle (2vx) ^ {2} + (2yz) ^ {2} = , (v ^ {2} + x ^ {2} -y ^ {2} -z ^ {2}) ^ {2} }

{ Displaystyle (2vy) ^ {2} + (2xz) ^ {2} = , (v ^ {2} -x ^ {2} + y ^ {2} -z ^ {2}) ^ {2} }

{ Displaystyle (2vz) ^ {2} + (2xy) ^ {2} = , (v ^ {2} -x ^ {2} -y ^ {2} + z ^ {2}) ^ {2} }

и можно дать параметрическое решение. Когда выбран знак минус кривизны,

{ displaystyle (-v ^ {2} + x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}) ^ {2} = 2 , (v ^ {4} + x ^ {4} + у ^ {4} + z ^ {4})}

это можно решить^[1] в качестве,

{ displaystyle { begin {align} {[} & v, x, y, z] [6pt] = {} { Big [} & 2 (ab-cd) (ab + cd), (a ^ { 2} + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2}) (a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ {2} -d ^ {2}), & qquad 2 (ac-bd) (a ^ {2} + c ^ {2}), 2 (ac-bd) (b ^ {2} + d ^ {2}) { Big]} end { выровнено}}}

куда

{ displaystyle a ^ {4} + b ^ {4} = , c ^ {4} + d ^ {4}}

параметрические решения которых хорошо известны.

Комплексная теорема Декарта

Чтобы полностью определить круг, необходимо знать не только его радиус (или кривизну), но и его центр. Соответствующее уравнение наиболее четко выражается, если координаты (Икс, у) интерпретируются как комплексное число z = Икс + яу. Тогда уравнение выглядит похоже на теорему Декарта и поэтому называется комплексная теорема Декарта.

Даны четыре круга с кривизной k_я и центры z_я (за я = 1 ... 4), кроме уравнение (1):

{ displaystyle (k_ {1} z_ {1} + k_ {2} z_ {2} + k_ {3} z_ {3} + k_ {4} z_ {4}) ^ {2} = 2 , (k_ {1} ^ {2} z_ {1} ^ {2} + k_ {2} ^ {2} z_ {2} ^ {2} + k_ {3} ^ {2} z_ {3} ^ {2} + k_ {4} ^ {2} z_ {4} ^ {2}).}

(4)

Один раз k₄ был найден с использованием уравнение (2), можно перейти к вычислению z₄ переписав уравнение (4) к форме, подобной уравнение (2):

{ displaystyle z_ {4} = { frac {z_ {1} k_ {1} + z_ {2} k_ {2} + z_ {3} k_ {3} pm 2 { sqrt {k_ {1} k_) {2} z_ {1} z_ {2} + k_ {2} k_ {3} z_ {2} z_ {3} + k_ {1} k_ {3} z_ {1} z_ {3}}}} {k_ {4}}}.}

Опять же, в общем, есть два решения для z₄, соответствующие двум решениям для k₄. Обратите внимание, что знак плюс / минус в приведенной выше формуле для z не обязательно соответствует знаку плюс / минус в формуле для k.

Обобщения

Обобщение до n измерений иногда называют Теорема Содди – Госсета, хотя это было показано Р. Лахланом в 1886 году. $п$ -размерный Евклидово пространство, максимальное количество касательных $(п - 1)$ -сферы является $п + 2$ . Например, в трехмерном пространстве пять сфер могут касаться друг друга. Кривизны гиперсфер удовлетворяют

{ displaystyle left ( sum _ {i = 1} ^ {n + 2} k_ {i} right) ^ {2} = n , sum _ {i = 1} ^ {n + 2} k_ {i} ^ {2}}

с чемоданом $k я = 0$ соответствующая плоской гиперплоскости, в точном соответствии с двумерной версией теоремы.

Хотя трехмерного аналога комплексных чисел не существует, взаимосвязь между положениями центров может быть выражена как матрица уравнение, которое также обобщается на $п$ размеры.^[2]

Смотрите также

Примечания

^ Набор алгебраических тождеств: суммы трех или более четвертых степеней
^ Джеффри К. Лагариас; Колин Л. Мэллоуз; Аллан Р. Уилкс (апрель 2002 г.). "За пределами теоремы Декарта о круге". Американский математический ежемесячник. 109 (4): 338–361. arXiv:математика / 0101066. Дои:10.2307/2695498. JSTOR 2695498.

внешняя ссылка

[1] Набор алгебраических тождеств: суммы трех или более четвертых степеней

[2] Джеффри К. Лагариас; Колин Л. Мэллоуз; Аллан Р. Уилкс (апрель 2002 г.). "За пределами теоремы Декарта о круге". Американский математический ежемесячник. 109 (4): 338–361. arXiv:математика / 0101066. Дои:10.2307/2695498. JSTOR 2695498.

[1]

[2]