Основная модель - Core model

В теория множеств, то основная модель определяется внутренняя модель из вселенная из всех наборы. Хотя теоретики множеств ссылаются на «базовую модель», это не однозначно идентифицированный математический объект. Скорее, это класс внутренних моделей, которые при правильных теоретико-множественных предположениях обладают очень специальными свойствами, в первую очередь покрывающие свойства. Интуитивно понятно, что основная модель - это «самая большая каноническая внутренняя модель из всех существующих» (Эрнест Шиммерлинг и Джон Р. Стил ) и обычно ассоциируется с большой кардинал понятие. Если Φ является большим кардинальным понятием, то фраза «базовая модель ниже Φ» относится к определяемой внутренней модели, которая проявляет особые свойства в предположении, что существует нет существует кардинал, удовлетворяющий Φ. В программа базовой модели стремится анализировать большие кардинальные аксиомы, определяя базовые модели под ними.

История

Первая базовая модель была Курт Гёдель с конструируемая вселенная L. Рональд Дженсен доказал лемма о покрытии за L в 1970-е годы в предположении отсутствия нулевой острый, установив, что L является "основной моделью резкости ниже нуля". Работа Соловей выделил еще одну базовую модель L[U], за U ан ультрафильтр на измеримый кардинал (и связанный с ним "острый", нулевой кинжал ). Вместе с Тони Доддом Дженсен сконструировал Основная модель Додда – Дженсена («основная модель ниже измеримого кардинала») и доказал лемму о покрытии для нее и обобщенную лемму о покрытии для L[U].

Митчелл использовал последовательные последовательности мер для разработки основных моделей, содержащих множество измеримых величин или более высокого порядка. Еще позже использовалась модель стального сердечника. расширители и деревья итераций для построения базовой модели ниже Вуден кардинал.

Построение основных моделей

Основные модели построены трансфинитная рекурсия из небольших фрагментов основной модели, называемой мышей. Важным элементом конструкции является лемма сравнения, позволяющая дать хороший порядок соответствующих мышей.

На уровне сильные кардиналы и выше, строится промежуточная счетно сертифицированная модель ядра K^c, а затем, если возможно, извлекает K из K^c.

Свойства основных моделей

K_c (и, следовательно, K) представляет собой детально структурированную модель расширения со счетным числом итераций ниже длинных расширителей. (В настоящее время не известно, как поступать с длинными удлинителями, которые устанавливают, что кардинал очень сильный.) Здесь счетная итерабельность означает ω₁+1 итеративность для всех счетных элементарных подструктур начальных сегментов, и этого достаточно для развития базовой теории, включая некоторые свойства уплотнения. Теория таких моделей канонична и хорошо изучена. Они удовлетворяют GCH, то алмазный принцип для всех стационарные подмножества регулярных кардиналов, квадратный принцип (кроме малолитражные кардиналы ) и другие принципы, содержащиеся в L.

K^c максимальна в нескольких смыслах. K^c правильно вычисляет последователей измеримых и многих единичных кардиналов. Кроме того, ожидается, что при соответствующем ослаблении счетной сертифицируемости K^c правильно вычислил бы наследников всех слабо компактный и единственное кардиналы с сильным лимитом правильно. Если V закрывается оператором мыши (оператор внутренней модели), то K закрывается.^c. K^c не имеет острых: нет естественных нетривиальных элементарное вложение из K^c в себя. (Однако, в отличие от K, K^c может быть элементарно самовстраиваемым.)

Если, кроме того, в этой модели также нет кардиналов Вудина (за исключением некоторых особых случаев, неизвестно, как должна определяться базовая модель, если K_c есть кардиналы Вудина), мы можем извлечь реальную базовую модель K. K также является собственной базовой моделью. K локально определим и в общем случае абсолютен: для любого общего расширения V, для любого кардинала κ> ω₁ в V [G], K, построенное в H (κ) в V [G], равно K∩H (κ). (Это было бы невозможно, если бы в K входили кардиналы Вудина). K является максимальным, универсальным и полностью повторяемым. Это означает, что для каждой итеративной модели расширителя M (называемой мышью) существует элементарное вложение M → N и начального сегмента K в N, а если M универсально, то вложение K в M.

Предполагается, что если K существует и V замкнуто относительно точного оператора M, то K является Σ¹₁ правильно разрешить действительные числа в K в качестве параметров и M в качестве предиката. Это составляет Σ¹₃ правильность (в обычном смысле), если M равно x → x^#.

Базовая модель также может быть определена над конкретным набором ординалов X: X принадлежит K (X), но K (X) удовлетворяет обычным свойствам K выше X. Если не существует итеративной внутренней модели с ω кардиналами Вудена, то для некоторого X существует K (X). Вышеупомянутое обсуждение K и K^c обобщается на K (X) и K^c(ИКС).

Построение основных моделей

Гипотеза:

• Если нет ω₁+1 итерационная модель с длинными расширителями (и, следовательно, модели со сверхсильными кардиналами), тогда K^c существуют.
• Если K^c существует и как построено в каждом общем расширении V (эквивалентно, при некотором общем коллапсе Coll (ω, <κ) для достаточно большого ординала κ) удовлетворяет «нет кардиналов Вудена», то базовая модель K существует.

Частичные результаты гипотезы таковы:

1. Если нет внутренней модели с кардиналом Вудена, то K существует.
2. Если (жирный шрифт) Σ¹_п детерминированность (n конечно) выполняется в каждом общем расширении V, но не существует итеративной внутренней модели с n кардиналами Вудена, тогда K существует.
3. Если существует измеримый кардинал κ, то либо K^c ниже κ существует или существует ω₁+1 итерационная модель с измеримым пределом λ как кардиналов Вудена, так и кардиналов, сильных до λ.

Если у V есть кардиналы Вудина, но нет кардиналов, сильных после кардинала Вудина, то при соответствующих обстоятельствах (кандидат в) K можно построить, построив K ниже каждого кардинала Вудена (и ниже класса всех ординалов) κ, но выше этого K, как построено ниже супремума кардиналов Вудена ниже κ. Кандидатская основная модель не является полностью итерабельной (итеративность не соответствует требованиям Вудина) или в целом абсолютной, но в остальном ведет себя как K.

Рекомендации

• В. Хью Вудин (Июнь / июль 2001 г.). [1]. Уведомления AMS.
• Уильям Митчелл. «Начало теории внутренней модели» (являющаяся главой 17 в томе 3 «Справочника по теории множеств») на [2].
• Мэтью Форман и Акихиро Канамори (Редакторы). «Справочник по теории множеств», Springer Verlag, 2010 г., ISBN  978-1402048432.
• Рональд Дженсен и Джон Р. Стил. «К без измеримого». Журнал символической логики, том 78, выпуск 3 (2013), 708-734.