Численное продолжение - Numerical continuation

Смотрите также: Продолжение гомотопии

Численное продолжение - метод вычисления приближенных решений системы параметризованных нелинейных уравнений,

${\displaystyle F(\mathbf {u} ,\lambda )=0.}$^[1]

В параметр ${\displaystyle \lambda }$ обычно настоящий скаляр, а решение ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ан п-вектор. За фиксированный значение параметра ${\displaystyle \lambda }$, ${\displaystyle F(\ast ,\lambda )}$ карты Евклидово n-пространство в себя.

Часто исходное отображение ${\displaystyle F}$ из Банахово пространство в себя, а Евклидово n-пространство является конечномерным приближением банахова пространства.

А устойчивое состояние, или же фиксированная точка, из параметризованное семейство из потоки или же карты имеют такую ​​форму, и дискретизирующий траектории потока или итерация карты, периодические орбиты и гетероклинические орбиты также можно представить как решение ${\displaystyle F=0}$.

Другие формы

В некоторых нелинейных системах параметры указаны явно. В других они неявные, и система нелинейных уравнений записывается

${\displaystyle F(\mathbf {u} )=0}$

куда ${\displaystyle \mathbf {u} }$ является п-вектор и его изображение ${\displaystyle F(\mathbf {u} )}$ является п-1 вектор.

Эта формулировка без явного пространства параметров обычно не подходит для формулировок в следующих разделах, поскольку они относятся к параметризованным автономным нелинейным динамические системы формы:

${\displaystyle \mathbf {u} '=F(\mathbf {u} ,\lambda ).}$

Однако в алгебраической системе нет различия между неизвестными. ${\displaystyle \mathbf {u} }$ и параметры.

Периодические движения

А периодическое движение замкнутая кривая в фазовом пространстве. То есть для некоторых период ${\displaystyle T}$,

${\displaystyle \mathbf {u} '=F(\mathbf {u} ,\lambda ),\,\mathbf {u} (0)=\mathbf {u} (T).}$

Хрестоматийным примером периодического движения является незатухающий маятник.

Если фазовое пространство периодичен по одной или нескольким координатам, скажем ${\displaystyle \mathbf {u} (t)=\mathbf {u} (t+\Omega )}$, с ${\displaystyle \Omega }$ вектор^{[требуется разъяснение ]} , то существует второй вид периодических движений, определяемый

${\displaystyle \mathbf {u} '=\mathbf {F} (\mathbf {u} ,\lambda ),\,\mathbf {u} (0)=\mathbf {u} (T+N.\Omega )}$

для каждого целого числа ${\displaystyle N}$.

Первым шагом в написании неявной системы для периодического движения является перемещение периода ${\displaystyle T}$ от граничных условий к ODE:

${\displaystyle \mathbf {u} '=T\mathbf {F} (\mathbf {u} ,\lambda ),\,\mathbf {u} (0)=\mathbf {u} (1+N.\Omega ).}$

Второй шаг - добавить дополнительное уравнение a фазовое ограничение, который можно рассматривать как определение периода. Это необходимо, поскольку любое решение указанной выше краевой задачи может быть сдвинуто во времени на произвольную величину (время не фигурирует в определяющих уравнениях - динамическая система называется автономной).

Есть несколько вариантов ограничения фазы. Если ${\displaystyle \mathbf {u} _{0}(t)}$ - известная периодическая орбита при значении параметра ${\displaystyle \lambda _{0}}$ возле ${\displaystyle \lambda }$, то Пуанкаре использовал

${\displaystyle <\mathbf {u} (0)-\mathbf {u} _{0}(0),\mathbf {F} (\mathbf {u} _{0}(0),\lambda _{0})>=0.}$

в котором говорится, что ${\displaystyle \mathbf {u} }$ лежит в плоскости, ортогональной касательному вектору замкнутой кривой. Этот самолет называется Раздел Пуанкаре.

Для общей задачи лучшим фазовым ограничением является интегральное ограничение, введенное Евсевиусом Дёделем, которое выбирает фазу так, чтобы минимизировать расстояние между известной и неизвестной орбитами:

${\displaystyle \int _{0}^{1}<\mathbf {u} (t)-\mathbf {u} _{0}(t),\mathbf {F} (\mathbf {u} _{0}(t),\lambda _{0})>\,dt=0.}$

Гомоклинические и гетероклинические движения

Определения

Компонент решения

Два компонента раствора, красный и синий. Обратите внимание, что эти два компонента могут быть подключены за пределами интересующей области.

Компонент решения ${\displaystyle \Gamma (\mathbf {u} _{0},\lambda _{0})}$ нелинейной системы ${\displaystyle F}$ это набор точек ${\displaystyle (\mathbf {u} ,\lambda )}$ которые удовлетворяют ${\displaystyle F(\mathbf {u} ,\lambda )=0}$ и есть связаны к исходному решению ${\displaystyle (\mathbf {u} _{0},\lambda _{0})}$ путем решений ${\displaystyle (\mathbf {u} (s),\lambda (s))}$ для которого ${\displaystyle (\mathbf {u} (0),\lambda (0))=(\mathbf {u} _{0},\lambda _{0}),\,(\mathbf {u} (1),\lambda (1))=(\mathbf {u} ,\lambda )}$и ${\displaystyle F(\mathbf {u} (s),\lambda (s))=0}$.

Численное продолжение

Численное продолжение - это алгоритм, который принимает на вход систему параметризованных нелинейных уравнений и начальное решение. ${\displaystyle (\mathbf {u} _{0},\lambda _{0})}$, ${\displaystyle F(\mathbf {u} _{0},\lambda _{0})=0}$, и создает набор точек на компоненте решения ${\displaystyle \Gamma (\mathbf {u} _{0},\lambda _{0})}$.

Обычная точка

Обычная точка ${\displaystyle F}$ это точка ${\displaystyle (\mathbf {u} ,\lambda )}$ на котором Якобиан из ${\displaystyle F}$ полный ранг ${\displaystyle (n)}$.

Вблизи регулярной точки компонента решения представляет собой изолированную кривую, проходящую через регулярную точку (точка теорема о неявной функции ). На рисунке над точкой ${\displaystyle (\mathbf {u} _{0},\lambda _{0})}$ - обычная точка.

Особая точка

Особая точка ${\displaystyle F}$ это точка ${\displaystyle (\mathbf {u} ,\lambda )}$ на котором Якобиан of F не является полным рангом.

Вблизи особой точки компонента решения не может быть изолированной кривой, проходящей через регулярную точку. Локальная структура определяется высшими производными от ${\displaystyle F}$. На рисунке выше точка пересечения двух синих кривых является особой точкой.

Общие компоненты решения ${\displaystyle \Gamma }$ находятся разветвленные кривые. Точки ветвления - особые точки. Нахождение кривых решения, оставляющих особую точку, называется переключением ветвей и использует методы из теория бифуркации (теория сингулярности, теория катастроф ).

Для конечномерных систем (как определено выше) разложение Ляпунова-Шмидта можно использовать для получения двух систем, к которым применима теорема о неявной функции. Разложение Ляпунова-Шмидта использует ограничение системы на дополнение к нулевому пространству якобиана и образ якобиана.

Если столбцы матрицы ${\displaystyle \Phi }$ являются ортонормированным базисом для нулевого пространства

${\displaystyle J=\left[{\begin{array}{cc}F_{x}&F_{\lambda }\\\end{array}}\right]}$

и столбцы матрицы ${\displaystyle \Psi }$ являются ортонормированным базисом для левого нулевого пространства ${\displaystyle J}$, тогда система ${\displaystyle F(x,\lambda )=0}$можно переписать как

${\displaystyle \left[{\begin{array}{l}(I-\Psi \Psi ^{T})F(x+\Phi \xi +\eta )\\\Psi ^{T}F(x+\Phi \xi +\eta )\\\end{array}}\right]=0,}$

куда ${\displaystyle \eta }$ находится в дополнении к нулевому пространству ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle (\Phi ^{T}\,\eta =0)}$.

В первом уравнении, которое параметризуется нулевым пространством якобиана (${\displaystyle \xi }$), якобиан относительно ${\displaystyle \eta }$ неособен. Итак, теорема о неявной функции утверждает, что существует отображение ${\displaystyle \eta (\xi )}$ такой, что ${\displaystyle \eta (0)=0}$ и ${\displaystyle (I-\Psi \Psi ^{T})F(x+\Phi \xi +\eta (\xi ))=0)}$. Второе уравнение (с ${\displaystyle \eta (\xi )}$ заменено) называется уравнением бифуркации (хотя это может быть система уравнений).

Уравнение бифуркации имеет разложение Тейлора, в котором отсутствуют постоянные и линейные члены. Масштабируя уравнения и нулевое пространство якобиана исходной системы, можно найти систему с невырожденным якобианом. Постоянный член в ряду Тейлора масштабированного уравнения бифуркации называется алгебраическим уравнением бифуркации, а теорема о неявной функции, применяемая к уравнениям бифуркации, утверждает, что для каждого изолированного решения алгебраического уравнения бифуркации существует ветвь решений исходной задачи, которая проходит через особую точку.

Другой тип особой точки - это бифуркация поворотной точки, или же бифуркация седло-узел, где направление параметра ${\displaystyle \lambda }$меняется на противоположное при следовании кривой. Красная кривая на рисунке выше иллюстрирует поворотный момент.

Конкретные алгоритмы

Продолжение естественного параметра

Большинство методов решения нелинейных систем уравнений являются итерационными методами. Для определенного значения параметра ${\displaystyle \lambda _{0}}$ отображение повторно применяется к первоначальному предположению ${\displaystyle \mathbf {u} _{0}}$. Если метод сходится и согласован, то в пределе итерация приближается к решению ${\displaystyle F(\mathbf {u} ,\lambda _{0})=0}$.

Продолжение естественного параметра представляет собой очень простую адаптацию итерационного решателя к параметризованной задаче. Решение исключает стоимость ${\displaystyle \lambda }$ используется в качестве начального предположения для решения при ${\displaystyle \lambda +\Delta \lambda }$. С ${\displaystyle \Delta \lambda }$ достаточно мало, итерация, применяемая к исходному предположению, должна сходиться.

Одним из преимуществ естественного продолжения параметров является то, что он использует метод решения проблемы как черный ящик. Все, что требуется, - это дать начальное решение (некоторые решатели всегда начинали с фиксированного начального предположения). В области крупномасштабного продолжения работы было проделано много работы по применению более сложных алгоритмов к решателям черного ящика (см., Например, LOCA ).

Однако естественное продолжение параметра не удается в поворотных точках, где разворачивается ветвь решений. Поэтому для решения проблем с точками поворота необходимо использовать более сложный метод, такой как продолжение псевдодуги (см. Ниже).

Симплициальное или кусочно-линейное продолжение

Основная статья: Кусочно-линейное продолжение

Симплициальное продолжение или кусочно-линейное продолжение (Аллгауэр и Георг) основано на трех основных результатах.

Первый

Если F (x) отображает IR ^ n в IR ^ (n-1), существует единственный линейный интерполянт на (n-1) -мерном симплекс что согласуется со значениями функций в вершинах симплекса.

Второй результат:

(N-1) -мерный симплекс может быть протестирован, чтобы определить, принимает ли уникальный линейный интерполянт значение 0 внутри симплекса.

См. Статью о кусочно-линейное продолжение для подробностей.

С помощью этих двух операций этот алгоритм продолжения легко сформулировать (хотя, конечно, эффективная реализация требует более сложного подхода. См. [B1]). Предполагается, что начальный симплекс задан из эталонного симплициального разложения IR ^ n. Исходный симплекс должен иметь хотя бы одну грань, которая содержит нуль единственного линейного интерполянта на этой грани. Затем проверяются другие грани симплекса, и обычно будет одна дополнительная грань с внутренним нулем. Затем исходный симплекс заменяется симплексом, который лежит на любой грани, содержащей ноль, и процесс повторяется.

Ссылки: Олгауэр и Георг [B1] дают четкое и ясное описание алгоритма.

Продолжение псевдо-длины дуги

Этот метод основан на наблюдении, что «идеальной» параметризацией кривой является длина дуги. Псевдо-длина дуги - это приближение длины дуги в касательном пространстве кривой. Результирующий модифицированный метод естественного продолжения делает шаг в псевдо-длине дуги (а не в ${\displaystyle \lambda }$). Итерационный решатель требуется, чтобы найти точку на заданной длине псевдодуги, что требует добавления дополнительного ограничения (ограничения псевдо-длины дуги) к якобиану n на n + 1. Он дает квадратный якобиан, и если размер шага достаточно мал, модифицированный якобиан имеет полный ранг.

Продолжение псевдо-длины дуги было независимо разработано Эдвардом Риксом и Джеральдом Вемпнером для приложений конечных элементов в конце 1960-х годов и опубликовано в журналах в начале 1970-х годов Х. Келлер. Подробный отчет об этих ранних разработках приведен в учебнике М.А. Крисфилда: Нелинейный конечно-элементный анализ твердых тел и структур, Том 1: Основные концепции, Wiley, 1991. Крисфилд был одним из самых активных разработчиков этого класса методов, которые к настоящему времени стандартные процедуры коммерческих нелинейных программ конечных элементов.

Алгоритм представляет собой метод предиктора-корректора. Шаг прогнозирования находит точку (в IR ^ (n + 1)), которая является шагом ${\displaystyle \Delta s}$ по касательному вектору в текущем указателе. Корректором обычно является метод Ньютона или его вариант для решения нелинейной системы

${\displaystyle {\begin{array}{l}F(u,\lambda )=0\\{\dot {u}}_{0}^{*}(u-u_{0})+{\dot {\lambda }}_{0}(\lambda -\lambda _{0})=\Delta s\\\end{array}}}$

куда ${\displaystyle ({\dot {u}}_{0},{\dot {\lambda }}_{0})}$ касательный вектор в точке ${\displaystyle (u_{0},\lambda _{0})}$Якобиан этой системы - матрица с краем

${\displaystyle \left[{\begin{array}{cc}F_{u}&F_{\lambda }\\{\dot {u}}^{*}&{\dot {\lambda }}\\\end{array}}\right]}$

В регулярных точках, где неизмененный якобиан имеет полный ранг, касательный вектор охватывает нулевое пространство верхней строки этого нового якобиана. Добавление касательного вектора в качестве последней строки можно рассматривать как определение коэффициента нулевого вектора в общем решении системы Ньютона (частное решение плюс произвольное кратное нулевого вектора).

Продолжение Гаусса – Ньютона

Этот метод представляет собой вариант продолжения псевдо-длины дуги. Вместо использования касательной в начальной точке в ограничении длины дуги используется касательная в текущем решении. Это эквивалентно использованию псевдообратного якобиана в методе Ньютона и позволяет делать более длинные шаги. [B17]

Продолжение более чем по одному параметру

Параметр ${\displaystyle \lambda }$ в описанных выше алгоритмах - это реальный скаляр. Большинство физических и конструктивных проблем обычно имеют более одного параметра. Многомерное продолжение относится к случаю, когда ${\displaystyle \lambda }$ является k-вектором.

Применяется та же терминология. А обычное решение является решением, на котором якобиан имеет полный ранг ${\displaystyle (n)}$. Особое решение - это решение, у которого якобиан меньше полного ранга.

Регулярное решение лежит на k-мерной поверхности, которая может быть параметризована точкой в ​​касательном пространстве (нулевое пространство якобиана). Это снова прямое применение теоремы о неявной функции.

Применение методов численного продолжения

Методы численного продолжения нашли широкое применение при изучении хаотических динамических систем и различных других систем, которые относятся к сфере теория катастроф. Причина такого использования проистекает из того факта, что различные нелинейные динамические системы ведут себя детерминированным и предсказуемым образом в пределах диапазона параметров, которые включены в уравнения системы. Однако для определенного значения параметра система начинает вести себя хаотично, и поэтому возникла необходимость следить за параметром, чтобы иметь возможность расшифровать случаи, когда система начинает быть непредсказуемой, и что именно (теоретически) заставляет систему становиться нестабильный.

Анализ продолжения параметров может привести к более глубокому пониманию бифуркаций стабильной / критической точки. Изучение седло-узловых, транскритических, питч-вилок, удвоений периода, Хопфа, вторичных бифуркаций Хопфа (Неймарка) устойчивых решений позволяет теоретически обсудить обстоятельства и явления, которые возникают в критических точках. Продолжение параметров также дает более надежную систему для анализа динамической системы, поскольку она более стабильна, чем более интерактивные численные решения с временным шагом. Особенно в случаях, когда динамическая система склонна к взрыву при определенных значениях параметров (или комбинации значений для нескольких параметров).^[2]

Чрезвычайно интересно наличие устойчивых решений (привлекающих или отталкивающих) при изучении Нелинейный Уравнения с частными производными где изменение времени в форме алгоритма Кранка Николсона чрезвычайно затратно по времени, а также нестабильно в случаях нелинейного роста зависимых переменных в системе. Изучение турбулентности - еще одна область, в которой методы численного продолжения использовались для изучения появления турбулентность в системе, начинающейся с малых чисел Рейнольдса. Кроме того, исследования с использованием этих методов предоставили возможность найти стабильные многообразия и бифуркации на инвариантные торы в случае ограниченная задача трех тел в ньютоновской гравитации, а также дали интересные и глубокие сведения о поведении таких систем, как Уравнения Лоренца.

Программного обеспечения

(В разработке) См. Также список группы деятельности SIAM по динамическим системам. http://www.dynamicalsystems.org/sw/sw/

• АВТО: вычисление решений двухточечных краевых задач (TPBVP) с интегральными ограничениями. https://sourceforge.net/projects/auto-07p/ Доступно на SourceForge.
• HOMCONT: Расчет гомоклинических и гетероклинических орбит. Включено в АВТО
• MATCONT: набор инструментов Matlab для числового продолжения и бифуркации [1]Доступно на SourceForge.
• DDEBIFTOOL: Вычисление решений дифференциальных уравнений с запаздыванием. Пакет MATLAB. Доступно в K. U. Leuven
• PyCont: набор инструментов Python для числового продолжения и бифуркации. Собственные алгоритмы Python для продолжения с фиксированной точкой, сложный интерфейс с AUTO для других типов проблем. Входит в состав PyDSTool
• CANDYS / QA: Доступно в Потсдамском университете [A16]
• МАНПАК: Доступно в Netlib [A15]
• ПДДЭ-КОНТ: http://seis.bris.ac.uk/~rs1909/pdde/
• мультифарио: http://multifario.sourceforge.net/
• LOCA: https://trilinos.org/packages/nox-and-loca/
• DSTool
• GAIO
• OSCILL8: Oscill8 - это инструмент динамических систем, который позволяет пользователю исследовать многомерное пространство параметров нелинейных ОДУ, используя методы бифуркационного анализа. Доступно на SourceForge.
• MANLAB: Вычисление равновесных, периодических и квазипериодических решений дифференциальных уравнений с использованием ряда Фурье (метод гармонического баланса) развития решения и развития ряда Тейлора (асимптотический численный метод) ветви решения. Доступно в LMA Marseille.
• BifurcationKit.jl: этот пакет Julia направлен на выполнение автоматического бифуркационного анализа уравнений большой размерности F (u, λ) = 0, где λ∈ℝ, с использованием преимуществ итерационных методов, разреженной формулировки и специального оборудования (например, GPU). [2]

Примеры

Это проблема нахождения точек, которые F карты в начало координат появляется в компьютерная графика как проблемы рисования контурные карты (n = 2), или изоповерхность (n = 3). Контур со значением час - множество всех компонентов решения F-h = 0

Рекомендации

1. Введение в методы численного продолжения, Юджин Л. Аллгауэр и Курт Георг Государственный университет Колорадо, 1990 г.
2. Engelnkemper, S .; Гуревич, С. В .; Uecker, H .; Wetzel, D .; Тиле, У. (7 июля 2018 г.). Вычислительное моделирование бифуркаций и неустойчивостей в гидродинамике. Springer. С. 459–501. arXiv:1808.02321. Дои:10.1007/978-3-319-91494-7_13. ISBN  9783319914930.

Книги

[B1] "Введение в методы численного продолжения ", Юджин Л. Аллгауэр и Курт Георг, Классика SIAM в прикладной математике 45. 2003.

[БИ 2] "Численные методы бифуркаций динамических равновесий. ", Вилли Дж. Ф. Говертс, SIAM 2000.

[B3] "Методы Ляпунова-Шмидта в нелинейном анализе и приложениях", Николай Сидоров, Борис Логинов, Александр Синицын и Михаил Фалалеев, Kluwer Academic Publishers, 2002.

[B4] "Методы теории бифуркаций", Шуи-Ни Чоу и Джек К. Хейл, Springer-Verlag 1982.

[B5] "Элементы прикладной теории бифуркаций", Юрий А. Кунецов, Springer-Verlag Applied Mathematical Sciences 112, 1995.

[B6] "Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей", Джон Гукенхаймер и Филип Холмс, Springer-Verlag Applied Mathematical Sciences 42, 1983.

[B7] "Элементарная устойчивость и теория бифуркаций", Джерард Йосс и Дэниел Д. Джозеф, Springer-Verlag Тексты для бакалавриата по математике, 1980.

[B8] "Теория сингулярности и введение в теорию катастроф", Юнг-Чен Лу, Springer-Verlag, 1976.

[B9] "Глобальные бифуркации и хаос, аналитические методы", С. Виггинс, Springer-Verlag Applied Mathematical Sciences 73, 1988.

[B10] "Особенности и группы в теории бифуркаций, том I", Мартин Голубицкий и Дэвид Г. Шеффер, Springer-Verlag Applied Mathematical Sciences 51, 1985.

[B11] "Особенности и группы в теории бифуркаций, том II", Мартин Голубицкий, Ян Стюарт и Дэвид Г. Шеффер, Springer-Verlag Applied Mathematical Sciences 69, 1988.

[B12] "Решение полиномиальных систем с использованием продолжения для инженерных и научных задач", Александр Морган, Прентис-Холл, Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси, 1987.

[B13] "Пути к решениям, фиксированные точки и равновесия", К. Б. Гарсия и В. И. Зангвилл, Прентис-Холл, 1981.

[B14] "Теорема о неявной функции: история, теория и приложения", Стивен Г. Кранц и Гарольд Р. Паркс, Бирхаузер, 2002.

[B15] "Нелинейный функциональный анализ", Дж. Т. Шварц, издательство Gordon and Breach Science, Notes on Mathematics and its Applications, 1969.

[B16] "Темы нелинейного функционального анализа", Луи Ниренберг (примечания Ральфа А. Артино), AMS Courant Lecture Notes in Mathematics 6, 1974.

[B17] "Методы Ньютона для нелинейных задач - аффинная инвариантность и адаптивные алгоритмы", П. Деуфлхард, Серия Computational Mathematics 35, Springer, 2006.

журнальные статьи

[A1] "Алгоритм кусочно-линейной аппроксимации неявно заданных двумерных поверхностей", Юджин Л. Аллгауэр и Стефан Гнутцманн, Журнал SIAM по численному анализу, том 24, номер 2, 452–469, 1987.

[A2] "Симплициальные методы и методы продолжения для приближений, неподвижных точек и решений систем уравнений", Э. Л. Аллгауэр и К. Георг, SIAM Review, том 22, 28–85, 1980.

[A3] "Алгоритм кусочно-линейной аппроксимации неявно заданного многообразия", Юджин Л. Аллгауэр и Филип Х. Шмидт, SIAM Journal on Numerical Analysis, Volume 22, Number 2, 322–346, апрель 1985 г.

[A4] "Построение контура кусочно-линейным приближением.", Дэвид П. Добкин, Сильвио В. Ф. Леви, Уильям П. Терстон и Аллан Р.Уилкс, Транзакции ACM по графике, 9 (4) 389-423, 1990.

[A5] "Численное решение бифуркационных и нелинейных задач на собственные значения.", Х. Б. Келлер, в" Приложениях теории бифуркаций ", изд. П. Рабиновица, Academic Press, 1977.

[A6] "Локально параметризованный процесс продолжения", W.C. Rheinboldt и J.V.Burkardt, ACM Transactions on Mathematical Software, Volume 9, 236–246, 1983.

[A7] "Нелинейные числа"Э. Додель, Международный журнал бифуркаций и хаоса, 7(9):2127-2143, 1997.

[A8] "Нелинейные вычисления", Р. Зейдел, Международный журнал бифуркаций и хаоса, 7(9):2105-2126, 1997.

[A9] "Об алгоритме подвижной системы отсчета и триангуляции равновесных многообразий", W.C. Rheinboldt, In T. Kuper, R. Seydel, and H. Troger eds." ISNM79: Bifurcation: Analysis, Algorithms, Applications ", pages 256-267. Birkhauser, 1987.

[A10] "О вычислении многомерных многообразий решений параметризованных уравнений", W.C. Rheinboldt, Numerishe Mathematik, 53, 1988, страницы 165-181.

[A11] "О симплициальной аппроксимации неявно определенных двумерных многообразий", М. Л. Бродзик и В. К. Райнбольд, Компьютеры и математика с приложениями, 28 (9): 9-21, 1994.

[A12] "Вычисление симплициальных приближений неявно определенных p-многообразий", М. Л. Бродзик, Вычислительная техника и математика с приложениями, 36 (6): 93-113, 1998.

[A13] "Новый алгоритм двумерного численного продолжения", Р. Мелвилл и Д. С. Макки, Компьютеры и математика с приложениями, 30 (1): 31-46, 1995.

[A14] "Многопараметрическое продолжение: вычисление неявно определенных k-многообразий", М. Э. Хендерсон, IJBC 12 [3]: 451-76, 2003.

[A15] "MANPACK: набор алгоритмов для вычислений на неявно определенных многообразиях", W. C. Rheinboldt, Comput. Math. Applic., 27, страницы 15–9, 1996.

[A16] "CANDYS / QA - Программный комплекс для качественного анализа нелинейных динамических систем", U. Feudel и W. Jansen, Int. J. Bifurcation and Chaos, vol. 2, no. 4, pp. 773–794, World Scientific, 1992.