Условная логистическая регрессия - Conditional logistic regression

Условная логистическая регрессия является продолжением логистическая регрессия что позволяет учесть стратификация и соответствие. Его основная область применения - наблюдательные исследования и в частности эпидемиология. Он был разработан в 1978 году Норман Бреслоу, Николай день, К. Т. Халворсен, Росс Л. Прентис и К. Сабай.^[1] Это наиболее гибкая и общая процедура для сопоставленных данных.

Мотивация

Наблюдательные исследования используют стратификация или же соответствие как способ контролировать сбивать с толку. До условной логистической регрессии для сопоставленных данных существовало несколько тестов, как показано на связанные тесты. Однако они не позволяли анализировать непрерывные предикторы с произвольным размером страты. Всем этим процедурам также не хватает гибкости условной логистической регрессии и, в частности, возможности контроля ковариат.

Логистическая регрессия может учитывать стратификацию, имея разные постоянные члены для каждой страты. Обозначим ${\displaystyle Y_{i\ell }\in \{0,1\}}$ ярлык (например, статус дела) ${\displaystyle \ell }$-е наблюдение ${\displaystyle i}$й слой и ${\displaystyle X_{i\ell }\in \mathbb {R} ^{p}}$ значения соответствующих предикторов. Тогда вероятность одного наблюдения равна

${\displaystyle \mathbb {P} (Y_{i\ell }=1|X_{i\ell })={\frac {\exp(\alpha _{i}+{\boldsymbol {\beta }}^{\top }X_{i\ell })}{1+\exp(\alpha _{i}+{\boldsymbol {\beta }}^{\top }X_{i\ell })}}}$

куда ${\displaystyle \alpha _{i}}$ постоянный член для ${\displaystyle i}$й слой. Хотя это удовлетворительно работает для ограниченного числа слоев, патологическое поведение возникает, когда слои малы. Когда страты парные, количество параметров растет с количеством наблюдений. ${\displaystyle N}$ (это равно ${\displaystyle {\frac {N}{2}}+p}$). Асимптотические результаты, на которых оценка максимального правдоподобия основано на, поэтому недействительны и оценка является необъективной. Фактически, можно показать, что безусловный анализ данных совпадающих пар приводит к оценке отношения шансов, которое является квадратом правильного условного.^[2]

Условная вероятность

Подход условного правдоподобия имеет дело с указанным выше патологическим поведением, обусловливая количество случаев в каждой страте и, следовательно, устраняя необходимость в оценке параметров страты. В случае, когда страты являются парами, когда первое наблюдение является случаем, а второе - контролем, это можно увидеть следующим образом.

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbb {P} (Y_{i1}=1,Y_{i2}=0|X_{i1},X_{i2},Y_{i1}+Y_{i2}=1)\\&={\frac {\mathbb {P} (Y_{i1}=1|X_{i1})\mathbb {P} (Y_{i2}=0|X_{i2})}{\mathbb {P} (Y_{i1}=1|X_{i1})\mathbb {P} (Y_{i2}=0|X_{i2})+\mathbb {P} (Y_{i1}=0|X_{i1})\mathbb {P} (Y_{i2}=1|X_{i2})}}\\[6pt]\ &={\frac {{\frac {\exp(\alpha _{i}+{\boldsymbol {\beta }}^{\top }X_{i1})}{1+\exp(\alpha _{i}+{\boldsymbol {\beta }}^{\top }X_{i1})}}\times {\frac {1}{1+\exp(\alpha _{i}+{\boldsymbol {\beta }}^{\top }X_{i2})}}}{{\frac {\exp(\alpha _{i}+{\boldsymbol {\beta }}^{\top }X_{i1})}{1+\exp(\alpha _{i}+{\boldsymbol {\beta }}^{\top }X_{i1})}}\times {\frac {1}{1+\exp(\alpha _{i}+{\boldsymbol {\beta }}^{\top }X_{i2})}}+{\frac {1}{1+\exp(\alpha _{i}+{\boldsymbol {\beta }}^{\top }X_{i1})}}\times {\frac {\exp(\alpha _{i}+{\boldsymbol {\beta }}^{\top }X_{i2})}{1+\exp(\alpha _{i}+{\boldsymbol {\beta }}^{\top }X_{i2})}}}}\\[6pt]\ &={\frac {\exp({\boldsymbol {\beta }}^{\top }X_{i1})}{\exp({\boldsymbol {\beta }}^{\top }X_{i1})+\exp({\boldsymbol {\beta }}^{\top }X_{i2})}}.\\[6pt]\end{aligned}}}$

При аналогичных вычислениях условная вероятность слоя размером ${\displaystyle m}$, с ${\displaystyle k}$ первые наблюдения являются случаями,

${\displaystyle \mathbb {P} (Y_{ij}=1{\text{ for }}j\leq k,Y_{ij}=0{\text{ for }}k<j\leq m|X_{i1},...,X_{im},\sum _{j=1}^{m}Y_{ij}=k)={\frac {\exp(\sum _{j=1}^{k}{\boldsymbol {\beta }}^{\top }X_{ij})}{\sum _{J\in {\mathcal {C}}_{k}^{m}}\exp(\sum _{j\in J}{\boldsymbol {\beta }}^{\top }X_{ij})}},}$

куда ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{k}^{m}}$ это множество всех подмножеств размера ${\displaystyle k}$ из набора ${\displaystyle \{1,...,m\}}$.

Тогда полная условная логарифмическая вероятность - это просто сумма логарифмических правдоподобий для каждого слоя. Тогда оценщик определяется как ${\displaystyle \beta }$ что максимизирует условное логарифмическое правдоподобие.

Выполнение

Условная логистическая регрессия доступна в R как функция клогит в выживание упаковка. Это в выживание пакет, потому что логарифмическая вероятность условной логистической модели такая же, как логарифмическая вероятность модели Кокса с определенной структурой данных.^[3]

Связанные тесты

• Тест парных различий позволяет проверить связь между двоичным результатом и непрерывным предиктором с учетом спаривания.
• Тест Кокрана-Мантеля-Хензеля позволяет проверить связь между двоичным результатом и двоичным предиктором с учетом стратификации с произвольным размером страты. Когда его условия применения проверены, он идентичен условной логистической регрессии. оценка теста.^[4]

Примечания

1. Breslow NE, Day NE, Халворсен KT, Prentice RL, Sabai C (1978). «Оценка множественных функций относительного риска в сопоставленных исследованиях случай-контроль». Am J Epidemiol. 108 (4): 299–307. Дои:10.1093 / oxfordjournals.aje.a112623. PMID  727199.
2. Breslow, N.E .; Day, N.E. (1980). Статистические методы исследования рака. Том 1 - Анализ исследований случай-контроль. Лион, Франция: МАИР. С. 249–251. Архивировано из оригинал на 2016-12-26. Получено 2016-11-04.
3. Ламли, Томас. «Документация R Условная логистическая регрессия». Получено 3 ноября, 2016.
4. Дэй, Н. Э., Байар, Д. П. (1979). «Проверка гипотез в исследованиях« случай-контроль »- эквивалентность статистики Мантеля-Хензеля и тестов логита». Биометрия. 35 (3): 623–630. Дои:10.2307/2530253.