Серия Неймана - Neumann series

А Серия Неймана это математический ряд формы

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }T^{k}}$

куда Т является оператор и ${\displaystyle T^{k}:={}T^{k-1}\circ {T}}$ это k раз повторное применение. Это обобщает геометрическая серия.

Серия названа в честь математика. Карл Нойманн, который использовал его в 1877 году в контексте теория потенциала. Серия Neumann используется в функциональный анализ. Он составляет основу Лиувилля-Неймана, который используется для решения Интегральные уравнения Фредгольма. Это также важно при изучении спектр ограниченных операторов.

Характеристики

Предположим, что Т - линейный ограниченный оператор на нормированное векторное пространство Икс. Если серия Неймана сходится в норма оператора, то Id - Т является обратимый и его обратный ряд:

${\displaystyle (\mathrm {Id} -T)^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }T^{k}}$,

куда ${\displaystyle \mathrm {Id} }$ это оператор идентификации в Икс. Чтобы понять почему, рассмотрим частичные суммы

${\displaystyle S_{n}:=\sum _{k=0}^{n}T^{k}}$.

Тогда у нас есть

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }(\mathrm {Id} -T)S_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\sum _{k=0}^{n}T^{k}-\sum _{k=0}^{n}T^{k+1}\right)=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\mathrm {Id} -T^{n+1}\right)=\mathrm {Id} .}$

Этот результат для операторов аналогичен геометрическая серия в ${\displaystyle \mathbb {R} }$, в котором находим:

${\displaystyle (1-x)\cdot (1+x+x^{2}+\cdots +x^{n-1}+x^{n})=1-x^{n+1},}$

${\displaystyle 1+x+x^{2}+\cdots ={\frac {1}{1-x}}.}$

Один случай, когда сходимость гарантирована, - это когда Икс это Банахово пространство и |Т| <1 в операторной норме или ${\displaystyle \sum |T^{n}|}$ сходится. Однако есть также результаты, которые дают более слабые условия сходимости ряда.

Пример

Позволять ${\displaystyle C\in \mathbb {R} ^{3\times 3}}$ быть предоставленным:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{4}}\\{\frac {5}{7}}&0&{\frac {1}{7}}\\{\frac {3}{10}}&{\frac {3}{5}}&0\end{pmatrix}}.}$

Нам нужно показать, что C меньше единицы в некоторых норма. Поэтому рассчитываем:

${\displaystyle {\begin{aligned}||C||_{\infty }&=\max _{i}\sum _{j}|c_{ij}|=\max \left\lbrace {\frac {3}{4}},{\frac {6}{7}},{\frac {9}{10}}\right\rbrace ={\frac {9}{10}}<1.\end{aligned}}}$

Таким образом, мы знаем из приведенного выше утверждения, что ${\displaystyle (I-C)^{-1}}$ существуют.

Множество обратимых операторов открыто

Следствие состоит в том, что множество обратимых операторов между двумя банаховыми пространствами B и B ' открыто в топологии, индуцированной операторной нормой. Действительно, пусть S : B → B'- обратимый оператор и пусть Т: B → B'быть другим оператором. Если

|S – Т | < |S⁻¹|⁻¹,

тогда Т также обратимо.

Поскольку | Id - S⁻¹Т| <1 ряд Неймана Σ (Id - (S⁻¹Т))^k сходится, поэтому имеем

Т⁻¹S = (Id - (Id - S⁻¹Т))⁻¹ = Σ (Id - (S⁻¹Т))^k.

Принимая нормы, получаем

|Т⁻¹S| ≤ 1 / (1 - | Id - (S⁻¹Т)|).

Норма Т⁻¹ может быть ограничено

${\displaystyle |T^{-1}|\leq {\tfrac {1}{1-q}}|S^{-1}|\quad {\text{where}}\quad q=|S-T|\,|S^{-1}|.}$

Приложения

Серия Neumann использовалась для линейного обнаружения данных в массовых многопользовательских беспроводных системах с множеством входов и выходов (MIMO). Использование усеченного ряда Неймана позволяет избежать вычисления явной обратной матрицы, что снижает сложность определения линейных данных с кубической до квадратной.^[1]

Рекомендации

1. Wu, M .; Инь, Б .; Восуги, А .; Studer, C .; Cavallaro, J. R .; Дик, К. (май 2013 г.). «Приближенная инверсия матрицы для обнаружения данных с высокой пропускной способностью в крупномасштабном восходящем канале MIMO». Международный симпозиум IEEE по схемам и системам (ISCAS): 2155–2158. Дои:10.1109 / ISCAS.2013.6572301.

• Вернер, Дирк (2005). Функциональный анализ (на немецком). Springer Verlag. ISBN  3-540-43586-7.