Построение кривой - Curve sketching

График функции 3Икс³-5Икс²+8 (черный) и его первый (9Икс²-10Икс, красный) и второй (18Икс-10, синий) производные. An Икс значение, где у значение красной или синей кривой исчезает (становится 0) дает начало локальный экстремум (с пометкой «HP», «TP») или точка перегиба («WP») черной кривой соответственно.

В геометрия, построение кривых (или же трассировка кривой) - это методы для получения приблизительного представления об общей форме плоская кривая учитывая его уравнение, без вычисления большого количества точек, необходимых для подробного построения. Это приложение теории кривых для определения их основных характеристик.

Базовые техники

Следующее, как правило, легко выполнить, и оно дает важные подсказки относительно формы кривой:

Определить Икс и у пересечения кривой. В Икс перехваты находятся путем установки у равным 0 в уравнении кривой и решая для Икс. Точно так же у перехваты находятся путем установки Икс равным 0 в уравнении кривой и решая для у.
Определите симметрию кривой. Если показатель степени Икс всегда четно в уравнении кривой, то у-Ось - это ось симметрия для кривой. Аналогично, если показатель степени у всегда четно в уравнении кривой, то Икс-axis - ось симметрии кривой. Если сумма степеней Икс и у в каждом члене всегда четный или всегда нечетный, тогда кривая симметрично относительно начала координат и начало координат называется центр кривой.
Определите любые границы значений Икс и у.
Если кривая проходит через начало координат, определите там касательные. Для алгебраических кривых это можно сделать, удалив все члены, кроме членов самого низкого порядка, из уравнения и решив.
Точно так же удаление всех членов, кроме членов высшего порядка, из уравнения и решение дает точки, где кривая пересекает линия на бесконечности.
Определить асимптоты кривой. Также определите, с какой стороны кривая приближается к асимптотам и где асимптоты пересекаются с кривой.^[1]
Приравнять первый и вторые производные к 0, чтобы найти стационарные точки и точки перегиба соответственно. Если уравнение кривой не может быть решено явно для Икс или же у, для нахождения этих производных требуется неявное дифференцирование.

Диаграмма Ньютона

Диаграмма Ньютона (также известен как Параллелограмм Ньютона, после Исаак Ньютон ) - это метод определения формы алгебраической кривой вблизи и вдали от начала координат. Он состоит из построения (α, β) для каждого члена Топор^αу^β в уравнении кривой. Полученная диаграмма затем анализируется для получения информации о кривой.

В частности, нарисуйте диагональную линию, соединяющую две точки на диаграмме, так, чтобы все остальные точки находились либо справа, либо над ней. Есть по крайней мере одна такая линия, если кривая проходит через начало координат. Пусть уравнение прямой имеет вид qα +пβ =р. Предположим, что кривая аппроксимируется у=Сх^{п / д} рядом с исходной точкой. Тогда срок Топор^αу^β примерно Dx^{α + βp / q}. Показатель степени равен г / д когда (α, β) находится на линии, и выше, когда он сверху и справа. Следовательно, значимые члены около начала координат в этом предположении - это только те, которые лежат на линии, а остальные могут быть проигнорированы; он дает простое приближенное уравнение для кривой. Таких диагональных линий может быть несколько, каждая из которых соответствует одной или нескольким ветвям кривой, и приближенные уравнения ветвей можно найти, применяя этот метод к каждой линии по очереди.

Например, лист Декарта определяется уравнением

{ displaystyle x ^ {3} + y ^ {3} -3axy = 0 ,}

.

Тогда диаграмма Ньютона имеет точки в (3, 0), (1, 1) и (0, 3). Две диагональные линии могут быть проведены, как описано выше, 2α + β = 3 и α + 2β = 3. Эти производят

{ displaystyle x ^ {2} -3ay = 0 ,}

{ displaystyle y ^ {2} -3ax = 0 ,}

как приближенные уравнения для горизонтальной и вертикальной ветвей кривой, где они пересекаются в начале координат.^[2]

Аналитический треугольник

Де Гуа расширил диаграмму Ньютона, чтобы сформировать технику, называемую аналитический треугольник (или же треугольник де Гуа). Точки (α, β) наносятся так же, как и при использовании диаграммы Ньютона, но линия α + β =п, куда п - степень кривой, добавляется, чтобы образовать треугольник, содержащий диаграмму. Этот метод рассматривает все линии, ограничивающие наименьший выпуклый многоугольник, содержащий нанесенные точки (см. выпуклый корпус ).^[3]

Приложения

Оптимизация отслеживание в динамика жидкостей

Смотрите также

внешняя ссылка

Треногин, В.А. (2001) [1994], «Диаграмма Ньютона», Энциклопедия математики, EMS Press

[1] Хилтон Глава III §2

[2] Хилтон Глава III §3

[3] Мороз Глава IX

[1]

[2]

[3]