Soddys hexlet - Soddys hexlet

Рис. 1. Семейство геклетов, связанных вращением и масштабированием. Центры сфер попадают на эллипс, сделав его эллиптическим шестиугольником.

В геометрия, Гекслет Содди это цепочка из шести сферы (показаны серым цветом на рисунке 1), каждый из которых касательная к обоим своим соседям, а также к трем взаимно касательным данным сферам. На рисунке 1 три сферы - это красная внутренняя сфера, а две сферы (не показаны) выше и ниже плоскости, на которой лежат центры гекслетных сфер. Кроме того, сферы гекслета касаются четвертой сферы (синяя внешняя сфера на рисунке 1), которая не касается трех других.

Согласно теорема опубликовано Фредерик Содди в 1937 г.,^[1] всегда можно найти гекслет для любого выбора взаимно касательных сфер А, B и C. Действительно, существует бесконечное семейство геклетов, связанных вращением и масштабированием сфер гекслетов (рис. 1); в этом шестиугольник Содди является сферическим аналогом Цепь Штейнера из шести кругов.^[2] В соответствии с цепочками Штейнера, центры гекслет-сфер лежат в одной плоскости на эллипсе. Геклет Содди был также независимо обнаружен в Японии, как показал Сангаку таблички 1822 года в префектуре Канагава.^[3]

Определение

Гекслет Содди представляет собой цепочку из шести сфер, обозначенных S₁–S₆, каждая из которых касается трех заданных сфер, А, B и C, которые сами касаются друг друга в трех различных точках. (Для единообразия на протяжении всей статьи сферы шестиугольника всегда будут изображаться серым цветом, сферы А и B в зеленом и сфере C синим цветом.) Сферы гекслета также касаются четвертой неподвижной сферы D (всегда отображается красным), который не касается трех других, А, B и C.

Каждая сфера гекслета Содди также касается своих соседей по цепочке; например, сфера S₄ касается S₃ и S₅. Цепочка замкнута, что означает, что каждая сфера в цепочке имеет двух касательных соседей; в частности, начальная и конечная сферы, S₁ и S₆, касаются друг друга.

Кольцевой шестигранник

Рисунок 2: Кольцевой шестигранник.

Кольцевой шестиугольник Содди представляет собой частный случай (рис. 2), в котором три взаимно касательные сферы состоят из единственной сферы радиуса р (синий) зажат между двумя параллельными плоскостями (зеленый), разделенными перпендикулярным расстоянием 2р. В данном случае гекслет Содди состоит из шести сфер радиуса р как шариковые подшипники вокруг центральной сферы и аналогичным образом зажаты. Сферы гекслета также касаются четвертой сферы (красной), которая не касается остальных трех.

Цепочку из шести сфер можно вращать вокруг центральной сферы, не влияя на их касание, показывая, что для этого случая существует бесконечное семейство решений. Когда они вращаются, сферы гекслета образуют тор (поверхность в форме пончика); другими словами, тор - это конверт этого семейства геклетов.

Решение инверсией

Общая задача нахождения гекслета для трех заданных взаимно касающихся сфер А, B и C сводится к кольцевому корпусу с помощью инверсия. Эта геометрическая операция всегда превращает сферы в сферы или в плоскости, которые можно рассматривать как сферы бесконечного радиуса. Сфера превращается в плоскость тогда и только тогда, когда она проходит через центр инверсии. Преимущество инверсии в том, что она сохраняет касание; если две сферы касаются друг друга до преобразования, они остаются таковыми после. Таким образом, если преобразование инверсии выбрано разумно, проблема может быть сведена к более простому случаю, такому как кольцевой гекслет Содди. Инверсия обратима; повторение инверсии в той же точке возвращает преобразованные объекты к их исходному размеру и положению.

Инверсия в точке касания сфер А и B превращает их в параллельные плоскости, которые можно обозначить как а и б. Поскольку сфера C касается обоих А и B и не проходит через центр инверсии, C превращается в другую сферу c это касается обеих плоскостей; следовательно, c зажат между двумя плоскостями а и б. Это кольцевой шестигранник Содди (рис. 2). Шесть сфер s₁–s₆ может быть упакован c и также зажат между ограничивающими плоскостями а и б. Повторная инверсия восстанавливает три исходные сферы и преобразует s₁–s₆ в шестигранник для исходной задачи. В общем, эти гекслет-сферы S₁–S₆ имеют разные радиусы.

Бесконечное множество геклетов можно создать, вращая шесть шаров. s₁–s₆ в их плоскости под произвольным углом, прежде чем перевернуть их. Огибающая, создаваемая такими поворотами, и есть тор что окружает сферу c и зажат между двумя плоскостями а и б; таким образом, тор имеет внутренний радиус р и внешний радиус 3р. После реверсии этот тор становится Циклид Дюпена (Рисунок 3).

Рисунок 3: Циклид Дюпена, сквозь который вращаются сферы гекслета, всегда соприкасаясь. Циклид касается внутренней сферы, внешней сферы и двух сфер выше и ниже «дыры» в «бублике».

Циклид Дюпена

В конверт геклетов Содди - это Циклид Дюпена, инверсия тор. Таким образом, конструкция Содди показывает, что циклид Дюпена является оболочкой однопараметрического семейства сфер двумя разными способами, и каждая сфера в любом семействе касается двух сфер в том же семействе и трех сфер в другом семействе.^[4] Этот результат, вероятно, был известен Шарль Дюпен, который открыл циклиды, носящие его имя, в своей диссертации 1803 г. Гаспар Монж.^[5]

Отношение к цепям Штейнера

Рисунок 4: Цепочка Штейнера из шести окружностей, соответствующих гекслету Содди.

Пересечение шестиугольника с плоскостью его сферических центров дает Цепь Штейнера из шести кругов.

Параболические и гиперболические гекслеты

Предполагается, что сферы A и B имеют одинаковый размер.

В любом эллиптический гекслет, такой как показанный в верхней части статьи, имеет две касательные плоскости к геклету. Для существования эллиптического гекслета радиус C должен быть меньше четверти радиуса A. Если радиус C равен одной четверти A, каждая сфера станет самолет в путешествии. Однако перевернутое изображение показывает нормальный эллиптический гекслет, а в параболический гекслет, точка, в которой сфера превращается в плоскость, находится именно тогда, когда ее перевернутое изображение проходит через центр инверсии. В таком шестиграннике есть только одна касательная плоскость к шестиграннику. Линия центров параболического гекслета - это парабола.

Если C даже больше, чем это гиперболический гекслет сформирован, и теперь касательных плоскостей нет вообще. Обозначьте сферы S₁ к S₆. S₁ таким образом, не может уйти очень далеко, пока не станет плоскостью (где его перевернутое изображение проходит через центр инверсии), а затем перевернет его вогнутость (где перевернутое изображение окружает центр инверсии). Теперь линия центров представляет собой гиперболу.

Предельный случай - когда A, B и C имеют одинаковый размер. Шестигранник теперь становится прямым. S₁ мала, поскольку проходит через отверстие между A, B и C, и растет, пока не станет плоскостью, касательной к ним. Центр инверсии теперь также имеет точку касания с изображением S₆, значит, это также плоскость, касательная к A, B и C. Поскольку S₁ продолжается, его вогнутость меняется на противоположную, и теперь он окружает все остальные сферы, касательные к A, B, C, S₂ и S₆. S₂ толкает вверх и растет, превращаясь в касательную плоскость и S₆ сжимается. S₁ затем получает S₆прежнее положение касательной плоскости. Затем он снова меняет вогнутость и снова проходит через отверстие, начиная еще один круговой обход. Теперь линия центров - это выродиться гипербола, где она рухнула на две прямые.^[2]

Таблетки сангаку

Проблема гекслета Содди в японской книге по математике Коконсанкан (1832).

Реплика Сангаку в музее Hōtoku в Храм Самукава.

Японские математики открыл тот же гекслет за сто лет до того, как это сделал Содди. Они проанализировали проблемы упаковки, в которых соприкасаются окружности и многоугольники, шары и многогранники, и часто находили соответствующие теоремы независимо до того, как их открыли западные математики. Они часто публиковали их как сангаку. Сангаку о гекслете было изготовлено Ирисавой Синтаро Хироатсу в школе Учида Ицуми и посвящено Храм Самукава в мае 1822 года. Оригинальный сангаку был утерян, но был записан в книге Учиды. Коконсанкан в 1832 году. Копия сангаку была сделана из записи и посвящена музею Хотоку в святилище Самукава в августе 2009 года.^[6]

Сангаку Ирисавы состоит из трех задач. Третья проблема связана с гекслетом Содди: «диаметр внешней описывающей сферы равен 30. солнце. Диаметр ядер ядра равен 10 солнцу и 6 солнцу каждое. Диаметр одного из шаров в цепочке шаров равен 5 солнышкам. Потом спросил диаметры остальных шариков. Ответ: 15 солнца, 10 солнца, 3,75 солнца, 2,5 солнца и 2 + 8/11 солнца ".^[7]

В его ответе записана методика расчета диаметров шаров, которую можно считать следующими формулами, которые должны быть даны в современном масштабе.^{[требуется разъяснение ]} Если отношения диаметра внешнего шара к каждому из ядерных шаров равны а₁, а₂, и если отношения диаметра к шарикам цепи равны c₁, ..., c₆. мы хотим представить c₂, ..., c₆с точки зрения₁, а₂, и c₁. Если

${\displaystyle K={\sqrt {3\left(a_{1}a_{2}+a_{2}c_{1}+c_{1}a_{1}-\left({\frac {a_{1}+a_{2}+c_{1}+1}{2}}\right)^{2}\right)}}}$

тогда,

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{2}&=(a_{1}+a_{2}+c_{1}-1)/2-K\\c_{3}&=(3a_{1}+3a_{2}-c_{1}-3)/2-K\\c_{4}&=2a_{1}+2a_{2}-c_{1}-2\\c_{5}&=(3a_{1}+3a_{2}-c_{1}-3)/2+K\\c_{6}&=(a_{1}+a_{2}+c_{1}-1)/2+K.\end{aligned}}}$.

потом c₁ + c₄ = c₂ + c₅ = c₃ + c₆.

Если р₁, ..., р₆ диаметры шести шаров, получаем формулу:

${\displaystyle {\frac {1}{r_{1}}}+{\frac {1}{r_{4}}}={\frac {1}{r_{2}}}+{\frac {1}{r_{5}}}={\frac {1}{r_{3}}}+{\frac {1}{r_{6}}}.}$

Смотрите также

• Теорема Декарта
• Инверсивная геометрия
• Сангаку

Примечания

1. Содди 1937
2. Огилви 1990
3. Ротман 1998
4. Коксетер 1952
5. О'Коннор и Робертсон 2000
6. Ямаджи и Нисида 2009, п. 443.
7. Амано 1992 С. 21–24.

Рекомендации

• Амано, Хироши (1992), Коллекция Сангаку в префектуре Канагава (Канагава-кен Сангаку-сю на японском), Амано, Хироши.
• Кокстер, HSM (1952), "Сцепленные кольца сфер", Scripta Mathematica, 18: 113–121.
• Фукагава, Хидетоси; Ротман, Тони (2008), Священная математика: геометрия японского храма, Издательство Принстонского университета, ISBN  978-0-691-12745-3
• О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. (2000), "Пьер Шарль Франсуа Дюпен", Архив истории математики MacTutor.
• Огилви, К. (1990), Экскурсии по геометрии, Дувр, ISBN  0-486-26530-7.
• Содди, Фредерик (1937), "Чаша с целыми числами и шестигранник", Природа, Лондон, 139 (3506): 77–79, Дои:10.1038 / 139077a0.
• Ротман, Т. (1998), «Японская храмовая геометрия», Scientific American, 278: 85–91, Дои:10.1038 / scientificamerican0598-84.
• Ямаджи, Кацунори; Нисида, Томоми, ред. (2009), Словарь васана (Wasan no Jiten на японском языке), Асакура, ISBN  978-4-254-11122-4.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. "Хекслет". MathWorld.
• Б. Аллансон. "Анимация гекслета Содди".
• Геометрия японского храма на Wayback Machine (архивировано 19 марта 2019 г.) - Анимация 0 ПРОБЛЕМЫ САНГАКУ 0 показывает случай, когда радиусы сфер A и B равны друг другу, а центры сфер A, B и C находятся на линии. На анимации 1 показан случай, когда радиусы сфер A и B равны друг другу, а центры сфер A, B и C равны. нет на линии. На анимации 2 показан случай, когда радиусы сфер A и B равны нет равны друг другу. На анимации 3 показан случай, когда центры сфер A, B и C находятся на линии, а радиусы сфер A и B изменяются.
• Копия Сангаку в музее Хотоку в Храме Самукава на Wayback Machine (архивировано 26 августа 2016 г.) - Третья проблема связана с гекслетом Содди.
• Страница Коконсанкан (1832) - Департамент математики Киотского университета
• Страница Коконсанкан (1832) - Левая страница относится к геклету Содди.