Серия Дайсон - Dyson series

В теория рассеяния, часть математическая физика, то Серия Дайсон, сформулированный Фриман Дайсон, это пертурбативный расширение оператор эволюции во времени в картинка взаимодействия. Каждый член может быть представлен суммой Диаграммы Фейнмана.

Эта серия расходится асимптотически, но в квантовая электродинамика (QED) во втором порядке отличие от экспериментального данные порядка 10⁻¹⁰. Это близкое согласие сохраняется, потому что константа связи (также известная как постоянная тонкой структуры ) из QED намного меньше 1.^{[требуется разъяснение ]}

Обратите внимание, что в этой статье Единицы Планка используются, так что час = 1 (где час это приведенная постоянная Планка ).

Оператор Дайсона

Предположим, что у нас есть Гамильтониан ЧАС, который мы разбили на свободный часть ЧАС₀ и взаимодействующая часть V, т.е. ЧАС = ЧАС₀ + V.

Мы будем работать в картинка взаимодействия здесь и предположим, что единицы такие, что приведенная постоянная Планка час равно 1.

На картинке взаимодействия оператор эволюции U определяется уравнением

${\displaystyle \Psi (t)=U(t,t_{0})\Psi (t_{0})}$

называется Оператор Дайсона.

У нас есть

${\displaystyle U(t,t)=I,}$

${\displaystyle U(t,t_{0})=U(t,t_{1})U(t_{1},t_{0}),}$

${\displaystyle U^{-1}(t,t_{0})=U(t_{0},t),}$

и, следовательно, Уравнение Томонага – Швингера,

${\displaystyle i{\frac {d}{dt}}U(t,t_{0})\Psi (t_{0})=V(t)U(t,t_{0})\Psi (t_{0}).}$

Как следствие,

${\displaystyle U(t,t_{0})=1-i\int _{t_{0}}^{t}{dt_{1}\ V(t_{1})U(t_{1},t_{0})}.}$

Вывод из серии Дайсона

Это приводит к следующему Серия Неймана:

${\displaystyle {\begin{aligned}U(t,t_{0})={}&1-i\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}V(t_{1})+(-i)^{2}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}\,dt_{2}V(t_{1})V(t_{2})+\cdots \\&{}+(-i)^{n}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t_{n-1}}dt_{n}V(t_{1})V(t_{2})\cdots V(t_{n})+\cdots .\end{aligned}}}$

Здесь у нас есть ${\displaystyle t_{1}>t_{2}>\cdots >t_{n}}$, поэтому можно сказать, что поля по расписанию, и полезно ввести оператор ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ называется хронометраж оператор, определяя

${\displaystyle U_{n}(t,t_{0})=(-i)^{n}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t_{n-1}}dt_{n}\,{\mathcal {T}}V(t_{1})V(t_{2})\cdots V(t_{n}).}$

Теперь мы можем попытаться упростить эту интеграцию. Фактически, по следующему примеру:

${\displaystyle S_{n}=\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t_{n-1}}dt_{n}\,K(t_{1},t_{2},\dots ,t_{n}).}$

Предположить, что K симметричен по своим аргументам и определяет (посмотрите на пределы интегрирования):

${\displaystyle I_{n}=\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t}dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t}dt_{n}K(t_{1},t_{2},\dots ,t_{n}).}$

Регион интеграции можно разбить на ${\displaystyle n!}$ субрегионы, определенные ${\displaystyle t_{1}>t_{2}>\cdots >t_{n}}$, ${\displaystyle t_{2}>t_{1}>\cdots >t_{n}}$и др. В силу симметрии K, интеграл в каждой из этих подобластей одинаков и равен ${\displaystyle S_{n}}$ по определению. Так что это правда, что

${\displaystyle S_{n}={\frac {1}{n!}}I_{n}.}$

Возвращаясь к нашему предыдущему интегралу, справедливо следующее тождество

${\displaystyle U_{n}={\frac {(-i)^{n}}{n!}}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t}dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t}dt_{n}\,{\mathcal {T}}V(t_{1})V(t_{2})\cdots V(t_{n}).}$

Суммируя все слагаемые, получаем теорему Дайсона для Серия Дайсон:^{[требуется разъяснение ]}

${\displaystyle U(t,t_{0})=\sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(t,t_{0})={\mathcal {T}}e^{-i\int _{t_{0}}^{t}{d\tau V(\tau )}}.}$

Волновые функции

Затем, возвращаясь к волновой функции для т > т₀,

${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =\sum _{n=0}^{\infty }{(-i)^{n} \over n!}\left(\prod _{k=1}^{n}\int _{t_{0}}^{t}dt_{k}\right){\mathcal {T}}\left\{\prod _{k=1}^{n}e^{iH_{0}t_{k}}Ve^{-iH_{0}t_{k}}\right\}|\Psi (t_{0})\rangle .}$

Возвращаясь к Картина Шредингера, за т_ж > т_я,

${\displaystyle \langle \psi _{f};t_{f}\mid \psi _{i};t_{i}\rangle =\sum _{n=0}^{\infty }(-i)^{n}\underbrace {\int dt_{1}\cdots dt_{n}} _{t_{f}\,\geq \,t_{1}\,\geq \,\cdots \,\geq \,t_{n}\,\geq \,t_{i}}\,\langle \psi _{f};t_{f}\mid e^{-iH_{0}(t_{f}-t_{1})}Ve^{-iH_{0}(t_{1}-t_{2})}\cdots Ve^{-iH_{0}(t_{n}-t_{i})}\mid \psi _{i};t_{i}\rangle .}$

Смотрите также

• Серия Магнус
• Итерация Пикарда

Рекомендации

• Чарльз Дж. Джоахейн, Квантовая теория столкновений, Издательство Северной Голландии, 1975, ISBN  0-444-86773-2 (Эльзевир)