Квантовый Монте-Карло в непрерывном времени - Continuous-time quantum Monte Carlo

В вычислительной физика твердого тела, Квантовый Монте-Карло в непрерывном времени (CT-QMC) - это семья стохастический алгоритмы для решения Модель примеси Андерсона при конечной температуре.^{[1][2][3][4][5]} Эти методы сначала раскрывают полную функция распределения как серия Диаграммы Фейнмана нанять Теорема Вика группировать диаграммы в детерминанты, и, наконец, используйте Цепь Маркова Монте-Карло для стохастического суммирования результирующего ряда.^[1]

Атрибут непрерывное время был введен, чтобы отличить метод от преобладающих в то время Квантовый Монте-Карло Хирша – Фая метод^[2] который опирается на Дискретизация Suzuki – Trotter из мнимое время ось.

Если проблема со знаком отсутствует, метод также может быть использован для решения решетчатые модели такой как Модель Хаббарда при половинном заполнении. Чтобы отличить его от других методов Монте-Карло для таких систем, которые также работают в непрерывном времени, этот метод обычно называют Диаграммный детерминантный квантовый Монте-Карло (DDQMC или DDMC).^[6]

Расширение функции разделения

В второе квантование, то Гамильтониан модели примеси Андерсона гласит:^[1]

${\displaystyle H=\underbrace {\sum _{ij}E_{ij}c_{i}^{\dagger }c_{j}} _{H_{\mathrm {loc0} }}+\underbrace {{\frac {1}{2}}\sum _{ijkl}U_{ikjl}c_{i}^{\dagger }c_{j}^{\dagger }c_{l}c_{k}} _{H_{\mathrm {int} }}+\underbrace {\sum _{p,i}{\big (}V_{pi}f_{p}^{\dagger }c_{i}+V_{pi}^{*}c_{i}^{\dagger }f_{p}{\big )}} _{H_{\mathrm {hyb} }}+\underbrace {\sum _{p}\epsilon _{p}f_{p}^{\dagger }f_{p}} _{H_{\mathrm {bath} }}}$,

где ${\displaystyle c_{i}^{\dagger }}$ и ${\displaystyle c_{i}}$ являются операторы создания и уничтожения соответственно фермион на примеси. Индекс ${\displaystyle i}$ собирает спиновой индекс и, возможно, другие квантовые числа, такие как орбитальные (в случае многоорбитальной примеси) и узел кластера (в случае многоузельной примеси). ${\displaystyle f_{p}^{\dagger }}$ и ${\displaystyle f_{p}}$ - соответствующие фермионные операторы на невзаимодействующей ванне, где квантовое число термостата ${\displaystyle p}$ обычно будет непрерывным.

Шаг 1 CT-QMC состоит в том, чтобы разбить гамильтониан на точно решаемый член, ${\displaystyle H_{0}}$, и остальные, ${\displaystyle H_{\mathrm {I} }}$. Разные варианты соответствуют разным расширениям и, следовательно, разным алгоритмам описания. Общие варианты:

• Расширение взаимодействия (CT-INT):^[2] ${\displaystyle H_{\mathrm {I} }=H_{\mathrm {int} }}$
• Расширение гибридизации (CT-HYB):^[3][4] ${\displaystyle H_{\mathrm {I} }=H_{\mathrm {hyb} }}$
• Расширение дополнительного поля (CT-AUX):^[5] как CT-INT, но член взаимодействия сначала развязывается с помощью дискретного Преобразование Хаббарда-Стратоновича

Шаг 2 - переключиться на картинка взаимодействия и разложим статистическую сумму по Серия Дайсон:

${\displaystyle Z=\operatorname {tr} \left(\mathrm {e} ^{-\beta H}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\int _{0}^{\beta }\mathrm {d} ^{n}\tau \;\operatorname {tr} \left[\mathrm {e} ^{-\beta H_{0}}T_{\tau }H_{\mathrm {I} }(\tau _{1})H_{\mathrm {I} }(\tau _{2})\cdots H_{\mathrm {I} }(\tau _{n})\right]}$,

где ${\displaystyle \beta }$ это обратная температура и ${\displaystyle T_{\tau }}$ обозначает упорядочивание мнимого времени. Наличие (нульмерной) решетки регуляризирует серия и конечный размер и температура системы делают перенормировка ненужный.^[2]

Серия Dyson генерирует факториальное количество идентичных диаграмм для каждого заказа, что затрудняет выборку и, возможно, усугубляет проблему знаков. Таким образом, в качестве шага 3 используется Теорема Вика группировать идентичные диаграммы в определители. Это приводит к выражениям:^[1]

• Расширение взаимодействия (CT-INT):

${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }\prod _{\alpha =1}^{n}\sum _{i_{\alpha }j_{\alpha }k_{\alpha }l_{\alpha }}\int \mathrm {d} \tau _{\alpha }\left(-{\frac {1}{2}}U_{i_{\alpha }k_{\alpha }j_{\alpha }l_{\alpha }}\right)\det \left[{\begin{array}{cc}\langle T_{\tau }c_{i_{\alpha }}^{\dagger }\!(\tau _{\alpha })\ c_{k_{\beta }}\!(\tau _{\beta })\rangle _{0}&\langle T_{\tau }c_{i_{\alpha }}^{\dagger }\!(\tau _{\alpha })\ c_{l_{\beta }}\!(\tau _{\beta })\rangle _{0}\\\langle T_{\tau }c_{j_{\alpha }}^{\dagger }\!(\tau _{\alpha })\ c_{k_{\beta }}\!(\tau _{\beta })\rangle _{0}&\langle T_{\tau }c_{j_{\alpha }}^{\dagger }\!(\tau _{\alpha })\ c_{l_{\beta }}\!(\tau _{\beta })\rangle _{0}\end{array}}\right]_{\alpha \beta }}$

• Расширение гибридизации (CT-HYB):

${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }\prod _{\alpha =1}^{n}\sum _{i_{\alpha }j_{\alpha }}\int \mathrm {d} \tau _{\alpha }\mathrm {d} \tau _{\alpha }^{\prime }\operatorname {tr} {\Big [}\mathrm {e} ^{-\beta (H_{\mathrm {loc0} }+H_{\mathrm {int} })}T_{\tau }\prod _{\alpha =1}^{n}c_{i_{\alpha }}^{\dagger }(\tau _{\alpha })c_{i_{\alpha }}(\tau _{\alpha }^{\prime }){\Big ]}\;\det {\big [}\Delta _{i_{\alpha }j_{\beta }}(\tau _{\alpha }-\tau _{\beta }^{\prime }){\big ]}_{\alpha \beta }}$

На последнем шаге можно отметить, что это не что иное, как интеграл по большой области, и выполнить его с помощью Метод Монте-Карло, обычно Алгоритм Метрополиса-Гастингса.

Смотрите также

• Алгоритм Метрополиса-Гастингса
• Квантовый Монте-Карло
• Теория динамического среднего поля

использованная литература

1. Gull, E .; Millis, A.J .; Лихтенштейн, A.I .; Рубцов, А.Н .; Troyer, M .; Вернер, П. (2011). «Методы Монте-Карло с непрерывным временем для квантовых примесных моделей». Ред. Мод. Phys. 83 (2): 349–404. arXiv:1012.4474. Bibcode:2011RvMP ... 83..349G. Дои:10.1103 / RevModPhys.83.349.
2. Рубцов, А.Н .; Савкин, В.В .; Лихтенштейн, А. (2005). «Квантовый метод Монте-Карло в непрерывном времени для фермионов». Phys. Ред. B. 72 (3): 035122. arXiv:cond-mat / 0411344. Bibcode:2005PhRvB..72c5122R. Дои:10.1103 / PhysRevB.72.035122.
3. Werner, P .; Comanac, A .; de ’Medici, L .; Troyer, M .; Миллис, А.Дж. (2006). "Непрерывный решатель для квантовых примесных моделей". Phys. Rev. Lett. 97 (7): 076405. arXiv:cond-mat / 0512727. Bibcode:2006PhRvL..97g6405W. Дои:10.1103 / PhysRevLett.97.076405.
4. Werner, P .; Миллис, А.Дж. (2006). «Решатель примесей с расширением гибридизации: общая формулировка и приложение к решетке Кондо и двухорбитальным моделям». Phys. Ред. B. 74 (15): 155107. arXiv:cond-mat / 0607136. Bibcode:2006PhRvB..74o5107W. Дои:10.1103 / PhysRevB.74.155107.
5. Gull, E .; Werner, P .; Parcollet, O .; Тройер, М. (2008). «Монте-Карло вспомогательного поля в непрерывном времени для моделей квантовых примесей». EPL. 82 (5): 57003. arXiv:0802.3222. Bibcode:2008EL ..... 8257003G. Дои:10.1209/0295-5075/82/57003.
6. Assaad, F.F .; Ланг, Т. (2007). «Диаграмматические детерминантные квантовые методы Монте-Карло: проективные схемы и приложения к модели Хаббарда-Гольштейна». Phys. Ред. B. 76 (3): 035116. arXiv:cond-mat / 0702455. Bibcode:2007PhRvB..76c5116A. Дои:10.1103 / PhysRevB.76.035116.