Фолиум Декарта - Folium of Descartes

Лист Декарта (зеленый) с асимптотой (синий) при a = 1.

В геометрия, то лист Декарта является алгебраическая кривая определяется уравнением

${\displaystyle x^{3}+y^{3}-3axy=0\,}$.

Он образует петлю в первом квадранте с двойная точка в начале и асимптота

${\displaystyle x+y+a=0\,}$.

Это симметрично относительно ${\displaystyle y=x}$.

Название происходит от латинский слово фолиум что значит "лист ".

Кривая была изображена вместе с портретом Декарта на албанской марке в 1966 году.

История

Кривая была впервые предложена Декарт в 1638 году. Его претензия на известность связана с инцидентом в развитии исчисление. Декарту бросили вызов Ферма найти касательную к кривой в произвольной точке, поскольку Ферма недавно открыл метод нахождения касательных. Ферма легко решил проблему, чего не мог сделать Декарт.^[1] С момента изобретения исчисления наклон касательной можно легко найти, используя неявное дифференцирование.

Построение кривой

Поскольку уравнение имеет степень 3 как по x, так и по y и не учитывает множителей, его трудно решить для одной из переменных.

Однако уравнение в полярные координаты является:

${\displaystyle r={\frac {3a\sin \theta \cos \theta }{\sin ^{3}\theta +\cos ^{3}\theta }}.}$

который можно легко построить. Используя эту формулу, находят, что площадь внутренней части петли равна ${\displaystyle 3a^{2}/2}$.

Другой способ - написать y = px и найти x и y в терминах p. Это дает рациональный параметрические уравнения:^[2]

${\displaystyle x={{3ap} \over {1+p^{3}}},\,y={{3ap^{2}} \over {1+p^{3}}}}$.

Мы видим, что параметр связан с положением на кривой следующим образом:

• п <-1 соответствует x> 0, y <0: правое, нижнее, «крыло».
• -1 < п <0 соответствует x <0, y> 0: левое, верхнее «крыло».
• п > 0 соответствует x> 0, y> 0: петля кривой.

Другой способ построения графика функции может быть получен из симметрии относительно y = x. Симметрию можно увидеть непосредственно из его уравнения (x и y можно поменять местами). Например, применяя поворот на 45 ° по часовой стрелке, можно построить график функции симметрично относительно повернутой оси x.

Эта операция эквивалентна подстановке:

${\displaystyle x={{u+v} \over {\sqrt {2}}},\,y={{u-v} \over {\sqrt {2}}}}$

и дает

${\displaystyle v=\pm u{\sqrt {\frac {3a{\sqrt {2}}-2u}{6u+3a{\sqrt {2}}}}}}$

График в декартовой системе координат (u, v) дает лист, повернутый на 45 ° и, следовательно, симметричный относительно оси u.

Поскольку лист симметричен относительно ${\displaystyle y=x}$, проходит через точку ${\displaystyle (3a/2,3a/2)}$.

Отношение к трисектрисе Макларина

Лист Декарта связан с трисектрикс Маклорена от аффинное преобразование. Чтобы увидеть это, начните с уравнения

${\displaystyle x^{3}+y^{3}=3axy\,}$,

и измените переменные, чтобы найти уравнение в системе координат, повернутой на 45 градусов. Это составляет установку ${\displaystyle x={{X+Y} \over {\sqrt {2}}},y={{X-Y} \over {\sqrt {2}}}}$. в ${\displaystyle X,Y}$ плоскости уравнение

${\displaystyle 2X(X^{2}+3Y^{2})=3{\sqrt {2}}a(X^{2}-Y^{2})}$.

Если растянуть кривую в ${\displaystyle Y}$ направление с коэффициентом ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ это становится

${\displaystyle 2X(X^{2}+Y^{2})=a{\sqrt {2}}(3X^{2}-Y^{2})}$

которое является уравнением трисектрисы Маклорена.

Заметки

1. Симмонс, стр. 101
2. «DiffGeom3: параметризованные кривые и алгебраические кривые». Н. Дж. Вильдбергер, Университет Нового Южного Уэльса. Получено 5 сентября 2013.

использованная литература

• Дж. Деннис Лоуренс: Каталог специальных плоских кривых, 1972, Dover Publications. ISBN  0-486-60288-5, стр. 106–108
• Джордж Ф. Симмонс: Камни исчисления: краткие жизни и памятная математика, Нью-Йорк 1992, Макгроу-Хилл, xiv, 355. ISBN  0-07-057566-5; новое издание 2007 г., The Mathematical Association of America (MAA )

внешние ссылки

• Ричард Л. Аморосо: Fe, Fi, Fo, Folium: Рассуждение о математическом любопытстве Декарта
• Вайсштейн, Эрик В. "Фолиант Декарта". MathWorld.
• "Folium of Descartes" в списке известных кривых MacTutor
• "Декартов фолиум" в MathCurve